整数幂模p剩余的差的均值

2016-12-12 03:44徐哲峰
关键词:素数正整数整数

吕 叶,徐哲峰

(西北大学 数学学院, 陕西 西安 710127)



·数理科学·

整数幂模p剩余的差的均值

吕 叶,徐哲峰

(西北大学 数学学院, 陕西 西安 710127)

设p是奇素数, l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数,利用三角和的方法研究了整数的m次幂模p剩余与l次幂模p剩余之差的2k次均值,并得到渐近公式。

m次幂模p剩余;均值;三角和;渐近公式

S(n,δ)=#{a:1≤a≤n-1,(a,n)=1,

并给出了

S(n,δ)=

Sm,n,λ,δ={a:1≤a≤λn,(a,n)=1,|a-(am)n|≤δn}。

在文献[3]中,徐哲峰对|a-(am)n|的均值分布问题进行了深入的研究,推广了文献[1-2]中的结论,获得了如下的渐近公式

其中ω(n)表示n的不同素因子的个数。

本文对文献[3]中的问题进行了一种推广,利用三角和方法研究了整数m次幂模p剩余与l次幂模p剩余之差的2k次均值,获得了一些较强的渐近公式。主要结论如下。

定理1 设p是奇素数,k为非负整数,l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数,则有渐近公式

在定理1中取l=1,便获得了文献[3]中当λ=δ=1,n=p且k为偶数时的相应结论,即如下的推论。

推论1 设p为奇素数,m≥2为整数,则有渐近公式

推论1 设p为奇素数,k为非负整数,则有渐近公式

1 一些引理

引理1 设p为奇素数,l为正整数,r为满足1≤r≤p的整数,则有

其中e(y)=e2πiy。

证 明 参见文献[3]引理3。

引理2 设q≥1及t≥2均为整数,多项式f(x)=a1xr1+…+atxrt,其中r1,…,rt为一组不相等的非零整数,且满足(a1,…,at, q)=1,则有估计式

证 明 参见文献[4]定理1。

引理3 设s,r为满足1≤s,r≤p-1的整数l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数,则有如下估计式

证 明 因为1≤s,r≤p-1,所以(s,r,p)=1,又因为l≢m(mod p-1),则由引理2可得

引理4 设a,b为整数,p为奇素数且a,b,p满足p⫮(a,b),则对任意的满足m≥2,α≥1的整数有

其中,ω(n)表示n的不同素因子的个数。

证 明 参见文献[3]引理1。

引理5 设r,s为整数l,m为满足l≢m(mod p-1)的正整数,则有如下的两个估计

(1)

(2)

证 明 首先来完成式(1)的证明。

(i)当m≥2时,在引理4中令b=p,α=1可得

则有如下估计

然后利用Jordan不等式

可得

(3)

(ii)当m=1时,由于p⫮s,则

同理可得

(4)

那么,由式(3) (4),可得对任意正整数m,有

这便证明了引理5中式(1)的结论。

现在来完成引理5中式(2)的证明。

由引理3和Jordan不等式可得

2 定理1的证明

这个部分我们来完成定理1的证明。首先,由三角不等式得到

Ω+Ψ+Υ+θ。

现在我们来逐个处理每一项。首先计算Ω。利用引理2可得

其次估计Ψ。由引理1有

由式(1)可得

同理可得

下面我们来估计θ。利用引理1,有

θ=

由引理5的式(2)可得

结合以上关于Ω,Ψ,Υ,θ的结果可得

这样就完成了定理1的证明。

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(编 辑 亢小玉)

The mean value of the remainder of the integer power modp

LÜ Ye, XU Zhefeng

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China)

Letpbe an odd prime, letl,mbe integers withl≢m(modp-1), this paper uses the method of triangle sum to study the 2k-th power mean value of the difference of the integer′sm-th power modpresidual and itsl-th power modpresidual, and then get the asymptotic formula.

m-th power modp; mean value; triangle sum; asymptotic formula

2016-02-26

国家自然科学基金资助项目(11471258)

吕叶,女,陕西宝鸡人,从事基础数论的研究。

O156.4

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-05-001

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