几何证明中的数学美

李昌军

（辰溪实验中学 湖南怀化 419500）

几何证明中的数学美

李昌军

（辰溪实验中学 湖南怀化 419500）

先论述什么是数学美，再论述观察中发现基本图形，感知和谐美;思考中挖掘对称图形，观察对称美;沟通已知与求证的关系，欣赏思维美;运用发散，收敛思维，探索方法美;类比中进行全方位思考，理解奇异美;运用发散、收敛思维，探索方法美;比较中获取多种的信息，鉴别简洁美;使用数学思想，想象策略美。

基本图形 思维美 方法美 简洁美

几何证明中既要添辅助线，起到显示隐含条件，聚汇分散的已知条件，沟通信息。又要在观察中用几何变换（平移、旋转、对称、相似、全等、等积变换和角的滑动）添辅助线。还要用各种思维策略与方法。这就体现了和谐美、对称美、思维美、奇异美、方法美、简洁美、策略美……

一、什么是数学美

“问题是数学的心脏”;概念是思维的细胞;方法是思维的基础;策略是思维的灵魂.只有通过问题的解才能训练学生的数学思维，又只有在充满兴趣的情境下才能训练学生的数学思维，更只有在数学美的氛围中才能对数学解题中充满兴趣.什么是数学美呢?它就是数学的优美感.庞加菜说:“数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的一种满足感，正因为这种适应性，这个解答可能成为我们的一种工具，所以这种一美学上的满足感是和思维、结构紧密相关的.”

二、观察中发现基本图形，感知和谐美

复杂图形是由几个基本图形组合而成，每一个公理、定理都有一个基本图形。几何证明题都要用公理、定理当论椐，下面的例1是由两个基本图反映的定理是“直角三角形钭边上的中线等于钭边一半”，还有等腰三角形的三线合一定理。

所谓和谐美既是解题中条件与结论的和谐;又是数与形的和谐;更是解题方法与思维策略的和谐;还是数学思想与思维途径的和谐.

例1：CD与BE分别是三角形ABC中，AB、AC边上的高线，D、E分别是AB、AC边上的垂足，H、G分别是DE与BC的中点，求证:DE⊥HG.

图1分析:要想求证DE⊥HG.必须有GH是DE的垂直平分线，此时又必须用等腰三角形的三线合一定理证GD=GE，这两条辅助线既成了显示两直角三角形钭边上的中线性质;又成了聚汇作用、沟通作用、桥梁作用.总之连结DG与EG当辅助线，在证明中起决定、关键的铺垫作用.即这两条辅助线一添，使得已知与求证互相既沟通又和谐相处，使作题者感到愉悦的心理感受——数学美——和谐美.

三、思考中挖掘对称图形，观察对称美

对称不外乎局部与局部的对称，几何图形与数量关系都存在这种对称性，体现形结构与数（式）结构的对称是对称美，数学题已知与结论的对称性使解题者感到愉悦，也是“一题多解（证）”的依据.解题过程还可以看出对称美.

例2设两圆外离，则它的外公切线被两条内公切线截得的线段等于内公切线长，而一条内公切线在两外公切线间的线段等于外公切线长。

已知：◎O与◎O’相离，AB和CD是它们的外公切线，EF和GH是它们的内公切线.

求证：MQ=EF，MN=AB.

图2

要作上图，用几何画板是既明智又准确地选择.若不用几何画板作图，则图形既不准确，又不能迅速，明确地进行推理证明.

证明:由对称性可得AM=ME=CP=GP=a，BQ=HQ=FN=DN=b，EF=GH=x，MQ=PN=y，

由QG=QA推出b+x=y+a又由PH=PD推出a+x=y+b由此得x=y，且a=b故

MQ=EF且MN=AB即例2成立.其证明都是由对称性所决定的.

四、沟通已知与求证的关系，欣赏思维美

所谓数学思维美就是数学题的最佳解法符合数学思维策略而使解题者感到愉悦的产物.思维美是与结构美相关联的，什么是结构美呢?布尔巴基学派认为:“数学是研究结构的科学”.数学家庞加莱说:“数学的结构美是指一种内在的美，它来自各部分之间的和谐秩序，并能为纯粹的理智所领会，可以说，正是这种内在美给了满足我们感官的五彩缤纷美景的骨架，使我们面对一个秩序井然的整体，能够预见数学定理.”可以简洁的说:“思维美是结构美在认知者头脑中感到愉悦的心理加工过程.”

例3在锐角三角形ABC中，高BE，CF交于H.

图3

解析:为证此题，可作辅助圆和作笫三条高AD，用“两直角三角形有公共的钭边，则各顶点共圆”;可知A，F，C，D四点共圆，A，E，D，B也四点共圆，

则有证:

同理可得第二个结论.

例3与例4表面上风马牛不相及，但在局部与整体的观察策略上、方法上、四点共圆上、用圆的割线定理上、提出公因式线段的方法上、化难为易的转化策略上、辅助线与辅助圆的沟通策略上，都完全可以类比.

AB×EF=AD×BE=BC×AE（高中新课标选修4-1P19习题1.2笫7题改编）

图4

只要提示①过E作EF⊥AB垂足在AB上;②“四边形的对角互补，则四点共圆”；③可推出A，F，E，D及B，C，E，F都四点共圆，读者用类比联想的思维策略，成绩中、下的学生也可激活此题.

证明：过交点E作EF⊥AB于F，由四边形的对角互补可得A，F，E，D与B，F，E，C都四点共圆，尽管这两个圆没有画出来，也可以想象出这两个圆客观存在，而得出笫三步的两个等式：

两个几何证明题数学思想方法相比较、思维策略相比较、四点共圆相比较、圆的割线定理相比较，提出公因式线段的方法上、难道读者不感到一种心理的愉悦吗？！

五、类比中进行全方位思考，理解奇异美

所谓奇异美是数学美的基本形式之一，又是所得结论的新颖、独特、奇特、出人意料，徐利治教授说:“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美.”对于内行来说，奇异是使人感到“既在情理之中，又在意料之外”的感觉，前者和谐;后者奇特

“类比就是相似比较.”联想是一种既有目的又有方向的想象，是由当前感知或思考的问题想起其它事物的心理活动.所谓类比联想是以类比为方法、以联想为导向的探求规律和探索解题思路的策略

例5分Θo的半径OA于B，使大线段OB是全线段OA和小线段AB的比例中项，以OB为半径作同心圆，求证：环的面积是原圆面积和同心圆面积的比例中项。

证明：因为

图5

所以，原圆∶环=环∶同心小圆，即.环的面积是原圆面积和同心圆面积的比例中项.

这难道不是所得结论的新颖、独特、奇特、出人意料吗？！下面的例6更具有奇异美，读者不妨自己作一下，亲自感受一下数学的奇异美.

例6七个等圆相切，被包于一环中，若环宽等于圆半径，求证七等圆面积之和等于环的面积。（读者自己完成证明）

六运用发散、收敛思维，探索方法美

所谓方法美是指解答（或证明）复杂的数学问题中，体现出来的美妙之处使心灵感到一种愉快的惊奇.联想是一种既有目的又有方向的想象，是由当前感知或思考的事物想起的相关连的事物，再进一步想起其它事物的心理活动.联想是以观察为基础，以想象为翅膀，以记亿为保证，以思维为核心的思维方法.在数学教学中的联想可分为类比联想、可逆联想、对比联想、化归联想、数形联想、因果联想、特殊化和普遍化联想等七种.[1]

例7P是矩形ABCD中对角线BD上一点，AP⊥BD，PX⊥BC，PY⊥DC，求证:

图6

结论有奇异性，由于解题者的苦苦追求，很多理解性困难被各个击破，如ABsinα=PB，BDsinα=D C，平方与立方的等式转化为分数指数的等式，……这些都体现了“数学思维由不理解到理解”的奋斗就是美，孟子说的“充实之为美”.例1结论之“难”与用三角函数定义证明之“易”，在“意料之外”与“在情理之中”两相比较，是和谐与奇异的和谐美.

积极思维是数学美的本源，数与形如此巧妙的协调:形激活数，奇异的结论在情理之中;数激活形，明显的图形，显然的已知用三种方法证明出奇异的结论对读者来说一定是在意料之外.“数学的优美感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生的满足感.”

七比较中获取多种的信息，鉴别简洁美

所谓简洁美是指一个复杂问题的简单解法.它是优化解题思路的内驱动力因素之一.正如高斯评价自己的工作说:“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我去研究的主要动力.”

也正如法国哲学家狄德罗说:“数学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题，而所谓美的解答则是困难问题和复杂问题的简单回答.”

例8在梯形ABCD中，AD∥BC，二对角线相交于O点，若

图7

OB∶OD，须证CO∶OA=OB∶OD，这就是相似三角形的相似比，成立。

这种证明既直观，又简洁.还可以采取先猜后证的数学思想.这肯定是“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引我去研究的主要动力.”

八使用数学思想，想象策略美

所谓“解题策略是高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识.[2]”

例9三角形ABC中AD是角A的平分线，已知AB=AC+CD，求证:

分析:有角平分线时，总是将三角形ADC关于角平分线AD作对称变换得三角形ADE，

图8

证明：在AB上取AE=AC，则E点和C点关于AD对称。连结DE，由对称性得CD=ED

∠AED=∠C，但AB=AC+CD即AE+EB=AE+ED推 出EB=ED由此得出 ∠EDB=∠B⇒∠C=∠AED=∠B+∠EDB=2∠B。

例10：这种对证题途径的概括性认识既有予见；又恰好可能，难道不是解题策略使作题者产生愉悦的心理感受吗？！当然是策略美。

如图1，在 ∆ABC中，∠C=90°,以AB、BC、CA为边分别在形外作正方形ABDE、BKHC、CFGA，（1）求证：G E2+K D2=5A B2。（2）求证：S∆BDK=S∆AEG=S∆ABC。

如何用几何画版作旋转呢?首先点击自定义工具中的一级菜单中的三角形到二级菜单中的直角三角形，得Rt⊿ABC，其次点击自定义工具中的一级菜单中的四边形到二级菜单中的正方形，按由C到B、由A到C、由A到B的顺序作三个正方形，连结KD、EG。作旋转时要特别注意，将Rt⊿ABC塗上阴影，再用左键双击A点（选中旋转中心），再用鼠标点击“变换栏目”，再点击旋转变换，出现你要求的旋转角-90°，后点击旋转得Rt⊿AME，同样可得Rt⊿BND，注意旋转角是+90°，为什么?

∠CBA=π−∠KBD⇒sin∠CBA=sin ∠KBD⇒S∆ABC=S∆BDK同理可得：S∆AEG=S∆ABC。所以S∆BDK=S∆AEG=S∆ABC。

图1

对于（1）可用旋转变换，将三角形ABC分别绕A，B两点按顺，逆时针方向旋转至⊿AEM，⊿DBN的位置，其旋转角度分别是的大小，GM=2b，BN=EM=a，NK=2a依勾股定理有

综上所述，首先，各种数学美是相互联系的；其次，挖掘新颖、独特的策略美、奇妙曲线的思维美、出奇制胜的奇异美、类比联想的方法美、广泛联系的和谐美、结构形式的对称美、复杂问题的简洁美、铺垫，激活的教学美与积极创新的探索美，学生一定会兴趣十足、充满激情地与数学教师共同探讨数学规律和解题的思维途径，遇到是最难的数学竞赛题，学生也会不感到有压力.

[1]傅世球著数学教学艺术导论（M）西安陕西人民教育出版社2000年5月p156

[2]戴再平著数学习题理论（M）上海上海教育出版社1997年版