不确定因素干扰下的最优决策

刘乐然，刘景州

（1.安阳市第一中学；2.安阳幼儿师范高等专科学校，河南安阳455000）

不确定因素干扰下的最优决策

刘乐然1，刘景州2

（1.安阳市第一中学；2.安阳幼儿师范高等专科学校，河南安阳455000）

当面临多个决策时，人们往往受多个因素的影响。围绕不确定因素对最优决策的影响，本文从学生去餐厅就餐问题进行入手，将餐厅就餐情况、别人的选择、自身偏好等不确定因素抽象成可以量化的数值，进行数学建模，进行数据分析，探讨如何使决策最优化。

数学建模；决策分析；数据模拟

D01∶10.19329/j.cnki.1673-2928.2016.06.016

在决策过程中，我们将影响决策准则的因素分为人为因素与客观因素。人为因素包含自身因素与他人行为。客观因素分为确定因素与不确定因素。在充分考虑主观因素与确定因素后，我们还需要讨论不确定因素、他人行为对决策的影响，使决策更为优越。

1 模型背景

某校有3个食堂，beta去餐厅就餐。他是一个精于策划的学生，希望用最短的时间以及最令人愉悦的方式解决问题。然而，食堂是一个充满不确定因素的地方，beta需要根据自己的肚子和三个食堂不同的情况做出最理想的决策。请运用数学建模的知识，围绕食堂就餐的过程，对该决策进行优化，使beta的决策在食堂中多种因素变化的情形下仍能保持可行性。

围绕食堂就餐决策的灵敏度分析，本文提出了以下的问题：

1）将餐厅的情况、别人的选择、自身的偏好抽象成可以量化的数值，并由此得出这些量在这个问题中占的比重；

2）由于实际情况中，beta只能根据以往经验、自身偏好进行预判，这种预判与实际情况会产生偏差，从而使决策不能收到最大效益。我们可以考虑这些不确定因素产生的影响，从而得到实际与目标的偏离程度，并由此做出评估；

3）不确定因素对beta的决策产生的影响的量化。

2 模型假设

1）假设菜品的受欢迎程度与性价比按照题中所给函数。

2）假设该食堂菜品口味、营养价值按照本文提供表格中的数据成线性分布。

3）假设beta同学就餐决策由且仅由这5个及其相关量来表示。

4）假设三个食堂各有差异且差异可以表示。

5）假设beta本身只能决定菜品种类，排队人数对于beta完全不可控。

3 符号说明

下列符号的含义是：

A1：菜品口味，常量

A2：拥挤程度，常量

A3：营养价值，常量

A4：菜品价格，常量

A5：排队时间(min)，常量X0：菜品的性价比，变量

E：排队人数的实际值，变量

F0：排队人数的预测值，常量

W：排队人数的误差值，常量

μi：菜品的受欢迎程度，常量

Ni∶考虑误差后的拥挤程度,变量

Ti∶考虑误差后的排队时间,变量

Λmaxi∶每个因素的重要程度,常量

S=100∶窗口面积（m2）,常数

V=100∶排队速度，即单位时间排完队的人数（人/H）,常数

Mi∶不同菜品对应的队长（人）,变量

Ω∶层次分析中的矩阵列

P：决策指数，函数

Q：决策指数的过渡函数，函数

4 问题分析

Beta对不同的菜品有自己不同的评价，菜品的优劣（b1）主要有菜品的营养度a1，菜品的价格a2,来决定，菜品的优劣又往往会影响到选择食用该菜品的人数，我们把这个关系用同类商品的便宜程度与其受消费者欢迎程度的函数（Gx）来近似，用matlab求解。

每一天到食堂吃饭的人数e也是波动的，因此beta每天的排队时间也有波动，买好吃的菜又会增加排队时间。

综上，我们把beta就餐的决策收益分为菜品口味和营养体验。消费成本分为拥挤过程中的心理成本、排队时间和菜品的价格。

首先对于排队人数进行灰色预测，并得到期望值与误差值。

通过层次分析，得到beta应该去哪个食堂，以及beta做决策时对这五个因素的偏重程度，即权重系数。

又通过数学分析得到以下几个量间的关系：排队人数与拥挤度，排队人数、选择菜品的受欢迎程度对排队时间的影响，共得到5个关键函数。

根据期望值与误差值，得到排队人数的可变区间，并通过蒙特卡洛模拟方法随机生成8组该区间的数值，再加上两个端点的极端数值生成5*n的数值矩阵，并由该矩阵计算协方差矩阵，并计算协方差矩阵的和，观察是否超出可接受范围。

5 模型求解

5.1 受欢迎度的函数

为探究受欢迎程度与营养程度、菜品价格间的关系，我们设立多元线性回归方程，μi=b1+b2× A4+b3×A3，得到μi=-173.4+150.9×A4+10.22×A3 （μi受欢迎度、A4价格、A3营养值）

5.2 排队时间、排队人数的函数

为了衡量食堂的拥挤程度F(x)=mi/S;

mi=e*（μi/∑ui）表示排队买第i个菜的队长。Ti=mi/v表示买第i个菜的排队时间。

5.3 排队人数的灰色预测

本题中的排队人数符合灰数模型。

采用灰色预测GM(1,1)的方法，由前10天的卖出份数得到：今天的卖出份数预测值为：1045.0484；百分绝对误差为：25.8384。

5.4 对于食堂就餐的层次分析(AHP)

采用层次分析法对就餐问题进行分析：将就餐选择分为两个层次，第一个层次为：菜品口味、拥挤程度、营养价值、菜品价格、排队时间；第二个层次为：3个不同窗口（见图1）。通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序和总排序，以作为目标、多方案优化决策的系统方法。

图1 对食堂就餐问题的层次分析（AHP）

5.4.1 构造判断矩阵

5.4.2 求出最大特征值及特征向量

A的最大特征值λmax=5.363

相应的特征向量为 ω=(0.202,0.338,0.245, 0.051,0.164)T

比较方案层对准则层的影响，同理得到五个成对比较矩阵A1,A2,A3,A4,A5，求得各要素最大特征值和相应的特征向量。

5.4.3 一致性检验

一致性指标CI=(5.363-5)/(5-1)=0.0908随机一致性指标RI=1.12

一致性比率CR=0.0908/1.12=0.081＜0.1通过一致性检验。

经计算，均通过一致性检验。

由此，我们得到beta同学明智的选择是去三食堂。

5.4.4 构建函数Q=Q1-Q2

Q1为决策利润，Q2为决策成本。

决策利润包括菜品口味，营养价值，决策成本包括拥挤程度，排队时间，菜品价格。这里的拥挤程度、排队时间、菜品价格按照灰色预测所得到的结果，而菜品的口味则按照beta自己的选择。

由Q1=0.202×A1+0.245×A3;

Q2=0.338×A2+0.051×A4+0.164×A5.

得 Q=（0.202×A1+0.245×A3）-（0.338×A2+ 0.051×A4+0.164×A5）.

为了使他们的重要程度仅由权重系数决定，我们对这个公式进行修正：

P=（0.202×A1+0.245×A3/20）-（0.338×A2/100+ 0.051×A4+0.164×A5）

5.4.5 结论

模糊量化条件：每种菜的口味可以由不同的

数值衡量。

根据灰色预测的结果，百分绝对误差为：25.8384；预测值为：1045.0484。

我们知道，排队人数应在(760.216,1288.821)之间。为不失准确性，我们将排队人数的可能区间设为（760，1288）。

5.5 数据模拟与边界分析

使用蒙特卡洛法，考虑边界条件进行随机模拟，综合菜品受欢迎程度与排队时间、营养价值的函数，我们可以分别得到六样菜品的Q值

-0.452-0.434-0.498 0.240 0.021 0.168

Beta同学在做出选择4号菜品的决策后，排队人数的波动造成决策的成本与结果的综合准则p随之浮动，而决策的灵敏度要求是波动范围使得决策最优的地位没有改变。由蒙特卡洛模拟得，e在一定偏小范围内变化时，beta的4号决策仍为最优决策，当e达到e0时，显然，6号菜品取代4号菜品成为最优决策。现在，我们建立数学模型来求出e0，模型求解如下：

对于一个e0,根据公式

P=（0.202×A1+0.245×A3/20）-（0.338×A2/100+ 0.051×A4+0.164×A5）

4号菜品的决策指数为

P4=(0.202×1+0.245×75/20)-(0.338×e0× 0.16678/100+0.051×0.6+0.164×e0×0.16678×0.01)

6号菜品的决策指数为

P6=(0.202×1+0.245×23.5/20)-(0.338×e0× 0.05310/100+0.051×1+0.164×e0×0.05310×0.01)

当P4=P6时，可以解得，e0=1135.1

综上，在760＜e＜e0时，beta同学选择4号菜品，3号食堂为标准决策，在e0＜e＜1288时，beta同学选择6号菜品为标准决策。当e=e0时，beta同学可以根据其他条件任意选择4号和6号中的一个。

5.6 模型的验证·协方差检验

不同量之间的相互影响的程度见表1。由协方差矩阵知，P函数独立性极强，可以认为是正确的。

表1 协方差检验表矩阵

6 模型评估

1）在等待的过程中，该学生的饥饿度有可能随时间的推移而改变，这点我们在模型分析中若能够稍做说明，问题将显得更加可靠。

2）对于灰数模型GM（1，1），该模型参数通常采用最小二乘法来估计，虽然最小二乘法是迄今为止最常用的办法，但采用最小二乘法的前提是拟合误差应具有正态性，否则，由它求得的参数稳健性较差，对异常数据较敏感。［1］

[1]穆勇.灰色预测模型参数估计的优化方法[J].青岛大学学报（自然科学版），2003，16（3）∶95-98.

（责任编辑：王彦永）

O211.9

A

1673-2928（2016）06-0052-03

2016-04-08

刘乐然（1999-），河南安阳人，安阳一中。刘景州(1974-)，河南上蔡人，安阳幼儿师范高等专科学校副教授，主要研究方向：计算机信息。