浅析“错位相减法”在高中数学数列中的应用

杨天潼●

湖南省长沙市雅礼中学(410000)



浅析“错位相减法”在高中数学数列中的应用

杨天潼●

湖南省长沙市雅礼中学(410000)

数列是高中数学学习中非常重要的一部分，也是高考经常考查的知识点之一.“错位相减法”是推导等差乘等比数列前n项和最主要的方法，我们应学会并掌握它们的有关性质、通项公式和求和公式等来解决学习中遇到的该类问题，这可以有效地提高同学们的数学成绩.本文就错位相减法在高中数学数列中的应用进行了分析与总结，希望有助于加深同学们对错位相减法的理解和在实际解题过程中的应用.

错位相减法；高中数学；数列

“错位相减法”是高中数学中常用的解决数列问题的方法之一，教师在介绍这类方法时通常以{an·bn}(其中an是等差数列，bn是等比数列)的例子来进行解析，而同学们平常考试中出现的题目一般是经变形的复杂题型，这就需要我们根据实际情况，灵活运用“错位相减法”对题目进行解析.本文就针对平时出现的几种题型，分析了“错位相减法”在数列题型解析中的实际应用.

题型一 求数列{anbn}的前n项和σn，an是以d为公差的等差数列；bn是以q(q≠1)为公比的等比数列.

该题型是老师在教授“错位相减法”过程中最常采用的类型，应用最简单的错位相减，经化简后即可得到相应结果.其中，σn=a1b1+a2b2+…+anbn,

则qσn=qa1b1+qa2b2+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+anbn+1.

两式错位相减得:(1-q)σn=a1b1+d(b2+…+bn)-anbn+1，所以σn=(a1b1-anbnq)/(1-q)+dq(b1-bn)/(1-q)2.

题型二 求数列{anTn}的前n项和σn，an是以d为公差的等差数列,其前n项和为Sn，Tn是以q(q≠1)为公比的等比数列bn的前n项和．

该类题型分为两种情况，当an为1时，则

σn′=T1+T2+…+Tn=b1+(b1+b2)+…+(b1+b2+…+bn),所以qσ′n=qT1+qT2+…+qTn=qb1+q(b1+b2)+…+q(b1+b2+…+bn)=b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn+1).

应用错位相减得:(1-q)σn′=nb1-qTn,

最终求得σ′n=(nb1-qTn)/(1-q).

当an不为1时，则σn=a1T1+a2T2+…+anTn=a1b1+a2(b1+b2)+…+an(b1+b2+…+bn),

所以qσn=qa1T1+qa2T2+…+qanTn=qa1b1+qa2(b1+b2)+…+qan(b1+b2+…+bn)=a1b2+a2(b2+b3)+…+an-1(b2+b3+…+bn)+qanTn.

错位相减得到：(1-q)σn=(a1+a2+…+an)b1+d[b2+(b2+b3)+…+(b2+b3+…+bn)]-qanTn=(Sn-nd)b1+dσn′-qanTn.

经整理后σn=[(Sn-nd)b1-qanTn]/(1-q)+[d(nb1-qTn)]/(1-q)2.

题型三 求数列{Snbn}的前n项和σn，其中Sn是以公差为d的等差数列an的前n项和，bn是以q(q≠1)为公比的等比数列．σn=S1b1+S2b2+…+Snbn，所以qσn=qS1b1+qS2b2+…+qSnbn.

由于an=Sn-Sn-1，所以上述两式相减得到

(1-q)σn=a1b1+a2b2+…+anbn-Snbn+1.

根据题型一可得到σn=(a1b1-anbn+1)/(1-q)2+dq(b1-bn)/(1-q)3-Snbn+1/(1-q).

题型四 求数列{SnTn}的前n项和σn，其中Sn是以q1(q1≠1)为公比的等比数列b1n的前n项和，Tn是以q2(q2≠1)为公比的等比数列b2n的前n项和．

σn=S1T1+S2T2+…+SnTn,

则qσn=qS1T1+qS2T2+…+qSnTn.

上式相减得到(1-q)σn=(S1+S2+…+Sn)b1+(S2-S1)b2+…+(Sn-Sn-1)(b2+b3+…+bn)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+a2(T2-b1)+…+an(Tn-b1)-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-Snb1-q2SnTn=(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn.所以σn=[(S1+S2+…+Sn-1)b1+(a1T1+a2T2+…+anTn)-q2SnTn]/(1-q).

题型五 求数列{anTn}的前n项和σn，其中an是以q1(q1≠1)为公比的等比数列，Sn为其前n项和，Tn是以q2(q2≠1)为公比的等比数列bn的前n项和．

σn=a1T1+a2T2+…+anTn,

则q1σn=q1a1T1+q1a2T2+…+q1anTn=a2b1+a3(b1+b2)+a4(b1+b2+b3)+…+an(b1+b2+…+bn-1)+an+1Tn.

“错位相减法”在数列中的应用十分重要与广泛，归根结底，是用最基本的“加、减、乘、除”来解决复杂冗长的数列问题.我们在解题过程中也应避免生搬硬套公式和解题方法，应学会灵活运用，巧妙解题.

[1]王跃进，牛伟强.一道值得探究的高考压轴题[J].中学数学教学参考(下旬)，2010(3)

[2]王新星.例谈高考数列中的不等式证明[J].高中数学教与学，2009(4)

[3]侯国亮.浅论如何应用差分方程求数列的通项公式[J].吉林省教育学院学报，2012(5)

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