具有转动惯量和结构阻尼及非线性外阻尼的非自治热弹耦合梁方程组的整体解

王金楠,王旦霞

(太原理工大学 数学学院,太原 030024)



具有转动惯量和结构阻尼及非线性外阻尼的非自治热弹耦合梁方程组的整体解

王金楠,王旦霞

(太原理工大学 数学学院,太原 030024)

考虑到弹性梁受热效应的影响,本文研究的是具有转动惯量和结构阻尼及非线性外阻尼的非自治热弹耦合梁方程组的初边值问题。根据对阻尼项和与时间有关的连续外力项的假设,采用Galerkin方法,结合先验估计,证明了方程组整体解的存在唯一性。

热弹耦合梁方程组;Galerkin方法;整体解;非线性非自治

2006年,王旦霞等[1]研究了粘弹性梁方程

在非线性边界条件

下整体解的存在唯一性。其中，M(0)=0,|M′(s)|≤C,N(0)=0,|N′(s)|≤C.

2009年,田添等[2]采用Galerkin方法,研究了一类具有结构阻尼的热弹性梁耦合系统

在齐次边界条件下的整体解。其中，M,N的假设如上述文献[1].

2011年,程永玲[3]证明了如下具有非线性项的热弹耦合偏微分方程

在齐次边界条件下强解的存在性。其中，

且Ni1(u),Ni2(θ)∈C1(R)i=1,2 .

在本文中,笔者将研究具有转动惯量和结构阻尼及非线性外阻尼的非自治热弹耦合梁方程组

(1)

在初始条件

(2)

和边界条件

(3)

下整体解的存在唯一性及解对初值的连续依赖性。其中,Ω⊂Rn是Rn中有充分光滑边界的有界区域,且0<ω<1,0<υ<1 .

1 空间及假设

定义

(H.1)函数M,N的假设

(H.2)关于非线性函数f,g,h的假设如下:

f∈C1(R),且

其中

g∈C1(R),g(0)=0,(g(r)-g(s))(r-s)≥

ρ|r-s|2,∀r,s∈R,

其中ρ为常数;

其中

2 主要结果

定理1 假设(H.1)(H.2)成立,若u0τ∈D(A),u1τ∈V,θ0τ∈V,则问题(1)-(3)存在整体解(u,θ),对∀w∈D(A),φ∈V在L∞(Rτ)满足方程

(4)

及初始条件

(5)

且

u∈C(Rτ,V),ut∈C(Rτ,V),

(6)

对于∀wj,φj(j=1,2,…,n)满足方程

由

‖‖2+‖θn‖2,

则

N((un,(un,

根据对g,h的假设,运用庞加莱不等式和Young不等式得

即

N((un,(un,

C1(t)+k(‖‖2+‖‖2) .

两边对t积分得

其中,

C2=E(τ,un,θn)+

根据对初值条件及M,f,h的假设可得

由Gronwall不等式可得E(t,un,θn)有界。

对于t=τ部分,积分得

则

‖Δ2u1‖2+‖Δθ0‖2)

即

(9)

(10)

将式(10)与式(12)相加得

其中

由

根据对M,N的假设,运用中值定理及庞家莱不等式得

取

C=C1+C4

得

同理,根据对f,g的假设及庞家莱不等式得

取

K=max{K1+C,K2+C}

得

(13)

将式(13)两边同时除以ε2,再令ε→0得

令

两边关于t积分得

(14)

由上述有界性知:

un→u,在L∞(Rτ,V)有界;

θn→θ,在L∞(Rτ,L2(Ω))有界;

因为,可分赋范线性空间的一致有界线性泛函序列中必可取出一个弱*收敛的子序列,不妨将{un},{θn}的子序列仍记为{un},{θn}则

un→u,在L∞(Rτ,V)弱*收敛;

θn→θ,在L∞(Rτ,L2(Ω))弱*收敛;

由以上的收敛可知:

对∀μ∈L1(Rτ)有wμ∈L1(Rτ,L2(Ω)),那么

对∀μ∈L1(Rτ),有wμ∈L1(Rτ,V)⊂L1(Rτ,L2(Ω)),那么

即(Δun,Δw)→(Δu,Δw)在L∞(Rτ)弱*收敛。

同理

在L∞(Rτ)弱*收敛;

在L∞(Rτ)弱*收敛。

对∀ψ∈L1(Rτ),则φψ∈L1(Rτ,L2(Ω)),那么

同理

由以上收敛知:(u,θ)是问题(1)-(3)的整体解。

3 整体解的唯一性及对初值的连续依赖性

定理2 在整体解存在的条件下,问题(1)-(3)解(u,θ)是唯一的,且连续的依赖于初值。

证明 设(u,θ),(v,ψ)分别是问题(1)-(3)的两组解,令w=u-v,φ=θ-ψ满足方程

初值条件为w(x,τ)=wt(x,τ)=φ(x,τ)=0,x∈Ω.

将式(15)乘wt,式(16)乘φ得

对右端的证明如下,不妨设

根据对M,N的假设,运用中值定理及Young不等式得

令,L2=(g(vt)-g(ut)+f(v)-f(u),wt),由f,g假设,庞加莱不等式得

综上得

再次应用Gronwall不等式及E(τ,w,φ)=0,可得整体解的唯一性且在Rτ上连续地依赖于初值。定理证毕。

[1] 王旦霞,张建文,王银珠.非线性边界条件下粘弹性梁方程的整体解[J].中北大学学报(自然科学版),2006,27(2):128-131.

[2] 田添,张建文,张建国.具有结构阻尼的热弹性梁耦合系统的整体强解[J].数学的实践与认识,2009,39(15):209-212.

[3] 程永玲.非线性热弹耦合偏微分方程强解的存在性[J].甘肃联合大学学报(自然科学版),2011,25(2):20-22.

[4]BALLJM.Initial-boundaryvalueproblemsforanextensiblebeam[J].JMathAnal,1973,42:61-88.

[5]BALLJM.Stabilitytheoryforanextensiblebeam[J].JDifferEqu,1973,14:399-418.

(编辑：朱 倩)

Global Solution for the Non-autonomous Thermoelastic Coupled Beam Equations with Rotational Inertial term and Structural and Nonlinear External Damping

WANG Jinnan,WANG Danxia

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Considering the influence of thermal effect on elastic beam,we studied the initial-boundary value problem for a non-autonomous thermoelastic coupled beam equations with rotational inertial term and structural damping and nonlinear external damping.According to the assumptions of damping term and the continuously external force term,the existence and uniqueness of the global solution are obtained by the Galerkin approach with the prior estimation.

thermoelastic coupled beam equations;Galerkin method;Global solution;nonli-near and non-autonomous

1007-9432(2016)03-0424-05

2015-04-29

国家自然科学基金资助项目：基于时滞惯性流形的非线性弹性壳结构动力屈曲研究(11172194)，山西省自然科学基金资助项目(2014011005-4，2015011066)

王金楠(1990-)，女，河南南阳人，硕士生，主要从事无穷维动力系统的研究，(E-mail)wangjinnan1990@163.com

王旦霞，副教授，主要从事无穷维动力系统的研究，(E-mail)danxia.wang@163.com

O175.27

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2016.03.027