一类分块矩阵特征值的扰动上界∗

孔祥强

(菏泽学院数学系，山东菏泽274015)

一类分块矩阵特征值的扰动上界∗

孔祥强∗

(菏泽学院数学系，山东菏泽274015)

利用分块矩阵和其子块矩阵的特征值之间的关系，得出了一类分块下三角形矩阵特征值的扰动界，且所得结论推广了Wielandt-Hoffman定理和先前的结果。

分块下三角形矩阵;特征值;正规矩阵;扰动

对矩阵特征值扰动的研究是矩阵扰动分析的重要内容。针对文[1]、[2]中给出的特征值扰动界，本文利用分块矩阵和其子块矩阵之间的关系，推广了文[1]、[2]中的结论，拓宽了结论的使用范围。

1 几个定义和引理

定义1[3]设A ＝(aij)∈Cm×n，令 ‖A‖F＝，则称它为矩阵A的F-范数。

定义2[4]若矩阵A∈Cn×n，满足AHA＝AAH，则称A为正规矩阵；若满足AH＝A，则称A为Hermite矩阵。

定义3[5]处理级数较高的矩阵时，可把大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵是由数组成一样，在运算中，将这些小矩阵作为数一样来处理，即为矩阵的分块。分块时，一般要分出单位矩阵、数量矩阵、下三角矩阵或上三角矩阵。

引理1[6]设A∈Cn×n，且A可写成块下三角形矩形形式，即的特征值记为λ(A)，两个子块 A1和 A4的特征值分别记为λ(A1)和λ(A4)，则λ(A)＝λ(A1)∪λ(A4)。引理2[5]设A∈Cn×n，B∈Cn×n，且A、B均为正规矩阵，A的特征值λ(A)＝ λi{ }，B的特征值λ(B)＝ μi{ }，i＝1，2，…，n，则存在1，2，…，n的某个排列 π，使得≤‖B-A‖F。此定理称为Wielandt-Hoffman定理。引理3[2]设A∈Cn×n，B∈Cn×n，A和B的特征值分别为λ(A)和λ(B)，A为正规矩阵，则存在1，2，…，n的某个排列v，使得

矩阵A的特征值的全体称为A的谱。A与B的 谱 的 Euclid 距 离，其中π是1，2，…，n的某个排列，表示在1，2，…，n的所有可能的排列上取最小值。

2 主要结论

定理1 设A∈Cn×n，B∈Cn×n，且A ＝其中A1∈Ct×t，B1∈，则存在1，2，…，n的排列π，u，v，使得

其中π取遍1，2，…，n所有的排列。

证明 由矩阵A1、B1谱的Euclid距离知，存在1，2，…，n的某个排列u，使得

存在1，2，…，n的某个排列v，使得

由引理1得λ(A)＝λ(A1)∪λ(A4)，λ(B)＝λ(B1)∪λ(B4)，

其中π取遍1，2，…，n所有的排列。

定理2 设A∈Cn×n，B∈Cn×n，且A、B均为块下三角形矩阵，，其中。若A1、B1均为正规矩阵，A4、B4也均为正规矩阵，则存在1，2，…，n的某排列π，使得。

证明 对正规矩阵A1、B1，由引理2得，存在1，2，…，n的排列u，使得

对正规矩阵A4、B4，存在1，2，…，n的排列v，使得

注 当A1、B1、A4、B4均为正规矩阵时，A、B也不一定为正规矩阵，但引理2的结论仍成立。说明，只要A、B是满足定理2条件的分块下三角矩阵，即使不是正规矩阵，Wielandt-Hoffman定理的结论也成立。因此，定理2可看作Wielandt-Hoffman定理的进一步推广。

定理3 条件同定理2，若A1、B1均为正规矩阵，A4、B4中仅有一个是正规矩阵，则存在1，2，…，n的排列π，使得

证明 由于A1、B1均为正规矩阵，由引理2得

又A4、B4中仅有一个是正规矩阵，由引理3得

再结合定理1得

②虽然A1、B1均为正规矩阵，A4、B4中仅有一个是正规矩阵，但不能保证A、B中至少有一个为正规矩阵，定理3的结论明显优于引理3；且定理3可看作引理3的条件和结论的双推广形式。

定理4 条件同定理2，若A1、B1中仅有一个为正规矩阵，A4、B4中也仅有一个是正规矩阵，则存在1，2，…，n的排列π，使得

证明 由引理3知，存在1，2，…，n的排列u，使得

存在1，2，…，n的排列v，使得

再结合定理1知，存在1，2，…，n的排列π，使得

注 只要矩阵A、B分块后满足定理4的条件，无论它们是否为正规矩阵，所得结果均优于引理3的结论。

3 结束语

对于分块下三角形矩阵A、B，通过讨论其子块是否为正规矩阵，得到了一系列的定理，在满足定理条件下，本文所得的扰动界优于 Wielandt-Hoffman定理和引理3的结论。本文的结论还可以推广到分块上三角形矩阵的情形，结论同样成立。

[1]A.J.Hoffman，H.W.Wielandt.The variation of the spectrum of a normalmatrix[J].Duke Math.J.，1953，20:37-39.

[2]J.G.SUN.On the Variation of the Spectrum of a NormalMatrix[J]. Linear Algebra Appl.，1996，246:215-223.

[3]孙继广.矩阵扰动分析[M].北京:科学出版社，2001:10-226.

[4]蒋正新，施国梁.矩阵理论及其应用[M].北京:北京航空学院出版社，1998:95-99.

[5]王萼芳，石生明.高等代数[M].4版.北京:高等教育出版社，2013:162-195.

[6]G.H.Colub，C.F.Van Loan.Matrix Computations[M].Beijing:Posts and Telecom Press，2009:359-363.

(责任编辑:曾 晶)

Upper Perturbation Bounds for Eigenvalues of a Class of Block M atrices

KONG Xiangqiang∗

(Department of Mathematics，Heze University，Heze 274015，China)

By using the relation between the eigenvalues of the block matrix and the sub-block Matrix，the perturbation bounds for eigenvalues of a class of triangularmatriceswere obtained.And the conclusionswere generalized by Wielandt-Hoffman theorem and the previous results.

lower triangular block matrix；eigenvalue；normalmatrix；perturbation

O241.6

A

1000-5269(2016)04-0016-03

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.04.03

2016-01-28

2015年山东省教育科学“十二五”规划重点资助项目(ZBS15004)；菏泽学院教学改革重点课题项目(2015010)

孔祥强(1983-)，男，讲师，硕士，研究方向:应用数学，Email:kong3058＠126.com.

∗通讯作者:孔祥强，Email:kong3058＠126.com.