数形结合法巧解函数类压轴小题

郑润华

最近，笔者给高三尖子生作函数与导数模块复习时遇到不少函数类压轴小题，绝大部分试题要用到函数的图象才能高效的突破.由于函数类压轴小题在高考中的分值较大，通常都具有一定的难度，如果学生能把握好这些试题的解答，整张试卷得高分就成为可能.俗话说，得小题者得天下.本文略取两个小题，还原高考的思维过程，探求在复习中该如何把握函数类问题的解法，体会数形结合思想在解题中的魅力.

一、试题再现

例1（2014年成都一诊文数T10）已知函数fx= lnx ，1≤x≤4-2lnx，14≤x<1，若函数Fx=fx-kx在区间14，4上恰有一个零点，则k的取值范围为

二、解法研究

例1试题平凡，题意清晰，以分段函数为载体，涉及分段函数的图象、函数的零点、直线与曲线的交点个数，隐藏直线与曲线相切.根据“分段函数的图象分段绘制”的原则，分别作出两个区间内的函数图象，如图1.由函数的零点的定义得Fx=0，即fx=kx.此方程从函数与方程的角度来思考，即方程的根的个数是函数y=fx与y=kx的图象交点个数.于是，比较自然的思路是画过原点的直线与曲线相交，此时需要计算y=kx与y=lnx相切时k的值.经过简单的计算（省略），当直线与曲线相切时k=1e；当直线过点14，4ln2时k=16ln2.若对例1作一个变式研究，自然是要讨论k对函数Fx零点的个数的影响，这里留给读者研讨，不作赘述.

例2试题也较常规，但难度明显大于例1，仍然以分段函数为载体，以图象为突破口，不同之处是分界点未知，且区间是动态的（即第二段区间含有参数a）.笔者采取分步突破的办法：一方面，先在每一段函数解析式有意义的前提下绘制出两个部分的函数图象；另一方面，根据分段点k和右端点a来截取部分图象，使得此时的图象所表示的函数值域为-1，1，如图2所示.令x3-3x2+3=1解得x=1+3，又令log22-x=-1解得x=32，再通过图象推算得2≤a≤1+3.

读者必会有一个疑问是“存在一个分段点k使得值域为-1，1”中的 “存在”量词如何理解呢？为了回答这个问题，笔者给出原试题的两个变式，作了如下进一步研究：

①若只把试题中的分段点k划分到第一段区间，则a∈32，1+3；

②若只把试题中的“存在”量词改为“对任意k∈0，a”，则a∈.

三、解法与学法反思

上面两例仅涉及数形结合思想在函数、导数中的应用，然而，数形结合思想在高考试题中的渗透却是方方面面的.下面从解法和学法两个方面简要阐述二者的联系：

一方面，就解法而言，数形结合在处理函数问题时形象直观、思路清晰、运算通常也比较简便，尤其在处理函数类压轴小题涉及零点、交点等问题时可减少分类讨论，受到广大师生的青睐，具有广泛的应用.另一方面，就学法而言，对学生学习函数时提出了更高的要求，希望学生能从图象的角度掌握函数的性质，如奇偶性，周期性、单调性、凹凸性等.同时，能画出基本函数的图象更是深入学习其他复杂函数性质的一把利器.只有画好了函数的图象才能在解题中无形的使用图象，使数形结合思想贯穿在整个解题过程中.