函数最值问题的探讨

李旭华

研究性学习，是指在教师的指导下，把教学的主权交给学生，让学生在主动、积极的学习环境中，饶有兴趣地学习，成为学习的真正主人。研究性学习注重培养学生以研究的态度去认真观察、分析、归纳，不断提出新问题、新方法，发现事物的内在规律，使教与学的重心不再仅仅放在获取知识上，而转到学会思考、学会学习上，使被动的接受式学习转到主动探索性的学习，从而培养学生的提出问题、分析问题、解决问题的能力。

本节课是我校高三数学教学研讨会上的一节研究课的实录。研究的主题是如何使用一道习题培养学生的探索与创新精神，把重点放在研究解题策略的选择上，使用的数学素材是求一类三角函数的最值问题。我校是市重点中学，但学习的水平在我区6所重点中学处在中等的位置。

1 课堂教学实录

1.1 提出问题

教师：前段时间我们已经研究过函数的最值问题，今天咱们来一起探讨“一类三角函数的最值问题的解法”。

写出课题：求函数y= 的最值。

1.2 解题策略的研究

教师：谁愿意将自己的方案拿出来和大家一起讨论？

学生1：我用赋值法，研究他们的特殊情况，当cosx=1代入就得函数的最大值ymax=3，当cosx=-1，代入得函数的最小值ymin= 。

学生2：我认为解答题有一个完整的推理是最好的，我用拆项法求解，y=

∵-1≤cosx≤1，∴-1≤2-cosx≤3，∴ ≤y≤3

∴ymin= ，ymax=3

教师：同学们对这一问题已经想到了两种解法，而且各种解法的研究的思路都很清，解题过程也较简洁，我非常赞同同学们这种勇于探索的精神。当然此题还有其它的解法，课后再去探索。

1.4 问题延拓的研究

教师：刚才这种函数的分子与分母中的正弦、余弦的系数的相等或绝对值相等，我们会解决了，如果其系数不同又如何研？例如

1.4.1 启示与探索

求函数y= 的最值

学生3：只要认真审题，把上面的各种方法对照一下，哪些适合，哪些不适合，还是可以解决的。

学生4：有界性可以做，求导法可以，挽元判别式法可以，利用解析几何的斜率即数形结合可以解决。

教师：有没有同学想到数形结合？

学生5：我还没有完全研究出来，不过我已经有了思路，令y1=3sinx，x1=2cosx，则得 =1，则视为椭圆上点A（cosx，sinx）与定点B（3，-10）的连成的斜率的最大（小）值，最值在直线AB和椭圆相切时取得。

1.4.2 进一步探究

教师：如果将sinx，cosx的系数为任意实数，求函数y= 的最值，大家能研究其解法？

学生15：现在我完全可以了。（具体过程略）

1.4.3 研究与推广

教师：分子，分母中sinx与cosx的次数，刚才给出都是一次的解法，大家研究得都很好，如果其次数一个是一次，另一个二次又如何？或两个都是二次的，其最值又如何？

例如：求y= 的最值，或y= 的最值，或求y= 的最值。

教师：这节课同学们都展示了自己的研究成果，都非常精彩，有的方法是教师也没有想到的，说明了同学们能将三角知识与其它数学知识有机地结合在一起解决的实际问题，提高学数学、用数学的能力。

2 课后的反思

2.1 主题突出

一个有研究价值的问题是开展研究性学习的前提和保证。我们把学生的自主研究为本节课的主题。研究的内容是一道平凡习题，一类三角函数的最值问题的解法，而是把重点放在研究解题的思路和研究解题的策略的制定上，在教师提出问题之后，要求学生通过分析，自己制定研究解题方案。

本节课共划分为4个环节，学生的研究活动始终贯穿于课堂教学的全过程，深入到每一个环节之中，重点体现学生的独立自主学习与合作学习相结合，以课上几个同学的发言来看，不仅解题方法不尽相同，而且研究的方向有许多不相同。这样的学生学习活动，无论是独立思考还是合作学习，就成了本节课教学活动的重点，教师始终处在引导的地位，教师的作用发挥得恰到好处。

2.2 研究的目标明确

从教学内容看，课上虽然只重点研究y= 最值问题的解法，但学生研究各种解法后已经有了深刻的认识，能从多角度多方位的思考，探究，从这个角度讲，本节课的教学内容丰富，容量大，结构性强。

我们把教学目标划分为三个层次：知识——方法——能力。数学课的教学应以数学知识为载体，以数学思想方法为核心，以提高学生的能力和素质为目的，对一节研究课的评价，重点不在于所学知识内容学习和掌握的程度，而是学生从中学到了哪些思考和解决问题的方法和策略。

2.3 能达到研究解题方法的实质。

这节课作为教师和学生均浸在发现问题，解决问题的喜悦中，师生间的配合非常默契。从教学的角度看，复习了求函数最值的几种办法，复习了导数的知识，解析几何，不等式等知识。涉及了数学中的函数的思想，方程的思想，转化和化归的思想，挽元，判别式等思想方法。能从多角度多层次展开解题策略，学有所得。

学生参与的激情与师生共同探讨的乐趣深深地感染了我，我觉得研究性学习是调动学生兴趣的一种有效手段。在讲授新课时，多作一些引入铺垫，与学生一道认真研究新概念、新定理，了解其背景，特征。研究性学习的今天，作为教师，只有不断学习，不断思考，才能将学生引入美好的明天。