高瑞华
摘要:高等数学是培养数学思维的重要课程之一,也是洞晓数学抽象性,厘清数学思想发展变迁的重要载体。在大学阶段,如何构建数学教育的目标,如何从激发学生问题意识上,探寻数学认知的有效路径,提升学生对数学的学习效果。本文将从数学辩证思维入手,就高等数学课程教学模式建构展开探讨,突出数学思想的领悟,强调数学认知与数学思维的养成,增强学生对数学内在逻辑性的理解和掌握。
关键词:高等数学;问题意识;教学目标;路径建构
中图分类号:G642.0 文献识别码:A 文章编号:1001-828X(2016)027-000-02
在高等数学教育中,首先是将数学作为一种思维体操,提升学生的思维力、抽象力,促进学生养成良好的数学认知。如果将数学作为纯粹的知识体系,那么,当学生看到“拓扑学”、“实变函数”、“泛函分析”等抽象知识时,其实数学已经变成了一把思维的筛子,让更多的学生被所谓的数学知识“过滤”掉了。在这种情形下,数学兴趣谈何说起?学生对数学的积极性如何激发?现代教育理论与教育实践的发展,对于高等数学教学,应该逐步走出传统抽象性、逻辑性思维的窠臼,将数学进行逐级分化,兼顾不同层次学生的数学认知需求,更多的提升广大学生的数学思维和认知力,强调对数学课程的应用。如在学习偏微分方程时,如果仅仅依据其数学理论来讲解,势必会带来学习障碍,而如果能够与具体的学科实例问题相结合,从实例教学中来展示偏微分方程的求解与应用,则更能够增强广大学生学习兴趣,提升高等数学教学实效性。为此,以问题意识为导向,立足高等数学课程教学实际,从探索数学认知、构建数学教学目标上提出优化路径,增进学生对高等数学的理解与应用。
一、问题是启发认知方式、搭建认知结构的重要目标
大学不是纯粹传授知识的,更在于对学生认知方式、认知结构的塑造。美国学者奥苏伯尔提出“智”是构成学生认知结构的单元,而智育是塑造学生认知方式的重要途径。在对认知结构的分析上,知识是认知内化的基础,也是构成认知结构的条件。对于大学阶段的数学教学,以纯数学为分支的课程主要有代数类、分析类、几何类等内容,相同类型的课程,其培养思维的方式也类似。如在数学分析类课程中的复变函数,多建立在“数学分析”基础上进行实数域推广。同时,实变函数作为病态函数的精致化表现,也是提炼数学分析思想的重要内容。再如泛函分析,将几何、代数及古典分析融为一体,探讨无穷维空间上的函数变化理论。可见,弄清楚不同数学课程的知识结构特征,对于优化数学教学,构建良好的数学认知具有重要意义。通常情况下,问题是知识启发的工具。对于数学问题多指向未知领域的认识。当然,教学目标作为知识与经验的集合,决定了采用何种教学方式,来引导学生从已知到未知,渐进获得数学能力。我们可以将学生头脑比作一个箱子,对于问题就好比有待填充的空间。教学的过程,就是将前人的知识与经验,通过问题解决的过程来转变为学生的认知,塑造学生的认知结构。也就是说,数学知识在进行教学中,要尽量拟合活的经验和知识,引导学生从一般思维活动中来内化为自我知识,掌握相应的数学分析方法。如果在构建数学教学目标上,提出的要求过高,超越学生的现有思维认知水平。如希望每个学生都能成为数学家,将数学教学转换为数学研究,则难以拉近学生对数学的认知距离,更不利于学生习得数学。当然,数学教学应该有一个合理的目标,正如高尔基所言,目标具有激励、导向作用,目标能够激发学生的学习斗志,推动学生进行研究性学习,从而革新认知方式。
二、问题导向下高等数学课程教学路径选择与建构
针对数学教学中的问题导向,在把握数学认知点过程中,需要从理论讲解、学科特性以及不同教学方法的运用中来获得认知效果。
1.对于浅层数学问题转换为逐级抽象认知理解方式
数学学科知识具有系统性、抽象性,对于浅层数学知识点,在讲授方法上要注重数学技能修养的培养,特别是对学科本质性知识的讲解,要能够结合学科本性特征来延伸。数学知识中的结构模型通常是搭建教学体系的重要手段,其重点在于教师能够根据学生对象的认知需求和实际,灵活处理教学内容,并对教学知识进行合理化组织,强调师生间的相互交流与互动。在浅层知识内容学习上,由于涉及的知识点不深,以常规教学模式为主,也需要导入研究性教学,面向学生以吃透学科知识为根本。当然,对于数学知识本身的抽象性特征,在选择教学内容、教学方法上,还要考虑到学生认知的广泛性、易受性要求。由于抽象性学科在思维认知上具有高度凝炼特征,特别是对于数学来说,其高度抽象性很容易抑制学生的学习兴趣。不过,数学本身的抽象性也具有层级特性,遵循逐级发展特点。在数学知识讲解上,可以以一些具体的抽象概念为基础,来渗透其他抽象概念,以顺应广大学生的心理运算实际。如在学习实变函数时,先导入上极限、下极限概念,从这些浅层概念理解上,形成认知意识,接着再引申出实变函数概念,由此来把握抽象概念的认知点,增进学生对实变函数的理解。当然,在抽象概念讲解上,对于数列的上、下极限,要从概念、定义、表示方式等方面进行呈现,让学生从逐级抽象过程中来形成对复杂抽象概念的渐进理解。
2.在数学认知过程中融入文化内涵
从数学发展史来看,其数学认知过程并非渐进提升,而是迂回曲折的。对于数学概念中的奇闻轶事,往往能够激发学生的求知热情,提升对数学概念及数学学习的兴趣。在数学发展史上,三次数学危机的发生,将数学史变得跌宕起伏而又趣味横生。一种认知观念的形成总是与其研究视角的变化有关。如非欧氏几何提出的反驳欧氏几何的论断就是明证。欧几里得提出,过直线外一点只能作一条平行线。而罗巴切夫斯基却提出反驳意见:过直线外一点能作多条平行线。两种几何理论的对立,首先碰撞的是研究事物的视角迥异。在面对质疑与不解声中,罗巴切夫斯基并未获得其数学史上的赞誉,而是接连不断的学术打击,甚至连数学家高斯都未给予支持。从几何学的发展历程来看,认识视角的变化所带来的学术革新是巨大的尤其是数学研究领域,其实例比比皆是。如数学中的局部微分几何与整体微分几何学的对立,其认识视角由局部到整体的转变,也将数学概念拓深至更广阔的认识领域。还有极限概念的提出,极限作为数学研究中的重要概念,可以说,没有极限就没有微积分,更没有现代数学的发展。然而,基于极限概念的上、下极限数列的提出,将代数学与几何学实现了连接,将距离逼近的角度定义为一列变动的数来刻画未知的常数。由此可见,对于上、下极限的认识视角,将集合论作为研究距离逼近视角的研究范畴,不仅涵盖了实数直线几何结构,还推进了极限概念的广泛应用。
3.运用数学思想来表征数学理论的实质
数学学科并非纯粹的数学知识累积,也渗透了鲜明的数学思想。数学思想不同于一般数学理论,而是基于科学思维的抽象表达方式。当然,对于同一数学思想,可以用不同的数学语言来表达,也可以渗透不同的数学理论,便于学生从中来理解和应用。多元表征理论作为对信息论的多视角解释方法,有助于学生从旧知识上升至对新知识的理解,有助于实现学生认知结构的迁移和转换。从数学中子列收敛性来看,数列的上极限是涵盖所有收敛子列中最大值,而对于聚点来说,上极限却是数列的最大聚点;从确界的视角来看,上极限是基于上确界的递减数列的下确界。由此来看,同一数学知识及理论,在不同的视角及数学语言表征上可以不同,尽管数学的符号化、形式化是数学表征的采用方法,但对数学思想来说,其活泼的科学思维更具美学特征。所以说,通过对数学本质的认知,将数学思想运用到数学思维培养上,让学生近距离感受数学,理解数学,增进学习数学的乐趣。
4.立足问题来驱动数学教学的开展
数学家哈尔莫斯提出“问题是数学的心脏”。从数学教学实践来看,问题是驱动学生认知养成的重要动力,特别是在构建问题认知情境中,利用问题来建构师生之间的交互状态,引导学生从中探究知识,了解和把握数学概念和数学方法。因此,在数学知识传递过程中,要将问题置于其中,借助于问题情境来展现数学逻辑脉络,让学生从不同视角来探究问题,启发学生掌握知识。
三、结语
研究数学的本性,探讨数学认知结构与规律,从激发学生数学思维与趣味上,拓宽数学课程建构模式。总之,对于人的认知结构来说不是封闭的,而是开放的,不断发展的系统。在数学教学上,要善于从合理教学目标的设定上,从问题的启发与导向上,构建良好的数学认知方式,推动学生去了解、去探究、去掌握数学知识,完善自我认知结构,才能够真正实现“授人以渔”的目标。
参考文献:
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