含绝对值的不等式问题复习研究*

●王红权

(杭州市基础教育研究室 浙江杭州 310003)



含绝对值的不等式问题复习研究*

●王红权

(杭州市基础教育研究室 浙江杭州 310003)

含绝对值不等式的解法和三角形不等式的应用已写入《浙江省数学高考考纲》．为此需要对该内容作深入和系统地研究，纵观已有的真题，通过梳理知识结构，提取解题策略，破解命题轨迹，寻找复习灵感，实现新增内容从复习到考试的软着陆．

绝对值不等式;三角形不等式;复习研究;解题策略

2017年是浙江省数学高考文理不分卷考试的第1年，《浙江省2017年普通高等学校招生考试大纲·数学》(以下简称《大纲》)在第5章“不等式考试要求”中明确规定：5.会解|x+b|≤c，|x+b|≥c，|x-a|+|x-b|≥c，|x-a|+|x-b|≤c型不等式；6．了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(以下称该不等式为三角形不等式)及其应用．

《大纲》明确要求“会解”含有1个或2个绝对值的不等式，“了解”三角形不等式及其应用．历年浙江省和其他省市的数学高考中均有所涉及不等式内容，教师在复习时也会有所提及，但笔者认为系统梳理这类问题的解题方法仍是必要的.笔者通过举例给出这类问题的常用解题策略，供大家复习时参考．

1 含绝对值的不等式的解法研究

例1 解不等式|x-1|+|x-4|≥5．

(2013年浙江省数学高考自选模块试题)

分析1 (分类讨论法)对形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式，一般均可利用分点a和b，分3种情况进行讨论(其中a，b，c∈R)．

解法1 当x≤1时，原不等式可化为

(1-x)+(4-x)≥5，

解得x≤0；

当1

(x-1)+(4-x)≥5，

得3≥5，此时x∈φ；

当x>4时，原不等式可化为

(x-1)+(x-4)≥5，

解得x≥5.

综上所述，该不等式的解集为(-∞,0]∪[5,+∞)．

分析2 (几何法)利用不等式|x-a|+|x-b|≥c(其中c>0)的几何意义：解集是数轴上到点x1=a和x2=b的距离之和不小于c的集合．因为

|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|,

所以当c≤|a-b|时，x∈R；当c>|a-b|且a

或

解法2 因为

|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3，

所以由分析2知该不等式的解集为(-∞,0]∪[5,+∞)．

分析3 (图像法)利用函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图像，数形结合求解．

图1

解法3 画出函数y1=|x-1|+|x-4|和y2=5的图像(如图1所示)，观察图像，得不等式的解集为(-∞,0]∪[5,+∞)．

评注 1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有以上3种解法．

2)形如|x-a|+|x-b|≤c的不等式的解如下：当|b-a|>c时，x∈φ；当|b-a|≤c且a

f(x)min=|b-a|．

4)推广：设f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|(其中a1≤a2≤…≤an)，若n为奇数，则

若n为偶数，则

例2 解不等式2|x-2|-|x+1|>3．

(2014年浙江省数学高考自选模块试题)

分析1 (分类讨论法)与例1类似．

解法1 当x>2时，原不等式可化为

2(x-2)-(x+1)>3，

解得x>8；

当-1

2(2-x)-(x+1)>3，

解得x<0，此时-1

当x≤-1时，原不等式可化为

2(2-x)+(x+1)>3，

解得x<2，此时x≤-1．

综上所述，该不等式的解集为(-∞,0)∪(8,+∞)．

分析2 (图像法)利用函数y1=k1|x-a|-k2|x-b|和y2=c的图像(其中k1，k2，a，b，c∈R)，数形结合求解．

图2

解法2 画出函数y1=2|x-2|-|x+1|和y2=3的图像(如图2所示)，观察图像，可知不等式的解集为(-∞,0)∪(8,+∞)．

评注 1)形如|x-a|-|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要有2种解法．

图3 图4

2 三角形不等式应用研究

2.1 在向量解题中的应用

当a，b是向量时，三角形不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|仍成立．前一个等号成立的条件是向量a，b反向或至少有1个是零向量；后一个等号成立的条件是向量a，b同向或至少有1个是零向量．

例3 若非零向量a，b满足|a+b|=|b|，则

( )

A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b|

C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b|

(2007年浙江省数学高考理科试题)

解 利用三角形不等式，得

|a+2b|=|(a+b)+b|≤|a+b|+|b|=|2b|．

因为a，b是非零向量，所以等号不成立.故选C．

例4 已知a，b是单位向量，a·b=0．若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是

( )

(2013年湖南省数学高考理科试题)

||c|-|a+b||≤|c-a-b|=1，

从而

-1≤|c|-|a+b|≤1，

即

故选A．

(2016年浙江省数学高考理科试题)

解 利用三角形不等式，得

|(a+b)·e|= |a·e+b·e|≤

评注 1)向量形式的三角形不等式具有更为清晰的几何意义：三角形2边之和大于第3边，2边之差小于第3边.

2)利用三角形不等式解答向量模长取值范围的问题，简洁直观，很好地揭示了命题者的命题思路[1].

3)三角形不等式刻画了向量空间的“平直”本质，是实现“向量空间代数化”的重要定理之一．

2.2 在函数解题中的应用

带有绝对值的函数最值问题，一般有2种处理方式：一是通过讨论去绝对值，化为常见函数求解；二是利用三角形不等式求解．

例6[2]若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是______．

(2015年浙江省数学高考理科试题)

解 因为x2+y2≤1，所以

(3x+4y)2≤(32+42)(x2+y2)≤25，

即

|3x+4y|≤5.

设二元函数f(x,y)=|2x+y-2|+|6-x-3y|，则

f(x,y)≥ |(2x+y-2)-(6-x-3y)|=

|3x+4y-8|≥8-|3x+4y|≥3,

例7 已知实数a，b，c,则

( )

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，则a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，则a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，则a2+b2+c2<100

(2016年浙江省数学高考理科试题)

解 由三角形不等式，得

|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,

从而

于是

即

同理可得

再利用三角形不等式，得

|2c+a2-a-b2+b|≤

|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,

即

|c|<3，

进而

故选D．

2)例7用三角形不等式估计的上界改进了答案给出的上界，笔者认为命题者给出的上界“100”既满足了考试的选拔要求，又比较人性化．

例8 已知f(x)=ax2+bx+c，g(x)=cx2+bx+a，对任意x∈[-1,1]，都有|f(x)|≤1，设h(x)=|f(x)|·|g(x)|，证明：h(x)≤2．

证明 由题意，知

f(1)=a+b+c，f(0)=c，f(-1)=a-b+c，

且 |f(1)|≤1， |f(0)|≤1， |f(-1)|≤1,

解得

从而

于是

h(x)=|f(x)|·|g(x)|≤2,

其中f(x)=2x2-1满足条件．

例9 已知a>0，b∈R，函数f(x)=4ax3-2bx-a+b(其中x∈[0,1])，证明：|f(x)|≤|2a-b|+a．

(2012年浙江省数学高考理科试题改编)

引理1 若0≤x≤1，则

|2x3-3x+1|+|2x3-x|≤1.

引理1的证明 根据平凡恒等式|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}，知

|2x3-3x+1|+ |2x3-x|=

max{|4x3-4x+1|，|1-2x|}．

当0≤x≤1时，|1-2x|≤1显然成立.因为4x3-4x+1≤1⟺x(x2-1)≤0，所以4x3-4x+1≤1显然成立.又因为4x3-4x+1≥-1⟺x(2-2x)(1+x)≤1，根据三元均值不等式，得

所以4x3-4x+1≥-1也成立．

综上所述，|2x3-3x+1|+|2x3-x|≤1．

例9的证明 因为f(0)=-a+b，f(1)=3a-b，所以

又f(0)+f(1)=2a>0，从而

max{|f(0)|，|f(1)|}=max{f(0)，f(1)},

于是|f(x)|= |(2x3-3x+1)·f(0)+(2x3-x)·f(1)|≤|2x3-3x+1|·|f(0)|+|(2x3-x)|·|f(1)|≤max{|f(0)|，|f(1)|}·(|2x3-3x+1|+|2x3-x|)≤max{|f(0)|，|f(1)|}=max{f(0)，f(1)}=

评注 这里使用了平凡恒等式：若a，b是实数，则

例10 函数f(x)=4x3+ax2+bx+c满足：当|x|≤1时，|f(x)|≤1，求实数a，b，c的值．

(2012年天津市高中数学联赛预赛试题)

|4+a+b+c|≤1,

(1)

|-4+a-b+c|≤1,

(2)

(3)

(4)

由式(1)和式(2)得

|8+2b|= |(4+a+b+c)-(-4+a-b+c)|≤

|4+a+b+c|+|-4+a-b+c|≤2，

从而 |4+b|≤1.

(5)

从而 |1+b|≤2.

(6)

由式(5)和式(6)解得b=-3．此时，由式(1)和式(2)得a+c=0，由式(3)和式(4)得

解得a=c=0,故

f(x)=4x3-3x，

易证该函数满足条件．

评注 1)在例8和例9中，利用函数值的有界性，用函数值表达系数，代换后用三角形不等式放缩，获得函数值的界，是一种简单有效的方法，初学者容易掌握．例9的解答则是完全初等的，改编后的试题浑然一体．

2)例10的解法非常巧妙，通过对函数赋值，获得部分系数组合的取值范围，利用问题成立的必要性，缩小范围，然后再验证其充分性．这种解法简洁灵巧，但需要解题者有较强的数学洞察力(直觉)，是体现学生数学核心素养的好题．

2.3 在不等式证明中的应用

在高等数学中，利用三角形不等式进行放缩是常见的也是基本的方法.

(2016年江苏省数学高考试题)

证明 因为 |2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤ |2(x-1)|+|(y-2)|<

所以

|2x+y-4|

待证不等式成立.

当k=2时，

待证不等式成立.

例13 设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数，且满足条件：1)f(-1)=f(1)=f(0)；2)对任意的u，v∈[-1,1]，都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|，证明：|f(u)-f(v)|≤1．

(2003年北京市数学高考试题改编)

证明 因为u，v∈[-1,1]，当|u-v|≤1时，

|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1；

当|u-v|>1时，则uv<0．不妨设u<0，v>0，则v-u>1，因为f(-1)=f(1)=f(0)，所以

|f(u)-f(v)|= |f(u)-f(-1)-f(v)+f(1)|≤

|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤

|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=

2-(v-u)<1．

综上可知，对任意的u，v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤1．

评注 1)证明条件为绝对值不等式，结论为含有绝对值的不等式的最佳“武器”是三角形不等式.

2)例10和例11的放缩方法在高等数学中很常见，在中学和大学数学的衔接处命题，彰显命题者的立意，例12中插入2个等值点f(-1)和f(1)的做法在高等数学中也是常见的技巧.

3)由此可见，命题者常常用自己熟悉的内容为切入点进行命题．

2.4 在数列中的应用

(2016年浙江省数学高考试题改编)

证明 由三角形不等式，得

从而

整理即得

|an|≥2n-1(|a1|-2)．

3 相关应用

三角形不等式和解绝对值不等式综合应用，含有2个绝对值的函数的性质及应用，也常见于某些大型的考试中，这方面的问题在复习中也值得重视．

例15 不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2，对任意x∈R恒成立，则满足条件的实数a组成的集合为

( )

(2016年中国科学技术大学自主招生试题)

解 设f(x)=|2x-a|+|3x-2a|≤

例16 若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的图像是中心对称图形，则a=______．

(2014年浙江省嘉兴市数学一模考试试题)

要使函数f(x)的图像是中心对称图像，则经过适当平移后，函数f(x+t)为奇函数即可，因此只需要函数g(x+t)=|x+t-a|+|x+t-4|为偶函数，函数h(x+t)=(x+t+a)为奇函数，从而

解得

评注 1)任何图像成中心对称的函数总能通过平移，使得函数变为奇函数.

2)任何图像成轴对称的函数总能通过平移，使得函数变为偶函数．

2017年数学高考文理科合卷，复习教学时必须把握好教学的难易，需要落实基本概念，强化基本运算，需要落实数学基本方法，培养数学直观．“学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”．

[1] 王红权．一类与向量模长有关试题的简洁解法[J]．中国数学教育，2015(3)：35-38．

[2] 数学高考研究组．浙江高考数学2004一路走来[M]．杭州：浙江大学出版社，2016．

[3] 王红权．最值互嵌问题的解题策略[J]．中学教研(数学)，2016(6)：12-15．

�2016-08-14；

2016-09-20

王红权(1970-)，男，浙江杭州人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)12-29-06