Drygas二次型函数方程的Ulam稳定性

宋爱民

(甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作 747000)



Drygas二次型函数方程的Ulam稳定性

宋爱民

(甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作 747000)

给出了Drygas二次型函数方程的定义，并得到其一般解；讨论了Drygas二次型函数方程与混合三次-四次型函数方程的关系，并在Banach空间及模糊赋范空间上讨论了它的Ulam稳定性.

Drygas二次型函数方程；Banach空间；模糊赋范空间；Ulam稳定性

0 引言

1940年，Ulam[1]提出了函数方程的稳定性问题，并研究了群同态的稳定性，随后Hyers[2]解决了Banach空间中近似Cauchy映射的稳定性问题.1978年，Rassias[3]将这种稳定性推广到广义Ulam稳定性，此后人们研究了各种映射的Ulam稳定性[4-6].2003年，Radu[7]用不动点方法解决了Hyers-Ulam 稳定性问题，之后直接方法和不动点方法成为研究函数方程稳定性的重要方法.

(1)

(2)

(3)

Drygas函数方程是Drygas[9]于1987年为了描述拟内积空间而引入的函数方程，对于一些统计学问题的解决起过重要作用.1992年，Ebanks等[10]给出了Drygas函数方程的一般解.

证明 必要性见文献[10].

从而充分性得证.

事实上，这里

2008年，Gordji等[11]给出了混合三次-四次型函数方程

(4)

在Banach空间的稳定性并得到了其一般解.

近几年，多元函数方程的稳定性引起了学者的广泛关注，如Chu等[12]研究了n元导子的每一个变量的Ulam稳定性，Bae等[13]研究了二元四次型函数方程的一般解及其稳定性.本文在上述研究的基础上，定义了Drygas二次型函数方程，并得到了它的一般解及其与混合三次-四次型函数方程的关系，最后讨论了其在Banach空间以及模糊赋范空间上的Ulam稳定性.

(5)

1 Drygas二次型函数方程的一般解

证明 充分性显然，下证必要性.

显然，f关于第一个变元是Drygas的，固定y1,y2，由引理2关于A的定义可知B关于第一个变量是可加的，又由引理2关于H的定义可知，F关于前两个变量对称可加；由于f关于第二个变元是二次的，由引理1及引理2中H的定义可知固定x1，则B关于后两个变量是对称、二次的；固定x1,x2,则F关于后两个变量是对称二次的.所以

由于f关于第一个变元是Drygas的，从而f(2x,2y)-2f(x,2y)=f(x,2y)+f(-x,2y)，也即

又f关于第二个变元是二次的，所以F(x,x,y,y)+B(x,y,y)=f(x,y)，必要性得证.

显然C关于三个变量是对称可加的，Q关于四个变量是对称可加的.不难看出，C(x,x,x)=B(x,x,x),Q(x,x,x,x)=F(x,x,x,x),从而

显然g满足引理3的条件，从而g为混合三次-四次函数. 】

则f为Drygas二次函数，且g(x)=f(x,x).

Q(2y+x,2y+x,2y+x,2y+x)+

Q(2y-x,2y-x,2y-x,2y-x)=

显然有

Q(2x+y,2x+y,2x+y,2x+y)+

Q(2x-y,2x-y,2x-y,2x-y)=

又

综合上面三式我们有

又因为

综合上面两式有

从而

由定理1可知,f为Drygas二次的，显然有g(x)=f(x,x)，定理得证. 】

显然f是Drygas二次的当且仅当对∀x1,x2,y1,y2∈X,有Df(x1,x2,y1,y2)=0.

2 Drygas二次函数方程在Banach空间上的Ulam稳定性

设X是实向量空间，Y是Banach空间.

(6)

(7)

(8)

证明 由(7)式可知

(9)

在(9)式中令x1=x2=x,y1=y2=y，则有

在上式中用2nx代替x，2ny代替y，且两边同除以16n+1，则有

(10)

从而对任意正整数m

由(6)式可知，序列

在(7)式中用2nxi代替xi，用2nyi代替yi，这里i=1,2，则有

3 Drygas二次函数方程在模糊赋范空间的Ulam稳定性

设X为线性空间，(Y,N)是模糊Banach空间.

φ(2x1,2x2,2y1,2y2)=αφ(x1,x2,y1,y2)；

(11)

(12)

(13)

其中M((x,y),t)=min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(-x,-x,y,y),t)}.

证明 不失一般性，此处设0<α<16.由(12)式，显然有

(14)

在(14)式中令x1=x2=x,y1=y2=y，则有

也即

N(f(2x,2y)+f(-2x,2y)-

在上式中，用2nx代替x，2ny代替y，我们有

进一步，我们有

所以对任意正整数m

从而有

(15)

在(14)式中用2nxi代替xi，用2nyi代替yi，这里i=1,2，则有

从而

显然由上式有

从而

即Q为Drygas二次的.

在(15)式中令m=0,n→∞可得

从而定理得证. 】

[1] ULAM S M.ProbleminModernMathematics[M].New York:John Wiey & Sons,1940.

[2] HYERS D H.On the stability of the linear functional equation [J].ProcAmerMathSoc,1941,72(2):222.

[3] RASSIAS T M.On the stability of the linear mapping in Banach spaces [J].ProcAmerMathSoc,1978,72(2):297.

[4] ESKANDANI G Z,GAVRUTA P,RASSIAS J M,et al.Generalized Hyers-Ulam stability for a general mixed functional equation in quasi-β-normed spaces[J].MediterraneanJournalofMathematics,2011,8(3):331.

[5] NAJATI A,RANJBARI A.Stability of homomorphisms for a 3D Cauchy-Jensen type functional equation onC*-ternary algebras[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2008,341(1):62.

[6] POPA D.Hyers-Ulam-Rassias stability of a linear recurrence[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2005,309(2):591.

[7] RADU V.The fixed point alternative and the stability of functional equations[J].FixedPointTheory,2003,4(1):91.

[8] JUNG S M.Hyers-Ulam-Rassias stability of functional equations in mathematical analysis[J].SpringerOptimizationandItsApplications,2001:175.

[9] DRYGAS H.Quasi-innerProductsandTheirApplications[M].Advances in Multivariate Statistical Analysis,Netherlands:Springer,1987:13.

[10] EBANS B R,KANNAPPAN P L,SAHOO P K.A common generalization of functional equations characterizing normed and quasi-inner-product spaces[J].CanadMathBull,1992,35:321.

[11] GORDJI M E,EBADIAN A,ZOLFAGHARI S.Stability of a functional equation deriving from cubic and quartic functions [J].AbstractandAppliedAnalysis,2008(1):1563.

[12] CHU H Y,KU S H,PARK J S.Partial stabilities and partial derivations ofn-variable functions[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,2010,72(3):1531.

[13] PARK W G,BAE J H.On a bi-quadratic functional equation and its stability[J].NonlinearAnalysis:Theory,Methods&Applications,2005,62(4):643.

(责任编辑 马宇鸿)

The Ulam stability of Drygas-quadratic functional equation

SONG Ai-min

(College of Mathematics，Gansu Normal University for Nationalities，Hezuo 747000，Gansu,China)

A class of Drygas-quadratic functional equation is defined,and its general solution is obtained.Meanwhile,the relationship between Drygas-quadratic functional equation and cubic-quartic functional equation is given.Finally the Ulam stability of Drygas-quadratic functional equation in Banach space and fuzzy normed space is discussed.

Drygas-quadratic functional equation；Banach space；fuzzy normed space;Ulam stability

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.06.005

2015-09-21;修改稿收到日期:2015-10-17

甘肃省高等学校科研资助项目(2015B-120)

宋爱民(1984—)，男，甘肃兰州人，讲师，硕士.主要研究方向为算子代数及其应用.

E-mail:songai-min@163.com

O 177.1

A

1001-988Ⅹ(2016)06-0022-07