等腰三角形与分类思想

□左效平

等腰三角形与分类思想

□左效平

数学思想是数学学习的精髓和灵魂，没有数学思想，数学学习就陷入一片黑暗，学不得法，学而无获，学而无趣.而分类讨论是数学学习中最常见的数学思想之一，下面就向大家介绍分类思想在解决等腰三角形相关问题中的应用，让其丰富你原有的学习内容.

一、动点遇线，分类求解

例1△A B C中，A B＝A C，D是A C上一个动点，D F⊥B C于点F，与直线A B交于点E，求证：△A D E是等腰三角形.

分析：这里点D是A C上的一个动点，且是无图解答，因此解答时，我们就需要利用数学中的分类思想求解，根据点与线的位置关系，可以分点D在线段A C上、点D在线段A C的延长线上、点D在线段C A的延长线上三种情形求解.

证明：当点D在线段A C上时，如图1.

图1

图2

图3

因为A B＝A C，所以∠B＝∠C.

因为D F⊥B C，

所以∠E＝90°－∠B，

∠C D F＝90°－∠C.

因为∠A D E＝∠C D F，

所以∠A D E＝90°－∠C.

所以∠A D E＝∠E，

所以△A D E是等腰三角形.

当点D在线段C A的延长线上时，如图2.

因为A B＝A C，所以∠B＝∠C.

因为D F⊥B C，

所以∠B E F＝90°－∠B，

∠D＝90°－∠C.

因为∠A E D＝∠B E F，

所以∠A E D＝90°－∠B.

所以∠D＝∠A E D.

所以△A D E是等腰三角形.

当点D在线段A C的延长线上时，如图3.

因为A B＝A C，所以∠B＝∠A C B.

因为D F⊥B C，

所以∠B E F＝90°－∠B，

∠D＝90°－∠F C D.

因为∠F C D＝∠A C B，

所以∠D＝90°－∠A C B.

所以∠D＝∠A E D.

所以△A D E是等腰三角形.

二、点遇形，分类求解

例2已知：点O到△A B C的两边A B、A C所在直线的距离相等，且O B＝O C.求证：A B＝A C.

分析：点与图形的位置关系有三种：点在图形上，点在图形内部和点在图形外部.

通过点O在△A B C的内部，在△A B C的一边上，在△A B C的外部三种情形，来探索同一个结论，让同学们既体会了探索发现过程的美好，又学会了用分类的思想去审视数学题.

证明：（1）如图4，若点O在B C上，过点O分别作O E⊥A C、O D⊥A B，垂足分别是E、D，

由题意知，O E＝O D，O B＝O C，

∠O D B＝∠O E C＝90°，

所以Rt△O D B≌Rt△O E C（HL），

所以∠B＝∠C，

所以A B＝A C.

图4

图5

（2）如图5，若点O在△A B C的内部，过点O分别作O E⊥A C、O D⊥A B，垂足分别是E、D，

由题意知，O E＝O D，O B＝O C，

∠O D B＝∠O E C＝90°，

所以Rt△O D B≌Rt△O E C（HL），

所以∠D B O＝∠E C O，

因为O B＝O C，

所以∠O B C＝∠O C B，

所以∠D B O＋∠O B C＝∠E C O＋∠O C B，即∠A B C＝∠A C B，

所以A B＝A C.

（3）若点O在△A B C的外部，如图6所示，过点O分别作O E⊥A C、O D⊥A B，垂足分别是E、D，

由题意知，O E＝O D，O B＝O C，

∠O D B＝∠O E C＝90°，

所以Rt△O D B≌Rt△O E C（HL），

所以∠D B O＝∠E C O，

因为O B＝O C，

所以∠0 B C＝∠O C B，

所以∠D B O＋∠0 B C＝∠E C O＋∠O C B，即∠D B C＝∠E C B，

所以180°－∠D B C＝180°－∠E C B，即∠A B C＝∠A C B，

所以A B＝A C.

图6

三、形遇边，分类求解

例3如图7，正方形A B C D的边长是16，点E在边A B上，A E＝3，点F是边B C上不与点B、C重合的一个动点，把△E B F沿E F折叠，点B落在B′处.若△C D B′恰为等腰三角形，则D B′的长为.

图8

图7

分析：△C D B′为等腰三角形，这个三角形的形状是定了，但是哪两条边是腰却是没有确定的，所以解答时，要采用分类的思想求解.

解：（1）当B′D＝B′C时，如图8，过B′点作G H∥A D，

则∠B′G E＝∠D H B′＝90°，

又因为B′C＝B′D，△C D B′为等腰三角形，

因为A E＝3，A B＝16，

所以B E＝13，E G＝8－3＝5.

由翻折的性质，

得B′E＝B E＝13.

所以B′H＝G H－B′G

＝16－12＝4，

（2）当D B′＝C D时，如图7，则D B′＝16（易知点F在B C上，且不与点C、B重合）.

（3）当C B′＝C D时，因为E B＝E B′，C B＝C B′，所以点E、C在B B′的垂直平分线上，所以E C垂直平分B B′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去.