基于Biharmonic样条插值的GPS高程拟合

陈向阳

(南通职业大学建筑工程学院，江苏 南通 226007)

俞世炜

(中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院，北京 100083)

赵国梁

(西安科技大学测绘科学与技术学院，陕西 西安 710000)



基于Biharmonic样条插值的GPS高程拟合

陈向阳

(南通职业大学建筑工程学院，江苏 南通 226007)

俞世炜

(中国矿业大学(北京) 地球科学与测绘工程学院，北京 100083)

赵国梁

(西安科技大学测绘科学与技术学院，陕西 西安 710000)

介绍了GPS高程拟合原理和传统GPS高程拟合模型，提出了基于Biharmonic样条插值原理的GPS高程拟合模型。以实测GPS水准网为算例，使用Biharmonic样条插值拟合模型、多项式曲面拟合模型和加权平均插值拟合进行拟合分析，分别从内外精度上验证Biharmonic模型在GPS高程拟合方面的可靠性和可行性，并将其分析结果与常用的拟合模型进行比较，得出Biharmonic模型在GPS高程拟合中的可靠性。

GPS高程拟合；多项式曲面拟合；加权平均插值拟合；Biharmonic样条插值；拟合模型

水准测量是大地测量以及工程测量范围内不可缺少的一项任务，我国目前使用水准仪器测得的高程都是正常高系统，与GPS观测技术获得的大地高系统不一致，所以大地高转换为正常高系统是一个非常重要的任务[1]。目前，大地高转换为正常高有很多方法，其中理论性、逻辑性最好的方法是在地球重力场模型中利用观测到的高精度GPS数据、重力观测数据和DTM数据精化区域似大地水准面。但在小范围内，不具备重力资料情况下，GPS高程拟合模型仍然是一般单位进行GPS高程转换首选方案。

下面,笔者在传统GPS高程拟合思想基础上，应用新的拟合模型来解决GPS高程与正常高的转换,并提出基于Biharmonic样条插值拟合模型。

1 高程数据拟合原理

图1 不同高程系统之间的关系

在不同高程系统中，其水准基准面不同，导致在不同高程系统下的高程数据不能直接引用，所以需进行高程数据的转换。不同高程系统之间转换关系[2]如图1所示。

图1中的高程关系可用式(1)表达：

Hr=H-ξ

(1)

式中，H表示大地；Hr表示正常高；ξ表示高程异常，代表似大地水准面到椭球面距离。

通过式(1)可以得出，如果已知高程异常值ξ，就可实现GPS高程转化为正常高。

目前,确定高程异常有多种方法,但生产实际中广泛采用 GPS高程拟合法求解高程异常。其基本思想是在生产实践中通过对 GPS控制点进行水准联测，对联测数据和观测数据进行相关性分析求取出高程异常值，根据这些联测点来解算整个测区的似大地水准面，从而将GPS点的大地高转换为正常高[3]。

2 基于Biharmonic样条曲面插值原理

高程拟合根据原理不同主要分为2大类，即函数模型逼近和统计模型逼近。目前，常用函数模型有多项式拟合法、曲面内插逼近法、多面函数法等；关于函数逼近模型有很多文献做过论述[3～5]。统计模型常用方法有加权平均法、Kriging(克里格)逼近法以及拟合推估法(配置法)。笔者在后面数据处理部分会用常用传统拟合模型和基于Biharmonic样条插值GPS高程拟合作比较。

常见曲面插值技术主要有双三次样条插值和B样条插值等，这些插值技术多有一定局限性，对数据要求较高，控制点要均匀分布于网格，模型分析计算量较大。而笔者提出的基于Biharmonic样条曲面插值的方法，不仅整体平滑度好，而且局部性能也有较大的提升。还有一个原因就是基于Biharmonic样条插值方法对控制点数量和分布要求不是很高[6]。用于GPS高程插值拟合时，可以方便地通过已知高程异常值来平滑插值出整个区域内高程异常值。

Biharmonic样条插值函数可以对散乱分布的2维数据进行曲面插值。插值所产生的曲面是以各点对应数据为中心的Green函数线性组合。该方法即可利用各点数值产生插值曲面，也可以斜率产生插值曲面。只要插值曲面满足Biharmonic方程，所插值产生的曲面就具有最小曲率的特点。对于Biharmonic方程在不同维空间中的解即不同维的Green函数。

设m维度空间中有散乱分布的N个控制点pi(i=1～N)，对Biharmonic样条的m维度插值问题可简化为对方程组(2)的求解：

(2)

满足式(2)的通解为：

(3)

系数aj满足线性方程组(4)：

(4)

式中， φm(P)为m维Green函数。m维Green函数表达式如表1所示。

3 基于Biharmonic样条插值原理的GPS高程拟合与算法实现

表1 m维度的Green函数

根据Bilharmonic样条插值原理的GPS高程插值拟合算法可以对散乱分布数据点进行插值拟合，这些数据点为控制点或称之为样本点(已知点)，而网格上的其他点称为待插值点或者非控制点。这样曲面插值原理理解为，在控制点已知的前提条件下，插值产生大量其他点处的值，用插值方法对曲面进行拟合处理[7]。基于Bilharmonic曲面插值算法描述如下：

控制点之间距离的复矩阵D为：

D=X+iY

(5)

式中,X、Y分别为已知点坐标列向量。

根据式(6)重新计算D：

D=D-DT

(6)

并将D矩阵对角线元素赋值为1。

插值权重向量W为：

W=G-1×ZT(Z为高程向量)

(7)

式(7)中G可按下式计算获得：

G=D2×(log(D)-1)

(8)

并将G矩阵对角线元素赋值为0。

再根据m维Green函数求得GREEN矩阵：

GREEN=DE2×(log(DE)-1)

(9)

最后根据式(10)插值出非控制点高程异常值：

ξ=GREEN×W

(10)

4 数据分析

GPS高程拟合精度主要由拟合点密度、点位分布情况以及拟合模型选取决定[8]。笔者所使用数据是某地72个点E级GPS静态观测数据，并联测了四等水准测量，与真实的水准高程数据进行对比分析。

为了体现Biharmonic样条模型的高精度性、高可靠性和普适性，试验采用多组数据进行对比分析，既可证明Biharmonic样条模型本身具有较高的拟合效果，也可体现不同控制点数量情况下Biharmonic样条模型依然具有很好的实用效果。笔者以以下2组试验为例进行分析。

4.1 多控制点拟合分析

试验1中3种模型均选用相同的26个控制点进行拟合计算，其余46个点作为检核点；试验点位分布如图2所示。

图2 点位分布

图3～图5分别是利用多项式曲面拟合、加权平均插值拟合和Bilharmonic样条插值拟合这3种不同拟合模型得到的结果，图6是Bilharmonic样条插值拟合产生的残差图。

图3 多项式曲面拟合结果

图4 加权平均插值拟合结果

表2为部分检核点残差统计，表3为表2的统计分析。从表3可以得出，Bilharmonic样条插值拟合能够很好逼近真实值；多项式曲面拟合是基于最小二乘原理的曲面拟合，对于给定的拟合函数会产生一定的拟合曲面，所以拟合出的曲面不能很好的逼近真实值；加权平均插值拟合在控制点处的拟合点与真实值有较小偏差，总体拟合结果可行性和可靠性较好。Bilharmonic样条插值拟合不仅可以实现在控制点处的拟合点与真实值保持一致，而且总体拟合结果能够达到很好精度。

图5 Bilharmonic样条插值拟合结果

图6 Bilharmonic样条插值拟合残差

点号残差/m多项式曲面拟合加权平均插值拟合Bilharmonic样条插值拟合BYI015-0011-00030007BYI016-0040-0001-0032BYI017-0025-0011-0009BYI018-000700040003BYI020000000050002BYI0400012-00030001BYI041-000300010008BYI04300190009-0001BYI045-000700080001BYI046-00010006-0006BYI049-00050007-0001BYI051-000100010010BYI052-0003-0005-0014BYI0530000-0006-0003BYI0550001-0005-0002BYI056-0005-0006-0003

表3 3种拟合模型的残差统计

图7是各拟合模型在检核点处的残差分布情况，从图7中可以看出多项式曲面拟合(六参数)在检核点处出现了残差的最大与最小，总体上也很不稳定；而加权平均插值拟合(线性)较多项式曲面拟合(六参数)而言稳定性有所提高，但是在某些检核点处依然残差较大；Bilharmonic样条插值拟合在各个检核点处具有更高的稳定性，没有出现残差的突变，较其他2种拟合方法更加有效。

图7 各拟合模型在检核点处的残差

4.2 低密度控制点拟合分析

为了避免引入变量，更好的说明Bilharmonic样条模型的优越性，试验2总体依然使用该地区的72个E级点进行分析。3种模型均选用相同的13个控制点进行拟合计算，其余的59个点的真实高程作为检核。

3种模型在选用相同的13个控制点进行拟合计算之后，将59个检核点与实测值进行对比，残差统计如表4所示。从表4可以得出，Bilharmonic样条插值拟合较另外2种模型具有较高的拟合精度。

表4 3种拟合模型的残差统计

5 结语

GPS水准模型在很大程度上决定拟合精度高低，采用不同模型，对于GPS水准拟合情况产生不同影响，模型选取对GPS水准拟合来说是关键问题[8，9]。笔者通过对比3种模型在GPS高程拟合中的精度，从结果可看出Bilharmonic插值拟合模型具有较好的适应性和较高的精确度，在GPS高程拟合中用于工程实践具有较高的可行性与可靠性。

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[编辑] 张涛

2016-05-27

国家自然科学基金项目(40572155)；江苏高校品牌专业建设工程资助项目(PPZY2015B183)；江苏省现代教育技术研究2015年度立项课题(2015-R-44740);2016年江苏省大学生实践创新训练计划项目。

陈向阳(1975-)，男，硕士，讲师，现主要从事测绘工程及数据处理方面的研究工作；E-mail：ntvccxy@126.com。

P228.4

A

1673-1409(2016)25-0001-07

[引著格式]陈向阳，俞世炜，赵国梁.基于Biharmonic样条插值的GPS高程拟合[J].长江大学学报(自科版)，2016,13(25)：1～7.