天线相关性对多天线系统信道容量的影响

肖雪芳，林 烽，雷国伟

(1.厦门理工学院光电与通信工程学院，福建 厦门 361024；2.福建省高校光电技术重点实验室，福建 厦门 361024；3.厦门市LED照明应用工程技术研究中心，福建 厦门361024；4.集美大学理学院，福建 厦门 361021)



天线相关性对多天线系统信道容量的影响

肖雪芳1,2,3，林 烽4，雷国伟4

(1.厦门理工学院光电与通信工程学院，福建 厦门 361024；2.福建省高校光电技术重点实验室，福建 厦门 361024；3.厦门市LED照明应用工程技术研究中心，福建 厦门361024；4.集美大学理学院，福建 厦门 361021)

基于多天线系统的容量等效公式，从空间因素着手，计算多天线系统中天线数量、天线间距、角度扩展与信道容量之间的最优值，并通过数值模拟验证，分析3个空间因素产生的天线相关性对多天线系统信道容量的影响.结果显示，增加发射天线数或者接收天线数都能显著地增加系统的信道容量，其中增加接收天线数比增加发射天线数效果更好.但是在有限的空间一味增加天线数量又会减小天线间距，从而增加天线之间的相关性，进而降低信道容量.因此，在设计多天线工程时，可在一定天线间距和角度扩展情况下，尽可能地增加天线数量，以达到信道容量的最优值.

多天线系统；信道容量；天线相关性；天线数量；天线间距；角度扩展

多输入多输出系统(Multiple-InputMultiple-Out-put，简称MIMO) 即多天线系统能够在不增加发送功率和带宽的前提下，有效地成倍增加信道的传输容量，能够充分地利用有限的空间资源以提高频谱效率.在实际的无线通信环境中，由于MIMO信道中每个通信子信道的传输系数可以近似的看作是一个服从某项分布的随机变量，因此MIMO信道可以看作是一个由多个随机变量元素组成的信道矩阵[1]，目前对于MIMO信道容量的分析都是在假定的独立平缓瑞利衰落信道基础上[2-4].然而,在信号传播的过程中，传播信道之间会产生一定的相关性，它会对MIMO系统信道容量产生较大的影响，相关性的提高会使得系统信道容量的降低，直到相关性到达1时，MIMO系统将不再适于增加传输容量的技术.对于信道容量而言，相关性的增加对信道容量的影响相当于信噪比的减小.理论研究表明,如果发射天线到接收天线之间的信道为独立的同分布平缓瑞利衰落信道，MIMO系统的信道传输容量决定于发送和接收天线的数目由少变多地呈线性增长[5].在实际的无线通信环境中,衰落并不是独立的,由于天线间距、角度扩展、来波角度等因素的影响，使得独立瑞利衰落信道的研究存在着相关性[6-7].即考虑在相关性存在的情况下，根据空间因素等的变化产生的容量的变化来得出MIMO信道的最优值. 本文引入MIMO技术的基本概念和工作原理，基于多天线系统的容量等效公式，从空间因素着手，分析天线相关性对多天线系统信道容量的影响，以期为多天线工程的设计提供有益的参考和借鉴.

1 MIMO系统信道容量

假设每个信号周期内的发射端的天线阵列上的信号为nT×1维列向量X，由下式表示

(1)

其中第i元素xi(t)表示从第i根天线传输的信号.

(2)

式中:Y为nR×1维接收信号向量，Z为nR×1维加性高斯白噪声向量，均值为0，方差为E=σ2InR，InR为nR×nR单位阵，H为nR×nT维信道矩阵，由下式表示

(3)

假设信道为平缓的瑞利衰落独立信道.为了达到归一化的条件，假设每根接收天线所接收到的信号功率等于所有发射天线的信号总功率.也就是说，忽略了大尺度衰弱、阴影衰弱和天线增益带来的信号放大或衰减等影响.因此hij满足以下归一化情况[8].

(4)

式中:i=1,2,…,nR.

如果衰落信道矩阵的每一个元素是随机变量，则上式左端取它的数学期望值.对信道相关矩阵H进行奇异值分解，得到

(5)

其中，U为nR×nR的酉矩阵，V为nT×nT的酉矩阵，D为nR×nT的大于等于零的对角矩阵.U和V这两个矩阵满足UUH=InR和VVH=InT.对角矩阵D中的每个元素对应于矩阵HHH的特征值的平方根.HHH的特征值λ的表达式由下式给出

(6)

引入威沙特矩阵，其定义式是

俗话说，实践是检验真理的唯一标准。但在我国由于管理会计引进的时间较短，且一开始是照搬国外的理论，我国自己的管理会计理论仍处于发展阶段，在许多方面都没有的到研究和论证。没有合理的管理会计理论，不能将管理会计的理念与实际的工作相结合起来。在很多时候只是单独的讨论管理会计的重要性，却忽略了管理会计在实际工作中的应用方法，使管理会计与企业出现脱节，无法发挥其真正的作用。

(7)

令M=min(nR，nT),式(6)定义了特征值与特征向量的关系，因此进一步改写为

(8)

由于det(λIM-Q)的拉普拉斯最小项的乘积式中，(λIM-Q)每一行相对于λ的一次乘积项.M次复系数多项式具有M个零点，所以特征多项式可以表示成

(9)

由此可见，等效MIMO信道是由M个去耦平行子信道构成的，即等同于M个独立的并行子信道相加的结果.所以，信道容量的增益等于矩阵HHH的特征值.比如，假设nT>nR，则等效的MIMO信道中，最大含有nR个非零增益子信道.同理，假设nR>nT，则等效的MIMO信道中，最多含有nT个非零增益子信道.假如等效MIMO信道下发送端的总功率设成P.并且发送端信道状态信息不知道，则将发送总功率平均分配到每条天线上，记作P/nT，信道噪声功率为σ2.令λ=-nTσ2/P，则MIMO信道容量的表达式表示

(10)

2 相关性分析

上述关于容量的讨论是基于天线与天线间不具备相关性的，即相关系数为零.然而，在信号传输环境中，天线与天线之间因为电磁波的干扰、传输路径的干扰，以及空间散射物质的干扰，发射端的信号到达接收端存在着相当大的影响.当相关系数达到1的时候，多天线系统将不再具有增大信道传输效率的作用，相反，还会因此浪费空间资源.由于信号的来波角度的非全向性和非均匀分布性质，信道传输函数的相关特性与相对应的空间距离向量的关系非常密切[9].

考虑空间因素中的天线间距、角度扩展和天线数量这几个参数产生的相关性.在接收端接收天线采用等间距线性阵列，阵列模型如图1所示.

假设两根天线之间的距离为d,天线接收到的角度扩展为2Δ，平均来波角度为θ，来波角取决于概率密度p(θi)，概率密度是由角度扩展决定的，因此第m条天线和第n条天线之间的相关系数可由下式决定[10]，有

(11)

根据系统散射环境和天线所处位置的不同，在已有的许多文献中，来波角谱考虑了许多种的分布，如有余弦分布，均匀分布，高斯分布和拉普拉斯分布.出于均匀分布的简单性和一般性的考虑，这里假设来波方向服从均匀分布，即

(12)

此时，为了研究天线相关性对系统信道容量的影响，将信道矩阵H进行分解，得到如下表达式[11]

(13)

式(13)中R定义为nR×nR的接收天线正相关矩阵；T则是nT×nT的发射天线正相关矩阵；Hw中的每一个元素都是均值为零，方差为1的复高斯独立的随机变量.通过式(13),更能清晰地看出接收天线和发射天线的相关性对信道矩阵的影响.

因为发射端的信道状态信息是未知的，发射信号总功率平均分配到每一根天线上，可得

(14)

再把式(14)代入式(10)中，令γ=P/σ2，只讨论单位频带的容量，即C′=C/W，则容量公式变为

(15)

假定一个M阶的相关矩阵A为

(16)

其中，r∈[0,1)是相关系数.则R=AnR(r),T=AnT(r),其中R和T分别是发射天线的相关矩阵和接收天线的相关矩阵.

这里，假定nR=nT=M，当信噪比较高的时候，多天线MIMO系统的信道容量可以改写成

(17)

显而易见，当发送端的信道状态信息是未知的时候，将发送功率平均分配到每一根天线上，此时的R和T相关矩阵对信道容量的影响是一致的.假设发送端信道状态信息是已知的，就要考虑功率分配来分析信道容量的大小.由此，这里只考虑接收端的相关性分析.

3 数值模拟与分析

模拟的MIMO系统是典型的室内微小区域，发射端和接收端都是均匀线性阵列[12].图2中各曲线的天线配置是nR×nT，通过蒙特卡罗方法产生式(3)所示的信道矩阵，再根据式(10)得到的结果.从图2可以看出，在低信噪比下，信道容量随信噪比成对数关系增加；在高信噪比下，信道容量随信噪比成线性关系增加.比较4发2收和3发3收可以看出，发射天线数的增加没有接收天线数的增加对信道容量的影响更大.在天线数相同的条件下，天线的相关性降低了信道容量.同时看出，无论增加发射天线数或者增加接收天线数都能显著地增加系统的信道容量.

下面讨论的是天线间距，角度扩展对相关系数、信道容量的影响.图3根据式(11)得到.图3(a)给出的是在不同角度扩展下相关系数受天线间距的影响.从图中可以看出，当角度扩展比较大的时候，相关系数随着天线间距的增加很快地趋于0值，这是由于在接收天线角度扩展比较大的时候，信号传输子路径的增益变大，相当于接收到的信号更多，信号的损失比较小，所需的空间间距也比较小.当角度扩展一定时，相关系数随着天线间距的增大而减小，随着天线间距的增大，相关系数渐渐地收敛于0的附近.

图3(b)给出的是在不同天线间距下相关系数受角度扩展的影响.从图中可以看出，当天线间距比较大的时候，相关系数随着角度扩展的增加很快地趋于0值，这是由于随着天线间距的增加，各天线间的相关性降低.特别当天线间距增大到一定程度时(如d=3.85/λ)，角度扩展对相关性的作用微乎其微.

图4(a)和4(b)根据式(15)得到.图4(a)给出了不同角度扩展下信道容量随天线间距的影响.当天线间距一定的时候，随着角度扩展的增大，信道容量趋于稳定值越快.也就是说，天线间距一定时，角度扩展越大，相关系数越快接近0，容量随着相关系数的减小而增大.同理，角度扩展一定时，随着天线间距的增大，信道容量能够渐渐地趋于一个稳定的值.由图4(a)和4(b)可以看出，接收发射天线数一定的时候，无论天线间距和角度扩展的增大如何，信道容量趋于一个相同的值.这个值就是我们要求的最优信道容量值.

图4(b)给出了不同天线间距下信道容量随角度扩展的影响，其理论阐释与图4(a)相仿，不再赘述.需要注意的是，当天线间距增大到一定程度时(如d=3.85λ)，角度扩展对相关性的作用，进而对信道容量的贡献微乎其微.同时图4(b)也从另一个侧面映证了图3(b)的结论.

4 结语

本文考查了多天线系统中，MIMO天线各参数对信道容量的影响.可以看到，在收、发端增加天线数会提高信道容量，不过天线之间的相关性，又会降低信道容量.虽然我们可以采用增大天线间距，或者增大角度扩展的办法,以减小天线的空间相关性.但一味地增加天线间距和角度扩展也会给系统硬件设计带来难度.本文探讨天线数量、间距、角度扩展等因素对信道容量的影响.考查了在一定天线间距和角度扩展情况下，尽可能增加天线数量，以达到信道容量的最优值，这在工程上对多天线设计具有一定的参考意义.今后的工作可以围绕功率分配对天线相关下信道容量的影响进行.

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(责任编辑 宋 静)

Impact of Antenna Correlation on MIMO Channel Capacity

XIAO Xuefang1,2,3，LIN Feng4， LEI Guowei4

(1.SchoolofOpto-electronicandCommunicationEngineering,XiamenUniversityofTechnology,Xiamen361024,China;2.FujianUniversityKeyLaboratoryofOptoelectronicTechnology,Xiamen361024,China;3.XiamenLEDLightingEngineeringCenter,Xiamen361024,China;4.SchoolofScience,JimeiUniversity,Xiamen361021,China)

BasedontheequivalentformulaofchannelcapacityofMIMOsystem，theoptimalvalueisevaluatedamongthenumberofantennas,antennaspacing,anglespreadandchannelcapacity,andimpactofantennacorrelationonMIMOchannelcapacitycausedbythethreespacefactorsstudied.Simulatedresultsrevealthat,increaseoftransmittingorreceivingantennascanbothsignificantlyenlargethechannelcapacityofMIMOsystems,thelatterofwhichshowsbettereffect.Butexcessiveincreaseofantennaswillreducetheantennaspacingandincreasethecorrelationbetweenantennasandasaresultthechannelcapacitywillbereduced.Therefore,maximalnumberofantennasshouldbeusedinMIMOdesignwhilekeepingantennaspacingandanglespreadsoastoensuretheoptimalvalueofchannelcapacity.

MIMO;channelcapacity;antennacorrelation;numberofantennas;antennaspacing;anglespread

2016-07-05

2016-09-22

厦门理工学院预研科技项目(XYK201406)；福建省青年骨干教师出国留学1∶1配套项目(20150710605)[作者简介]肖雪芳(1977-)，女，副教授,博士，研究方向为半导体、光电子、通信.E-mail:xfxiao5217@semi.ac.cn

TN

A

1673-4432(2016)05-0064-06