比较二次函数值的大小

薛秋萍

二次函数值的比较大小类试题一直是中考热点问题.这类问题一方面凸显了对二次函数的图像性质的基本知识、核心知识的考查，另一方面体现了对数形结合、分类讨论等重要思想方法的考查.

【引例】

已知点A（2，y1），B（-1，y2）在抛物线y=（x-1）2+1上，则比较y1，y2的大小关系 .

【常规思路】

从代数的角度，我们可以根据二次函数图像上点的坐标特征，将A（2，y1），B（-1，y2）代入二次函数分别计算出y1，y2的值，然后再比较它们的大小；从函数的角度，我们可以先利用二次函数的对称性，将对称轴异侧两点A（2，y1），B（-1，y2）转化到对称轴的同一侧两点A（2，y1），B′（3，y2），再根据二次函数的增减性比较大小.

【题后反思】

从解题中我们发现代数法的本质即利用图像上点的坐标特征把二次函数值的比较大小转化为代数式值的比较大小.而函数法的本质即结合二次函数的图像，利用函数增减性把二次函数值的比较大小转化为比较A、B两点到对称轴距离的远近.

代数法是顺其自然的解答，函数法是数形结合的方法，直观简单.这两种方法时刻贯穿于我们二次函数的值比较大小的问题中，如何准确熟练使用好这两种方法呢？下面我们一起看三个例题分析.

【应用实例】

例1 二次函数y=mx2-2mx+m2+1（m<0）的图像经过点A（2，y1），B（-1，y2），则比较y1，y2的大小关系 .

【思路分析】顺其自然我们会想到代数法，利用代入法算出y1=m2+1，y2=m2+3m+1，然后利用作差法得出y1-y2=-3m>0即y1>y2.由于函数法取决于开口方向与对称轴，只有找出“隐形”对称轴x=1，进一步判断出A点到对称轴的距离比B点到对称轴距离要近，再根据开口向下，离对称轴越近函数值越大进而得出y1>y2.

【题后反思】

一般情况下，若点的横坐标已知，我们易用代数法解决问题；若对称轴以及开口方向显然可知，用函数法相对比较简单.

例2 已知抛物线y=（x-3）2+2经过点A（m，y1），B（n，y2），且[m-3]<[n-3]，则比较y1，y2的大小关系 .

【思路分析】 此题中非常清晰可知二次函数的对称轴与开口方向，函数法应该优先考虑.再根据[m-3]<[n-3]，不难得出A点到对称轴的距离比B点到对称轴的距离要近，再根据“开口向上，离对称轴越远函数值越大”进而得出y1

【题后反思】用函数法处理问题时我们仅需关注二次函数的对称轴与开口方向以及已知点与对称轴的距离的远近，与已知点在对称轴的同侧还是异侧关系不大。

例3 已知点A（m，y1），B（m+1，y2）， 在抛物线y=（x-1）2+1上，则比较y1，y2的大小关系 .

【思路分析】代数法，常规做法利用代入法算出y1，y2，然后利用作差法得y1-y2=-2m+1，由于m的取值未知，故而对-2m+1的正负性讨论，最后得出：当m=0.5时，y1=y2；当m>0.5时，y1y2.二次函数的对称轴与开口方向都易知，函数法应该也是可以的.但从题目中难以确定A点到对称轴的距离与B点到对称轴距离的远近，于是必须对此进行讨论，即[m+1-1]与[m-1]比大小.当A点与B点到对称轴距离一样时，m=0.5，此时y1=y2；当A点到对称轴较近时，m>0.5，此时y1y2.

【题后反思】此题中无法判断两点与对称轴的距离的远近，似乎用函数法不易理解，下面我们把它简化为判断AB中点与对称轴的位置.

【变式】若二次函数y=a（x-h）2+k（a>0）经过A（m，y1），B（n，y2）两点，且m

【解答】①AB中点在对称轴上，即[m+n2]=h时，y1=y2；②AB中点在对称轴右面，即[m+n2]>h时，y1y2.

【方法总结】

二次函数的函数值比较大小的方法：

（1）代数法.具体步骤：①代入求值；②作差比较.

（2）函数法.具体步骤：①找对称轴与开口方向画出简图；②求AB中点的横坐标；③判断AB中点与对称轴的位置（点在对称轴上、左、右）；④根据函数图像性质得出结论.

（作者单位：江苏省太仓市第二中学）