工科专业“复变函数与积分变换”课程教学改革探讨

肖 涛，张丽娜，郑亚勤

(河北农业大学 理学院，河北 保定 071001)



工科专业“复变函数与积分变换”课程教学改革探讨

肖 涛，张丽娜，郑亚勤

(河北农业大学 理学院，河北 保定 071001)

“复变函数与积分变换”是工科学生学习后继相关专业课的必备工具，能否学好这门课对学生的发展尤为重要。从分析河北农业大学“复变函数与积分变换”教学中存在的问题入手，根据河北农业大学理学院学生的基础，结合现有的教学条件，以激发学生的学习兴趣和积极性、提高学生的学习效率、培养学生的综合应用能力为导向，从转变教学理念、合理组织教学内容、优化教学方法等方面对我校“复变函数与积分变换”课程教学模式的改革与创新给出了若干建议，以期优化该课程的教学效率。

复变函数与积分变换；教学改革；教学方法；学习兴趣

DOI号：10.13320/j.cnki.jauhe.2016.0139

“复变函数与积分变换”是河北农业大学电气工程及其自动化、农业电气化及其自动化、电子信息工程、自动化等工科专业学生必学的专业基础课。这门课分为复变函数与积分变换两部分。其中，复变函数是将实函数的理论从实数域扩充到复数域而形成的一个新的数学分支；以复变函数理论为基础的积分变换，是通过积分的形式把关于一个变量的函数转化成关于另一个变量的函数的方法，可以达到化繁为简的目的。在很多相关专业课中都有广泛应用。通过学习本课程，可以掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学生后续学习相关专业课奠定理论基础，同时也可以培养学生的数学素养和综合应用知识的能力。能否学好这门课对学生今后的发展尤为重要。

对于“复变函数与积分变换”这门课，工科专业学生普遍认为难度较高，学习缺乏积极主动性；且多数教师不能正确认识本课程的性质，授课的时间大部分都用在那些复杂的定理和结论的证明，忽视了学生学这门课的目的。重理论、轻应用。另外，教师授课时往往采用单一的讲授式教学方法，这种填鸭式的教学会让学生感到该课程枯燥无味，失去学习兴趣。这些问题是“复变函数与积分变换”课程教学中普遍存在的，北京航天航空大学、河南理工大学、中原工学院等学校的该课程教学中，也或多或少存在着类似的问题。针对这些问题，很多高校教师也从各个角度提出了自己的看法和建议。滕岩梅等主要从完善教材、采用类比教学法和形象教学法以及通过借助MATLAB求解复杂问题来提高学生的动手能力等方面进行研究[1]。王洪涛主要围绕增加绪论课、营造良好课堂氛围和增加拓展阅读与课下实验作出研究[2]。李士生等主要针对提高学生自主学习能力、改革考试方式进行研究[3]。下面将根据河北农业大学理学院学生的基础，结合现有的教学条件，以激发学生的学习兴趣和积极性、提高学生的学习效率、培养学生的综合应用能力为导向，从转变教学理念、合理组织教学内容、优化教学方法等方面对“复变函数与积分变换”课程的教学模式的改革与创新给出了若干建议，以期能改变学生对该课程的认识，优化这门课程的教学效率，从而提高学生的学习成绩。

一、转变重理论轻应用的教学理念，加强应用性教学

(一) 转变重理论轻应用的教学理念

教师首先应明确“复变函数与积分变换”是工科学生学习专业课的“工具”。工科学生学习这门课不同于数学专业的学生，他们学习这门课不是为了纯粹的去证明那些复杂的定理和结论，而是利用这些定理和结论去解决专业课中相关的问题。因此，教师在课堂上应尽量避免对定理严格证明，可以简单介绍证明方法及思路，避免学生产生厌学情绪。教学时，应侧重于通俗化地解释概念、定理，帮助学生快速理解并学会如何应用这些知识。比如，单位脉冲函数的严格定义对工科学生来说是很难理解的，所以教师在授课时就应该避开纯粹的数学理论，通过介绍当时英国数学家狄拉克定义这个函数的背景——“在电流为零的电路中，某一时刻突然进入一单位的电量，如何求此时电路上的电流？”[4]以及生活中的实例来引入单位脉冲函数的概念，并分析它的本质为一个时间极短但取值极大的函数模型，再给出单位脉冲函数的简化定义和性质，指出它和阶跃函数互为导数的关系。最后告诉学生，在工程中大部分信号都可分解为脉冲函数和阶跃函数的和。让学生了解它的实际应用。这样，学生就不再觉得晦涩难懂，反而增加了趣味性，增强了学习这门课的积极性。

(二)加强应用性教学，培养学生的综合应用能力

教师不仅在第一次课就应向学生简单介绍复变函数与积分变换的由来及应用范围[5]，让学生明确学习这门课的重要性，而且要在教学过程中结合具体的教学内容，渗透其应用。例如：在讲“复数的几何意义”时，可以介绍复数并不是虚无缥缈的，是看得见的，它对应着复平面上的一个点或一个向量。打消学生对复数真实性的怀疑。在讲复数的幅角定义时，可以通过普通相机和数码像机的例子来说明：普通照像机照出来的照片没有立体感，数码相机照出来的照片栩栩如生，比普通照像机照出来的照片更有有立体感，原因就在于数码相机除了反映复数的距离(模)之外，还能反映出每个点的位置(幅角)。讲解析函数时，可以渗透解析函数在电场的电位和电通研究中的作用。在讲柯西积分公式时，可以问学生“如何测得地心的温度”这一问题。讲洛朗级数时，要告诉学生借助洛朗级数可以直接写出离散数字信号的Z变换，这是以后学专业课时要用到的[6]。在讲留数时，可以介绍留数理论是后面的积分变换的理论基础。在讲共形映射，可以向学生介绍俄国的茹科夫斯基在设计飞机时，如何通过共形映射研究机翼外部的绕流问题，计算出飞机机翼剖面压力，从而解决了机翼的造型的例子。只要教师能在教学中紧密结合应用背景讲授抽象知识，就会使课堂变得生动有趣,真正让学生看到学以致用的魅力，从而增强学生学习这门课的积极性，同时培养学生的综合应用能力。

讲积分变换时可以向学生介绍傅氏变换能实现时域与频域之间的转化，多应用于信号分析，比如信号处理中的信号消噪过程；拉氏变换可以实现时域与复频域间的转化，则常见于分析系统，主要讲解它在求解微积分方程中的应用。这样，教学与实际相结合，切实解决了理论与专业相脱节的问题，帮助学生建立明确的学习目标，增强他们学好这门课的信心。

二、正确处理课堂内容和教材的关系，合理组织教学内容

由于不同层次的学生对数学知识的接受能力、听课效率、学习方法、学习兴趣、钻研精神和努力程度都存在差异，且不能分层教学，这就要求教师处理好课堂内容与教材内容的关系，把握好讲课内容的难易程度，合理组织教学内容。目前，我校采用的教材是由高等教育出版社出版、西安交通大学王绵森教授主编的《复变函数》及东南大学数学系主编的《积分变换》。但是教师在备课时不能拘泥于教材上的内容，要在熟悉各种同类教材编写特点的基础上，尽可能多的吸收该课程最新研究的精华，对教材内容进行加工，以便于不同层次的学生掌握知识，提高课堂学习效率。这一过程就类似于将小说改编成电影或电视剧，教师集“编”、“导”、“演”于一身，呈现给学生的内容源于教材、紧扣大纲，但又不是教材的翻版。

比如，《复变函数》的第二章是解析函数，第三章复变函数积分的最后一节是解析函数与调和函数的关系，第二章刚讲完时，学生对解析函数还非常熟悉，如果这时讲解析函数与调和函数的关系，只需给出调和函数的定义即可，但如果等到第三章讲完再讲这一节，学生可能已忘记什么是解析函数，还要浪费学时复习解析函数。考虑到第三章最后一节的内容与第三章前面各节的内容联系不紧密，只用到这一章的一个结论，因此，笔者在教学时会先讲第三章的最后一节，然后再接着讲复变函数的积分。既节约课时，又提高了学生的学习效率。

另外，笔者根据以往经验发现，学生对于“柯西古萨定理”、“闭路变形原理”和“复合闭路定理”接受起来有困难，因此在讲第三章时，将教材中的第二节“柯西古萨定理”、第三节“闭路变形原理”和“复合闭路定理”、第四节“积分与路径无关”的内容打乱后重新组合，在讲第一节时就设下伏笔引出“复变函数积分与路径无关”的概念，第二节引导学生分析“积分与路径无关”(闭曲线上积分为零)的条件，从而得出柯西-古萨基本定理(单连通区域内解析)。作为推论给出积分与路径无关的条件及计算方法，之后紧接着讨论复连通域内解析的情况，给出“复合闭路定理”，证明这一定理的过程中同时又可得出闭路变形原理。实践证明，按照这种思路讲授，学生更容易接受，极大地提高了学生的课堂学习效率与效果。

三、优化教学方法，激发学生的学习兴趣和潜能

改变“满堂灌”的单一教学方式，教学时针对不同的内容采用不同的教学方法，如：启发式教学、创设情景、类比教学法和互动式等多种教学方法。不仅能够激发学生的学习兴趣，有效调动学生的学习积极性，实现知识的有效迁移[7]，还可以培养学生分析问题、解决问题的能力，更重要的是多种教学方法结合使用，会让学生觉得数学课堂不再枯燥乏味，能够帮助学生建立学习数学的信心，享受学习数学的快乐。

(一)采用类比式教学法

考虑到复变函数是高等数学的后继课，其中的很多概念和定理在高等数学中都有类似体现，因此在教学过程中，可以采用类比教学法[8]。通过在高等数学中已学到的实函数的知识，引出新的处理复变函数的方法，再通过分析比较复变函数与实变函数的不同之处，让学生更好地掌握新知识，激发他们对新知识的认知积极性。在讲复变函数中的函数、极限、连续性、导数、积分以及级数等概念时，都可以采用类比教学法，并进一步引导学生总结出多个复数与实数中的“一对二”的关系。

(二)采用情景教学法和启发式教学法

(三)恰当使用互动式教学法

传统的“满堂灌”的讲授会使学生觉得上课似乎与自己无关，无法整节课都集中精力听课，在教学中，教师发挥主导作用的同时，还需引导学生积极参与到教学过程中来。充分互动才能改变课堂上死气沉沉的气氛，取得好的教学效果。教师在课堂上可以采取提问式讲解，在一问一答中让学生的思维动起来，鼓励学生随时提问。课堂上，教师根据教学内容和时间，尽量留给学生自己思考的机会。例题不贪多，选取典型题讲精讲透，再留相同类型的题让学生练习，并抽取一些学生去黑板上作答，这样不仅可以调动学生的学习积极性，还能便于教师及时发现存在的问题，了解学生的知识掌握情况。讲评时，要善于发现学生的闪光点，多鼓励表扬，让学生从中产生成就感。

(四)教学中渗透数学史，加强人文教育和情感教育

考虑到“复变函数与积分变换”这门课公式、定理多而繁，学生易有畏难情绪。教师在教学中要不断的对学生进行精神鼓励。要注意寻找适当的切入点，通过介绍复变函数的发展史以及一些数学家的生平事迹，激发学生学习兴趣和主观能动性，活跃课堂气氛。例如在讲“复数的几何意义”时，可以介绍其产生背景——它并不是由柯西、欧拉这样的大数学家首次提出的，而是与两位名不见经传的业余数学爱好者(搞测绘的挪威人与搞会计的法国人)有关。通过这个例子使学生明白只要有兴趣，肯下功夫，非数学专业的人都有可能在数学领域有成就，帮助学生建立学好这门课程的信心。在讲“指数函数”时可以向学生介绍欧拉的生平事迹，培养学生不畏困难、严谨的学习态度。在讲“傅里叶积分变换”前可以介绍数学家傅里叶以及傅里叶变换的产生背景等等。另外在课前、课间、课后要多与学生交流，让学生感觉到老师的真诚，感觉到老师在关心自己，这样学生才愿意与老师做朋友。良好的师生关系不仅方便教师掌握学生的学习情况，及时发现他们在学习过程中遇到的各种问题，在一定程度上也能调动学生学习这门课的积极性。

四、结束语

复变函数与积分变换对于工科专业的学生来说是一门重要的专业基础课，是他们后续学习专业课程的必备工具。教师在教学中通过转变重理论轻应用的教学理念，合理组织教学内容和优化教学方法后，我校“复变函数与积分变换”的课堂逐渐变得生动有趣，学生对这门课产生了浓厚的学习兴趣，改变了过去机械学习的状态，能够积极主动的学习该课程，大部分学生在学习过程中养成了善于思考、积极提问的好习惯。实施教学改革后，平均分比之前提高5～8分，及格率比之前至少提高10%。除此之外，基础较好的学生还能在教师的引导下查阅一些复变函数与积分变换在相关专业课中的应用的文献。不仅提高了学生的综合应用能力，而且为学习后继专业课程打下扎实的基础。教学改革是一项长期而艰巨的任务，需要师生坚持不懈的继续努力，不断更新教学理念，坚持理论与实践相结合的原则，不断提高教学质量。

[1] 滕岩梅，胀继龙. 复变函数与积分变换教学改革[J]. 教育教学论坛，2014(6)：33-35.

[2] 王洪涛. 工科《复变函数与积分变换》教学方法探讨[J]. 甘肃联合大学学报(自然科学版)，2013，27(5)：109-111.

[3] 李士生，陈仁霞，程东旭.复变函数与积分变换教学方法与考核方式[J]. 宜春学院学报，2013，35(6)：145-146.

[4] 张元林.积分变换(第四版)[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] 王绵森.复变函数[M]. 北京：高等教育出版社，2008.

[6] 洪乃刚，陈玉燕，徐明，等. 复变函数与积分变换与有关课程整合的研究[J].华东冶金学院学报(社会科学版)，2000(3)：75-76.

[7] 高玉欣.复变函数与积分变换的学习迁移策略[J].科技信息，2008(33)：555-556.

[8] 闫志莲. 复变函数与积分变换课程教学方法改革与实践[J].安徽工业大学学报(社会科学版)，2012(1)：129-130.

(编辑：刘伟霄)

2016-05-30

肖 涛(1979-)，女，河北昌黎人，硕士，讲师，从事数学教学工作。

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