上下楼梯时人行荷载模型参数的试验研究

杜永峰， 刘路路， 朱前坤,2， 陈 凯

(1. 兰州理工大学 防震减灾研究所，兰州 730050；2. 大连理工大学 建筑工程学部，大连 116024)



上下楼梯时人行荷载模型参数的试验研究

杜永峰1， 刘路路1， 朱前坤1,2， 陈 凯1

(1. 兰州理工大学 防震减灾研究所，兰州 730050；2. 大连理工大学 建筑工程学部，大连 116024)

对试验获得的900组三向楼梯荷载时程，采用快速傅里叶变换，统计出各阶谐波动力荷载因子的分布规律并指出相位角的分布具有很大的离散性。采用小波变换得到单条荷载曲线的时频图，可以反映出人在行走过程中行走频率的变异性。最后将上下楼梯时人行荷载与已完成的楼板荷载就行走频率、幅值等参数进行比较，并将上楼梯与下楼梯的荷载参数进行比较，发现上楼梯时的人行荷载至少是楼板上荷载的150%，下楼梯时是楼板荷载的300%之多。

柔性楼梯；人行荷载；傅里叶级数模型；动力荷载因子；小波变换

由于建筑师过于追求楼梯的新颖、美观以及轻巧等特点，使得现在大量的柔性楼梯比较盛行；例如，超长楼梯、旋转楼梯、大跨度钢楼梯等[1]。与传统楼梯相比，这些楼梯的基频较低，所以在大量人群荷载的作用下，很容易激发结构的响应，进而引发楼梯的舒适度问题。因此对于柔性楼梯舒适度的研究也变得越来越重要。一方面，对于楼梯在人群激励下响应的研究，多以人行桥及大跨楼盖为经验基础，没有令人满意的规范可供设计人员使用[2]。另一方面，相对于楼板及人行桥等结构来说，由于楼梯踏步的几何尺寸决定了楼梯上人行荷载的步长[3]，所以如果多个人同时行走在楼梯上，他们更倾向于以同样的步长及速度上或者下，进而很有可能引起结构的巨大响应。因此为更好的解决柔性楼梯舒适度的问题，就必须对楼梯上人行荷载的特性展开分析研究。

国内学者对楼梯荷载鲜有研究，最早的是国外学者BISHOP等[2-4]系统地研究了人在楼梯走动时引起的振动现象，得到了大量的落步曲线、动力荷载因子的统计值，并在此基础上提出了可供计算分析使用的荷载手册。而且对楼梯荷载以及人群效应进行了更全面的研究。其他学者对楼梯上的人行荷载也做了相应的研究[5-7]。在考虑人-结构相互作用的基础上，DA SILVA等[8]利用有限元软件分析了稀疏和密集人群与结构的竖向相互作用，采用质量-刚度-阻尼生物力学模型代替人群行为，仿真结果与试验结果较为接近。CUNHA等[9]采用质量-刚度-阻尼生物力学模型代表人群中的单个行人，与结构组成一个动力耦合系统，分析了人群与结构竖向动力作用。因不同国家人体体征参数(身高、体重、体段质心与惯性矩等)的不同，所以有必要开展针对中国人行走激励的动力特性试验与工程分析模型的研究[10]。本文采用新型微电子机械系统(MEMS)AH100B三轴加速度传感器测定了行人上楼梯和下楼梯的加速度时程。进而统计出傅里叶级数荷载模型中动力荷载因子(Dynamic Loading Factor，DLF)的分布规律，指出相位角分布的离散性。并将人行激励下楼梯荷载与已完成的楼板荷载就行走频率、幅值等参数进行对比分析，说明上下楼梯时的人行荷载有可能会引发结构过大的响应，应引起设计人员的重视。

1 傅里叶荷载模型

三向(纵向Fx(t)、侧向Fy(t)、竖向Fz(t))连续行走荷载在时域上可以表达为傅里叶级数的形式[11]：

(1)

(2)

(3)

式中：G为人体重量(N)，αxi、αyi和αzi分别为x向、y向和z向第i阶谐波的动载系数，也常称为动力荷载因子或动载因子，定义为αi=Ai/G，Ai为第i阶谐波动荷载幅值[3,10]；fp为人行走频率( Hz)；φxi、φyi和φzi分别为x向、y向和z向第i阶谐波相位角；n为模型中考虑的阶数。

2 楼梯人行荷载动力特性试验

2.1 试验内容

楼梯荷载试验是在如图1所示的柔性楼梯上进行的-某教学楼的室外长悬挑楼梯(为后续建立人-结构相互作用的单自由度模型考虑)，混凝土结构，悬挑长度1.3 m，水平倾角26°，共有10个梯段，每一梯段共有13个台阶。为方便测试，选取在第2梯段进行试验。为了更好的比较楼板及楼梯两种荷载的动力特性，两次荷载试验选用同一批试验人员，测试者皆为健康成年人，其基本信息如表1所示。

图1 某室外悬挑楼梯及试验情况Fig.1 A cantilevered stair and experimental situation

性别人数年龄/岁均值标准差范围体重/kg均值标准差范围身高/cm均值标准差范围男107241.718-2670.28.2458-89173.93.7166-182女43231.552.35.5144-62161.45.4150-172

将MEMS加速度传感器固定在人体质心部位，由文献[12]知：质心位置女性为0. 55 h；男性为0. 57 h(其中h为人体高度)。同楼板荷载试验，加速度传感器的采样频率设定为100 Hz。为减少误差的干扰，本试验采用在每位测试者质心位置前后固定两个传感器，取两次分析结果的平均值作为一次试验获得的连续荷载时程，试验情况如图1所示。要求每位测试者共完成6组自由行走工况试验，包括三组慢速、正常、快速的上楼梯以及三组慢速、正常、快速的下楼梯。为保证数据的可靠性，每位试验人员刚开始时均以合适的速度在休息平台上自由行走，当他们靠近测试梯段的台阶时开始采集数据，走完第2梯段时终止记录。并且要求每位试验者在连续行走的过程中，一步一个台阶，不能跳跃梯级。

2.2 试验结果

目前已经完成150人次的楼梯荷载试验，每个人对应6种行走工况，所以共得到平均之后的900组荷载时程曲线。

2.2.1 上楼梯试验结果

如图2所示为某男性测试者(身高175 cm，体重74 kg)以fp=2.0 Hz上楼梯的三向加速度时程，且单位为g(取前4 s)，其中z向加速度时程包含静止时重力加速度g在内。

DLF的定义为步行荷载傅里叶幅值谱峰值与人体体重之比[10]。在本文中，由傅里叶变换的线性特性可知，F(ωi)=ma(ωi)，所以直接对传感器采集到的加速度时程进行傅里叶变换得到步频及其倍频处的谱值即为动载因子。图3所示为三向荷载的傅里叶频谱图，其中由频谱图知，不同于x向和z向，y向荷载包含了多种起主导作用的振动分量，其幅值在谐波频率和次谐波频率处出现[13]，次谐波频率在fp的1/2奇数倍左右取值。

图4所示为三向荷载DLFs随上频率变化的散点图及拟合的函数关系式。由于篇幅限制，给出了y向前两阶，z向前4阶的DLFs分布规律。从图5(a)中可以看出，测试者行走频率的覆盖范围为[1.2，4.2] Hz。而且上楼梯的行走频率多集中于2 Hz左右，超过3.0 Hz便开始以跑的姿态上楼梯。三向各阶DLFs的取值一般是随着行走频率的增大逐渐增加，且各阶DLFs的大小及其取值范围与BISHOP、KERR、DAVIS等[3,6-7]的研究成果具有很好的一致性。图4所示为KERR进行楼梯人行荷载研究的试验成果(2 Hz)，通过对比验证了本文DLFs取值的合理性及准确性。根据文献[3,10]拟合楼梯与楼板上DLFs与频率的关系多用其统计平均值或一次线性多项式便可以得出较好的拟合效果(95%的保证率)，本文为后续设计使用及计算方便，也多采用一次多项式拟合。

图2 三向加速度时程曲线Fig.2 Three-dimentional acceleration history curves

图3 三向荷载傅里叶频谱图Fig.3 Three-dimentional loading Fourier spectrums

图4 KERR荷载模型fp=2 Hz各阶DLFs取值Fig.4 The value of DLFs at 2 Hz of Kerr’s loading model

图5(a)中y向第1阶DLF以0.08为基准线均匀分布，最大值可达到0.2左右，所以对侧向约束比较弱的柔性楼梯，例如本试验的楼梯型式，为一悬挑楼梯，故对于其侧向振动应给予重视。参考KERR在拟合楼板上人行荷载的第1阶DLF与频率的关系采用三次多项式拟合的方法[3]。本试验z向第1阶DLF与频率的关系，较与三次多项式拟合相比，二次抛物线更加逼近真实的关系(R2=0.592 1，具有95%的保证率)。经统计z向第1阶荷载幅值是重力荷载的1倍之多，故对于楼梯考虑人体动力效应具有不可忽视的重要意义。z向第2阶DLF均值为0.1，所以对于基频小于10 Hz的楼梯(本试验的楼梯不存在舒适度的问题)，人行荷载激发的响应应该引起设计人员的注意。

图7和图8分别为y向和z向前两阶DLFs分布直方图及拟合曲线。y向前两阶DLFs均大致呈对数正态分布，z向第1阶大致服从对数正态分布，而第2阶服从正态随机分布。经研究分析其他各阶DLFs分布规律与此基本相同，或为正态随机分布或为对数正态分布，在此不一一赘述。

(a) y向第1阶DLF分布(b) y向第2阶DLF分布图5 Y向DLFs散点图分布Fig.5Y-dimensionalDLFsscatterplotsdistribution

(a) z向第1阶DLF分布(b) z向第2阶DLF分布

(c) z向第3阶DLF分布(d) z向第4阶DLF分布图6 Z向DLFs散点图分布Fig.6Z-dimensionalDLFsscatterplotsdistribution

(a) y向第1阶DLF分布直方图(b) y向第2阶DLF分布直方图图7 Y向DLFs分布直方图及拟合曲线Fig.7Y-dimensionalDLFshistogramsandcurvesfitting

由以上分析结果可以看出：y向前几阶谐波都占有很大的成分，对傅里叶级数荷载模型具有很大贡献，而且DLFs的取值并没有出现随阶数呈明显递减的现象，故要考虑的阶数n≥5才能使得傅里叶级数荷载模型能够准确地刻画y向人行荷载，本试验考虑前8阶谐波分量。对x向及z向荷载来说，由图3的傅里叶频谱图可知，考虑n≥3便可很好的描述x向及z向荷载模型，本试验考虑前4阶谐波分量。表2给出了自由行走工况下三向各阶DLFs取值；表3统计了三向各阶DLFs的平均值及标准差。将此与BISHOP的研究成果相比[2]，本次试验结果统计值略偏小。

对荷载时程进行快速傅里叶变换还可以得到相频谱。为了反映出行走过程中相位角的真实变化情况，采用unwrap函数对各阶谐波的相位角进行修正。z向第1阶谐波对应的相位角φz1，如图9所示。相位角的分布比较离散，因此，国外现有步行荷载模型大多不指定相位角或直接取试验数据的均值。本文不作统计说明。

(a) z向第1阶DLF分布直方图(b) z向第2阶DLF分布直方图图8 Z向DLFs分布直方图及拟合曲线Fig.8Z-dimensionalDLFshistogramsandcurvesfitting

表2 三向各阶DLFs取值

表3 三向各阶DLFs均值±标准差

图9 Z向第1阶相位角Fig.8 The firstz-dimensional phase angle

2.2.2 下楼梯试验结果

如图10所示为某男性测试者(身高175 cm，体重74 kg)以fp=2.5 Hz下楼梯的三向加速度时程。与上楼梯的人行荷载相比，三向加速度幅值均有明显的增大。y向最大值可以达到1.5 g，z向加速度幅值最大值达到3 g，所以下楼梯时的人行荷载更容易引起柔性楼梯舒适度的问题。

图11和图12分别为y向和z向前2阶DLFs随频率变化的散点图及函数关系式。从图11(a)可以看出，测试者行走频率的覆盖范围为[1.2，4.8] Hz，而且下楼梯的行走频率多集中于2.85 Hz左右。就z向荷载来说，下楼梯时的人行荷载要大于上楼梯时的激励，但是z向第1阶DLF的最大值为0.85小于上楼梯的αz1=1.15，而第2阶DLF最大值却比上楼梯的大，此现象与Kerr研究成果吻合。这是由于行人下楼梯时将重心迅速地从一个腿上转移到另外一个腿上导致的[3]。三向人行荷载前几阶DLFs与上楼梯各阶DLFs类似，均随着行走频率的增大而有略微增加的趋势。但对于某些高阶的DLFs，随着行走频率的增加，DLFs反而会出现减小的趋势，如x向第3阶，z向第2、4阶，y向7、8阶。因其DLFs分布比较离散，线性拟合近似水平线，故用其平均值作为其拟合的函数关系式。

(a) x向加速度时程(b) y向加速度时程(c) z向加速度时程图10 三向加速度时程曲线Fig.10Three-dimentionalaccelerationhistorycurves

(a) y向第1阶DLF分布(b) y向第2阶DLF分布图11 Y向DLFs散点图分布Fig.11YdimensionalDLFsscatterplotsdistribution

(a) z向第1阶DLF分布(b) z向第2阶DLF分布图12 Z向DLFs散点图分布Fig.12Z-dimensionalDLFsscatterplotsdistribution

类似于上楼梯统计各阶DLFs分布直方图及其规律，经统计分析下楼梯时人行荷载的各阶DLFs分布大多服从正态随机分布。而且其各阶谐波的相位角分布特点与上楼梯一样，比较分散，在此不作统计说明。表4给出了自由行走工况下三向各阶DLFs取值；表5统计了三向各阶DLFs的平均值及标准差。

表4 三向各阶DLFs取值

表5 三向各阶DLF均值±标准差

2.2.3 小波变换识别个人行走频率的变异性

傅里叶变换确定的是整个时间域上的频率特性，没有局部化分析信号的能力[14]。为识别单个人行走过程中频率的变异性，采用小波变换，选用morlet小波基，可以得到单个信号的时频图[15]。如图13所示为利用小波变换对上楼梯的y向及z向两条荷载时程(上楼梯时行走频率为2.8 Hz)进行小波变换得到的小波时频图。图中可以反映出单个人在行走过程中行走频率随时间的微小变化，这就为后续深入地分析人行荷载的动力特性提供了方法指导。从图中可以看出z向荷载的信号成分比较单一，而且第1谐波所占成分较大，大概为67%；但y向荷载包含了多种频率的信号，而且前几阶谐波所占成分都比较大，这与采用傅里叶变换得出的结论一致(图3(b))。

(a) y向荷载小波时频图(b) z向荷载小波时频图图13 小波时频图Fig.13Wavelettime-spectrumplots

3 楼板和楼梯人行荷载对比分析

3.1 楼梯荷载与楼板荷载比较

采用加速度传感器可以获得连续的加速度时程，克服了以前经过拓展单足荷载得到连续荷载的不足。对于DLFs的峰值一般均在谐波频率或次谐波频率处出现，而且DLFs的取值与步行频率有很大的相关关系。三向人行荷载的前几阶DLFs均随着行走频率的增加逐渐变大，但是对于高阶的DLFs，会出现随着频率的增大而略微减小的趋势。各阶DLFs分布均大致服从正态随机分布或者对数正态分布的规律。为方便比较，表6为已完成的楼板上三向人行荷载的前2阶DFLs均值和标准差的统计值。

表6 三向DLFs均值±标准差

楼梯与楼板人行荷载的不同主要表现在激励的幅值和行走频率上。图14为楼板和楼梯上z向人行荷载的比较图。楼梯上的行走频率比楼板上的大，导致人行荷载也相对较大，特别是下楼梯时。例如，z向楼梯上的荷载至少是楼板上荷载的150%，下楼梯时可能达到300%之多。进一步说明套用楼板及人行桥的规范去解决楼梯的舒适度问题，是不可行的[3]。

图14 楼板与楼梯上人行荷载比较Fig.14 Comparison of loads on the floor and staircase

3.2 上楼梯与下楼梯荷载比较

由于下楼梯的行走频率一般较上楼梯大，导致下楼梯的人行荷载明显比上楼梯的大。表现在上楼梯的z向第1阶DLF均值为0.388，下楼梯的为0.458 4；所以对于本试验楼梯的舒适度分析或者一般楼梯来说，应主要控制下楼梯时人群激发的结构响应。上楼梯时的y向荷载周期性不强，每一步的荷载曲线重合度不高，说明上楼梯时人体的侧向运动变化比较大。而且其傅里叶谱的峰值并不完全都在谐波频率或者次谐波频率处出现，具体原因有待进一步研究。与上楼梯相比，下楼梯的高阶DLFs出现随着行走频率的增加而减小的趋势。下楼梯的各阶DLFs多数大致服从正态随机分布，而上楼梯的DLFs多数大致服从对数正态分布。说明对于测试者来说，上楼梯时的行走频率较下楼梯的步频比较集中。

4 结 论

通过对试验获得的大量楼梯荷载时程采用傅里叶变换，分别得到上楼梯和下楼梯的动力荷载参数DLF及相位角的变化规律，可为设计人员设计与分析柔性楼梯提供参考。由试验中DLFs的最大值可知，对于柔性楼梯的设计，必须将人体动力效应按照傅里叶级数模型考虑进去，而且下楼梯时的人行荷载更容易引发结构的响应。对于基频小于10 Hz的楼梯，人行荷载激发的响应应该引起设计人员的注意；因侧向荷载包括较多频率成分的振动分量，故在人行荷载作用下很容易引发结构的共振，对于悬挑楼梯或者侧向约束较弱的楼梯，应予以特别重视。此次试验的数据为后续考虑人与结构的耦合作用而建立质量-刚度-阻尼生物力学模型提供了基础。最后将楼梯上的人行荷载与楼板上的进行了对比分析，进一步说明：楼梯的舒适度问题不仅要引起设计人员的重视而且楼梯的振动设计不能套用人在楼板上走动引起振动响应的计算方法。

[1] 王赞，韦振飞，王寒冰，等. 钢结构旋转楼梯的结构设计及舒适度分析[J].建筑结构, 2013, 43(增刊1):414-417. WANG Zan, WEI Zhenfei, WANG Hanbing, et al. Design and comfort analysis of spiral steel staircase[J]. Building Structure, 2013, 43(Sup1):414-417.

[2] BISHOP N W M, WILLFORD M, PUMPHREY R. Human induced loading of flexible staircases [J]. Safety Science, 1995, 18: 261-276.

[3] KERR S C, BISHOP N W M. Human induced loading on flexible staircases[J]. Engineering Structures, 2001, 23: 37-45.

[4] KERR S C. Human induced loading on staircases[D]. UK: University College London, 1998.

[5] KIM S B, LEE Y H, SCANLON A, et al. Experimental assessment of vibration serviceability of stair systems[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2008, 64:253-259.

[6] KRETZ T, GRUNEBOHM A, KESSEL A, et al. Upstairs walking speed distributions on a long stairway[J]. Safety Science, 2008, 46(1): 72-78.

[7] BRAD D, MURRAY T M. Slender monumental stair vibration serviceability[J]. Journal of Architectural Engineering, 2009, 15(4):111-121.

[8] DA SILVA F T, BRITO H M B F, PIMENTEL R L. Modeling of crowd load in vertical direction using biodynamic model for pedestrians crossing footbridges[J]. Canadian Journal of Civil Engineering, 2013, 40(12): 1196-1204.

[9] CUNHA A, CAETANO E, RILBEIRO P, et al. Pedestrian-structure interaction in the vertical direction: coupled oscillator force model for vibration serviceability assessment[C]// Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics, Porto, Portugal, 30 June，2014.

[10] 陈隽，王浩琪，彭怡欣. 行走激励的傅里叶级数模型及其参数的实验研究[J]. 振动与冲击, 2014, 33(8):11-15. CHEN Jun, WANG Haoqi, PENG Yixin. Experimental investigation on fourier-series model of walking load and its coefficients[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(8): 11-15.

[11] HIVOSS. Design of footbridges guideline: Human induced vibrations of steel structure[R]. 2008: 48-51.

[12] BARTLETT R. Introduction to sports biomechanics[M]. Great Britain: Alden Press, 1977: 289.

[13] ZIVANOVIC S, PAVIE A, REYNOLDS P. Probability-basedprediction of multi-mode vibration response to walking[J]. Engineering Structures, 2007, 29(6):942-954.

[14] 伊廷华，李宏男，王国新. 基于小波变换的结构模态参数识别[J]. 振动工程学报, 2006, 19(1): 51-56. YI Tinghua, LI Hongnan, WANG Guoxin. tructural modal parameter identification based on wavelet transform[J]. Journal of Vibration Engineering, 2006, 19(1): 51-56.

[15] 罗光坤，张令弥. 基于Morlet小波变换的模态参数识别研究[J]. 振动与冲击, 2007, 26(7): 135-138. LUO Guangkun, ZHANG Lingmi. Study on identification of modal parameters based on morlet wavelet transformation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(7): 135-138.

Tests for parameters of pedestrian load model during human walking up and down stairs

DU Yongfeng1，LIU Lulu1，ZHU Qiankun1,2，CHEN Kai1

(1. Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China；2. Department of Architectural Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)

Through tests, 900 groups of three-dimensional pedestrian loading curves were obtained during human walking up and down stairs, using Fast Fourier transformation, the distribution law of each harmonic component’s dynamic loading factor was obtained and the obvious discrete distribution of phase angle was indicated. And then using the wavelet transformation, each single load time-frequency plot was gained to reflect the variability of walking frequency during human walking. Finally, the load induced by human on floors was compared with the load during human walking up and down stairs in terms of walking frequency, amplitude and other parameters, and the load parameters during human walking up stairs were compared with those during human walking down stairs. It was shown that the pedestrian load during human walking up stairs is at least 150% of the load induced loy human on floors and the pedestrian load during human walking down stairs is more than 300% of the load induced by human on floors.

flexible staircases; pedestrian load; Fourier series model; dynamic loading factor; wavelet transformation

国家自然科学基金(51178211;51508257)；甘肃省高等学校科研项目(2015B-34)

2015-05-07 修改稿收到日期：2015-10-01

杜永峰 男，博士，教授，1962年生

朱前坤 男，博士，副教授，1981年生

TU312+.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.035