基于Duffing振子的信号频谱重构随机共振研究

赖志慧, 饶锡新, 刘建胜, 冷永刚

(1. 南昌大学 机电工程学院，南昌 330031； 2. 天津大学 机械工程学院，天津 300072)



基于Duffing振子的信号频谱重构随机共振研究

赖志慧1,2, 饶锡新1, 刘建胜1, 冷永刚2

(1. 南昌大学 机电工程学院，南昌 330031； 2. 天津大学 机械工程学院，天津 300072)

针对信号特征频率和采样频率所要求的匹配关系对Duffing振子变尺度随机共振的限制，研究一种频谱重构的信号预处理方法，并进一步提出基于Duffing振子的信号频谱重构随机共振方法。该方法通过引入频谱重构参数实现信号特征频率的灵活转化，与变尺度方法和阻尼比参数调节方法相结合，可以实现任意信号特征频率和采样频率下的Duffing系统的大参数随机共振，从而扩展其在微弱信号处理中的应用。数值仿真和故障诊断实例分析均验证了该方法的有效性。

Duffing振子；随机共振；频谱重构；变尺度；故障诊断

随机共振是1981年BENZI等[1-3]首次提出的，用以解释过去70万年间地球冰川期和暖气候期交替出现的现象。随后，FAUVE等[4-5]分别在Schimitt触发器和双稳态环形激光器实验中观测到随机共振现象，验证了随机共振的存在。从此以后，这一非线性现象得到广泛而深入的研究[6]。

随机共振发生的三个基本要素是非线性系统、微弱信号和噪声[7]。它利用非线性系统，在输入信号和噪声的协同作用下，系统输出的信噪比将会在某一噪声强度时出现峰值，产生类似力学中人们熟知的共振输出现象，故称为随机共振。随机共振发生时，一部分噪声能量转移到信号身上，使原本微弱的信号强度大大增强，因此随机共振模型被广泛应用于微弱信号检测中，取得了丰富的研究成果[8-12]。

近十几年的研究表明，随机共振现象不仅发生在双稳系统[13]中，在单稳系统[14]、三稳系统[15]、混沌系统[16]、时延系统[17]中随机共振现象同样可能发生，这些研究极大地丰富了随机共振的理论。由微弱信号和噪声共同驱动的Duffing系统是一种能够产生随机共振的非线性模型[18-22]。与经典的一维Langevin方程的随机共振模型相比，二维Duffing系统同样是一个双稳系统，而模型中可调的阻尼比又增强了系统对不同噪声强度信号的适应能力[23]。但Duffing振子的随机共振受限于严格的小参数条件[24]，这大大限制了其在微弱信号检测中的应用。文献[25]建立基于Duffing振子随机共振的微弱信号检测模型，提出线性幅值变换、变尺度、参数调节等方法，分别实现Duffing振子在大幅值、大频率、大噪声强度信号输入条件下的随机共振，扩展其在实际工程中的应用范围。其中，通过对待测信号进行时间尺度变换，可实现大频率信号的随机共振。但该方法不仅要求尺度变换后的特征信号频率满足合适的小参数范围，而且要求采样频率与特征信号频率之间保持一个合适的比例关系。在实际工程的信号采集过程中，针对可能的特征信号频率特意设置采样频率不仅是繁琐的，甚至可能是无法实现的，这就限制了基于Duffing振子的变尺度随机共振方法在实际工程中的应用。

本文提出基于Duffing振子的频谱重构信号随机共振方法，通过对特征信号进行频谱重构，使变换后的信号特征频率与采样频率相匹配，Duffing系统输出实现随机共振，从而将频谱重构后的特征信号频率检测出来，实现微弱待测信号的频率特征提取。研究表明，本文所提出的方法与变尺度方法相结合，能够在同一采样频率下实现不同频率特征信号乃至复合频率信号的随机共振检测，从而克服采样频率的设置困难；同时，该方法与阻尼比参数调节等方法相结合可以实现大参数信号的随机共振检测。实例分析验证了该方法的可行性和有效性。

1 Duffing振子的随机共振

1.1 基本理论

Duffing振子的随机共振模型如式(1)所示：

当sn(t)=0时，Duffing系统(1)的势函数

(2)

V(x)=U(x)-xAcos(2πf0t+φ)=

(3)

图1 Duffing系统的双稳势函数U(x)、周期特征信号调制的势函数V(x)及Brownian粒子运动轨迹，其中a=b=1，A=0.3。当噪声存在时，Brownian粒子将有可能越过势垒。Fig.1 Bistable potential function of the Duffing system without driving force (solid line) and potential changes with driving force (dotted line) when a=b=1, A=0.3. Switching events may take place in the presence of noise as indicated by the arrow

1.2 Duffing振子的大参数随机共振

Duffing振子随机共振对微弱特征信号的增强特性使其成为一种潜在的微弱信号检测模型，用于实现强背景噪声下的微弱特征信号检测。其应用的最大困难在于Duffing振子的随机共振受到绝热近似理论严格的小参数限制，即要求方程(1)中A

所谓变尺度，是指改变待测信号的频率/时间尺度，即在不改变离散数值的情况下，对信号的频率/时间尺度进行压缩或放大。对于一组以采样频率fs采集的含有大频率f0成分的待测信号sn(t)，将它输入方程(1)所示的Duffing系统。引入变尺度系数R，以计算步长h=R/fs对方程进行数值求解，则待测信号尺度变换为sn(t′)，其特征信号频率变为f0′=f0/R，变尺度采样频率fs′=fs/R。当R取值合适时，就相当于通过变尺度系数R将大频率参数f0尺度变换为小频率参数f0′。当其他参数条件合适时，系统发生随机共振，从输出响应识别出频率f0′，最后通过尺度反变换即可得到原信号的特征频率f0=R·f0′。

可以看出，该方法的本质是将一个大频率信号转换成一个符合绝热近似条件的小频率信号，以利于随机共振的产生，从而进行特征信号的频率提取。将Duffing方程(1)在时间尺度t′意义下重写为

(4)

式中：t′=Rt，sn(t′)和x(t′)就是时间尺度t′下的系统输入和输出信号。方程(4)就是二维Duffing振子的变尺度随机共振方程，它能够通过频率/时间尺度变换实现大频率信号的随机共振。

2 Duffing振子的信号频谱重构随机共振

Duffing振子的变尺度随机共振方法大大扩展了Duffing振子在实际工程微弱信号检测中的应用。但该方法不仅要求变尺度后的信号频率f0′=f0/R满足合适的小参数条件，变尺度采样频率fs′=fs/R还须同时满足数值计算稳定性条件(fs′不能太小)和频率分辨力的要求(fs′不能太大)，即fs′也存在一定的取值范围。因此实测信号的采样频率fs与特征信号频率f0之间就必须满足合适的比例关系，如文献[25]中f0=0.01 Hz，fs=5 Hz和f0=40 Hz，fs=20 000 Hz两组参数，fs/f0保持了一个500倍的比例关系。如果该比例关系不合适，就无法将f0和fs同时压缩至合适的数值范围内，也就无法实现大频率信号的随机共振。

基于这个原因，在实际工程应用中，就需要根据可能的特征信号频率设置合适的采样频率进行工程信号采集。这样存在的问题是：首先，对特征信号频率的估计往往是粗略的，因此采样频率的设置也就无法绝对精准；其次，由于采样频率在信号采样完成后无法更改，该方法不适用于已有信号的微弱信号检测；再次，如果待测信号中有多个频率成分需要检测，需针对每一个频率成分都设置一个相应的采样频率进行数据采集，是非常繁琐且不经济的。针对上述问题，本文提出一种频谱重构的信号处理方法，并与变尺度方法相结合，实现Duffing振子在任意频率信号条件下的随机共振，最终识别出微弱特征信号。

2.1 信号的频谱重构方法

sn(t)=s(t)+n(t)=

(5)

对其进行频谱重构的过程如图2所示。

图2 信号的频谱重构过程
Fig.2 The reconstruction of signal spectrum

在实际工程信号的频谱重构过程中，需先用采样频率fs对连续信号s(t)进行离散采样，得到含有N个数据点的离散信号s(n)(n=1,2,…,N)。接下来，首先对sn(n)进行FFT变换，得到其离散频谱sn(f)；其次，对sn(f)进行频谱重构，得到重构后的离散信号频谱sn′(f)；最后，对sn′(f)进行IFFT变换，得到频谱重构后的信号sn′(n)。其中，频谱重构的含义说明如下：

图3 信号的频谱重构示意图，相应参数fs=100 Hz，A=0.1，f0=20 Hz，φ=20，D=0.1，Δf=18 Hz， N=2 000Fig.3. The diagram of signal spectrum-reconstruction; the corresponding parameters are fs=100 Hz, A=0.1,f0=20 Hz, φ=20, D=0.1, Δf=18 Hz, N=2 000

对信号频谱进行重构的过程中，我们保留了离散频谱的所有信息，而只是对其位置进行了重排，并通过线性的FFT变换和IFFT变换进行转换。显然，将sn(n)频谱重构为sn′(n)，我们只改变了叠加的周期信号的频率参数，而幅值、相位等信息都没有发生变化。

2.2 频谱重构信号的随机共振

(6)

(7)

系统输出特征信号幅值Am表征了输出特征信号的绝对强度，输出信噪比SNR则表征了输出特征信号的可识别能力，二者随噪声强度D的变化均呈现出先增大后减小的趋势，这是典型的随机共振特点。这说明，信号频率f0不合适的待测信号，经过频谱重构后输入Duffing系统，系统输出能够实现随机共振。图4中两曲线均在D=0.26时取得极大值，说明D=0.26是该组参数条件下Duffing系统实现随机共振所需的最优噪声强度。D=0.26时，输入信号的波形和频谱、频谱重构前后输出信号的波形和频谱如图5所示。

图4 Duffing系统输出信号的信号幅值Am与信噪比SNR随噪声强度的变化规律Fig.4 Response curve of the Duffing system output signal amplitude and SNR against noise intensity

图5 频谱重构信号的随机共振Fig.5 SR for spectrum-reconstructed signal

3 讨 论

信号的频谱重构方法能够调整输入信号中特征信号的频率，使其与采样频率相匹配，实现Duffing系统的随机共振。因此，频谱重构信号的随机共振方法克服了传统随机共振方法用于微弱信号检测时采样频率的设置困难。为进一步扩展其应用范围，本节进行进一步讨论分析。

3.1 频谱重构信号的变尺度随机共振

结合变尺度方法，可以将待测信号的特征信号频率f0和采样频率fs扩展到更大的范围内。首先考虑同一采样频率下不同特征频率信号的随机共振问题。令

sn(t)=A1cos(2πf1t+φ1)+A2cos(2πf2t+φ2)+

(8)

表示一个含三个频率成分(f1，f2和f3)的特征信号与噪声的混合信号，其中A1=A2=A3=0.1，f1=400 Hz，f2=2 000 Hz，f3=4 000 Hz，φ1=0，φ2=40°，φ3=120°，D=0.26，信号采样频率fs=20 000 Hz，数据点数N=20 000。该信号频谱如图6(a)所示。将其输入Duffing系统(6)，设k=0.5，a=b=1。显然，由于信号特征频率由于f1、f2和f3均远远超出绝热近似要求的小频率参数条件，系统输出将无法实现随机共振。对于大频率参数的情况，通常采用变尺度方法进行处理。但是，该组信号特征频率f1、f2和f3与采样频率fs的比例关系均不合适，无法直接通过尺度变换将二者压缩至合适的参数范围内，因此，在对待测信号进行尺度变换之前，我们考虑进行频谱重构。

图6(b)～(d)的结果表明，系统输出在不同重构参数条件下均实现随机共振，高频噪声能量向低频信号转移，从而在频谱重构后的低频特征信号频率f=0.01 Hz处出现明显峰值。这一结果有两层意义。首先，在相同的采样频率下，不同特征频率的信号可以通过设置不同的频谱重构参数，结合变尺度方法实现随机共振。其次，取不同的频谱重构参数，将特定的频率成分变换为与采样频率相匹配，并结合变尺度方法，可以实现复合频率信号的随机共振。

图6 频谱重构信号的变尺度随机共振Fig.6 Scale-transformation SR for spectrum-reconstructed signal

因此，在实际工程应用中，我们无需再针对特定频率的信号设置采样频率，而可以通过频谱重构信号的变尺度随机共振方法，实现待测信号的随机共振，并最终将微弱特征信号检测出来。

3.2 频谱重构信号的大参数随机共振

图7 不同采样频率下同一信号的频谱重构变尺度随机共振Fig.7 The spectrum-reconstruction and scale-transformation SR for a signal under different sampling frequencies

不考虑大幅值情况。在Duffing方程(6)中，取信号参数A=0.1，f0=2 000 Hz，φ=0，D=5，fs=20 000 Hz。信号点数N=5 000，对4 096点进行十次谱平均计算，得到输入信号的波形和频谱，如图8(a)和(b)所示。从中可以看出，由于噪声强度太大，从输入信号频谱图8(b)无法识别出f=2 000 Hz的特征信号谱峰，特征信号淹没于强背景噪声中无法提取。如果直接将该待测信号输入Duffing方程(6)，由于f0=2 000 Hz和D=5均远远超出绝热近似要求的小参数条件，系统输出将无法实现随机共振。为了在该参数条件下实现系统的随机共振输出，对于大噪声情况，可以对阻尼比k进行调节；对于大信号频率情况，则采用频谱重构信号的变尺度随机共振方法。

图8 频谱重构信号的大参数随机共振Fig.8 Large-parameter SR for spectrum-reconstructed signal

从系统输出频谱图8(d)可以观察到明显的谱峰，其频率f′=0.01 Hz，经过变尺度和频谱重构的反变换，得到f=f′·R+Δf=2 000 Hz，正是原时间尺度下待测信号中特征信号的频率。这样，我们就将淹没于强背景噪声下的微弱特征信号提取出来。这说明，将频谱重构方法与变尺度和阻尼比参数调节方法相结合，可以实现大参数条件下Duffing系统的随机共振，从而实现微弱信号检测。

4 实例分析

实验在图9所示的滑动轴承转子实验台上进行，转轴直径为φ12 mm，其几何中心偏离旋转轴线0.38 mm，滑动轴承转子系统存在弯曲不平衡故障。为了模拟微弱故障状态，在远离轴承基座0.5 m的实验台面上布置了一个加速度传感器，这样轴弯曲故障振动信号强度通过轴承和实验台结构得到进一步衰减，传感器可采集到模拟微弱故障的振动信号。根据故障机理，具有轴弯曲故障的旋转机械振动信号中含有明显的基频信号，同时常伴有二倍频或高次谐波成分。

图9 滑动轴承转子轴弯曲故障模拟实验台示意图Fig.9 Sliding-bearing experimental table for shaft-bending fault experiments

图10 转子轴弯曲故障振动信号Fig.10 Vibration signal of shaft-bending fault

图11 Δf=18 Hz，k=13.9，a=b=1，R=1 000时，Duffing系统的输出频谱Fig.11 The output spectrums of Duffing systemwhen Δf=18 Hz, k=13.9, a=b=1 and R=1 000

从图11中可以看出频率f0=27.77 Hz的信号谱峰，远大于其他信号成分，是故障信号的基频特征。这意味着滑动轴承实验台存在着轴弯曲故障或不对中故障，二者的最大区别在于轴弯曲故障的信号频谱中存在着二倍频及高次谐波成分，但我们无法从图11进行判断。为了判断待测信号中是否存在基频信号的高次谐波成分，我们进一步调整参数。为了使经过频谱重构和尺度变换后的m次谐波信号频率(mf0-Δf)/R满足小参数条件，我们须在图11的基础上增大Δf、减小R。当Δf=25 Hz，R=1 500，同时调节Duffing系统(6)中参数k=1.7，a=b=1时，系统输出信号频谱如图12所示，从中可以看出明显的基频、二倍频及高次谐波成分。这样，我们就能够判断出该滑动轴承实验台存在转子轴弯曲故障，从而实现故障诊断。

图12 Δf=25 Hz，k=1.7，a=b=1，R=1 500时，Duffing系统的输出频谱Fig.12. The output spectrums of Duffing system when Δf=25 Hz, k=1.7, a=b=1 and R=1 500

5 结 论

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Signal spectrum reconstruction stochastic resonance method based on a Duffing oscillator

LAI Zhihui1,2, RAO Xixin1, LIU Jiansheng1, LENG Yonggang2

(1. School of Mechatronical & Electrical Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China；2. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

The matching relation between signal characteristic frequency and sampling frequency has a restriction on the scale-varying stochastic resonance (SR) of a Duffing oscillator. Therefore, a signal pre-processing approach based on spectrum reconstruction was studied here, and a signal spectrum reconstruction SR method based on a Duffing oscillator was further proposed. This method introduced spectrum reconstruction parameters to realize the flexible varying of signal characteristic frequency. When combined with the scale varying and damping-ratio-adjustment methods, this method realized the large parametric SR of a Duffing system under any signal characteristic frequency and sampling frequency, thus its application in weak-signal detection was extended. Both numerical simulation and fault diagnosis example analysis verified the effectiveness of the proposed method.

Duffing oscillator; stochastic resonance; spectrum reconstruction; scale varying; fault diagnosis

国家自然科学基金(51275336)；江西省自然科学基金(20161BAB216111)；江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ150068)

2015-07-06 修改稿收到日期：2015-10-16

赖志慧 男，博士，讲师，1989年7月生

刘建胜 男，博士，副教授，1978年7月生

E-mail: victorljs@163.com

TH17；TN911.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.002