基于多尺度子带样本熵和LPP的轴承故障诊断方法

王广斌， 杜谋军， 韩清凯， 李学军

(湖南科技大学 机械设备健康维护湖南省重点实验室，湖南 湘潭 411201)



基于多尺度子带样本熵和LPP的轴承故障诊断方法

王广斌， 杜谋军， 韩清凯， 李学军

(湖南科技大学 机械设备健康维护湖南省重点实验室，湖南 湘潭 411201)

轴承损伤是机械设备损伤的主要原因之一，其产生的振动信号具有微弱、非平稳和非线性的特点。针对不能准确从微弱信号中提取故障特征的问题，提出使用多尺度子带样本熵，首先对信号进行小波包分解得到多尺度信号，再将每一个多尺度信号进行子带分解得到多尺度子带信号，再求其样本熵得到多尺度子带样本熵，该方法能深入挖掘微弱信号的本质特征；针对非平稳信号能量密度分布不均的问题，提出使用平滑伪Wigner-Ville分布，其可对非平稳信号的瞬时对称相关函数进行时频聚集处理，使信号的能量均匀分布；针对不能准确的挖掘非线性数据的主流形的问题，提出使用局部保持投影(LPP，Locality Preserving Projection)，LPP在投影过程中保持了最优的数据局部邻域关系，可以准确的挖掘非线性数据的主流形。文中分别采用四组正常、内圈故障、滚珠故障和外圈故障信号作为原始数据来验证该方法的有效性，实验结果证明该方法能有效地对信号故障进行分离和识别。

轴承损伤；特征提取；多尺度子带样本熵；平滑伪Wigner-Ville分布；LPP分布

随着制造业的发展，机械水平的不断提高，轴承的使用也越来越广泛，但轴承发生故障的频率也在不断增加，由于轴承故障不易察觉，从而容易引起不必要的损失。轴承故障诊断的发展，一直以来都受到了国内外的广泛关注，能否准确的从轴承故障信号中提取出准确的特征参数，是轴承故障诊断的关键。随着人们对故障诊断方法的研究，越来越多的方法被提了出来，以2000年在Science杂志上发表的两篇等距映射(Isometric Mapping, ISOMAP)和局部线性嵌入(Locally Linear Embedding, LLE)算法论文[1-2]为起点兴起的流形学习算法研究，使得故障诊断方法获得了新的动力。经典的流形学习方法有等距特征映射(Isometric Mapping, ISOMAP)[1]、拉普拉斯特征映射(Laplacian Eigenmaps, LE)[2]、局部线性嵌入(Locally Linear Embedding, LLE)[3]、局部切空间排列(Local Tangent Space Alignment, LTSA)[4]等。丁晓喜等[5]利用小波包分解和LPP相结合的方法，有效的提取了轴承故障信号潜在的特征信息，并对轴承故障及故障不同的损伤程度进行了诊断；张晓涛[6]利用多尺度正交PCA与LPP相结合的方法，消除投影分量间的冗余信息，是处理之后的齿轮箱故障信号内含的故障特征得到增强，提高了故障的识别率；李国芳[7]利用2DPCA与LPP相结合的方法对人脸特征进行了提取；郑近德等[8]利用多尺度熵和支持向量机相结合的方法，对轴承故障特征进行提取，并有效的对轴承进行故障诊断；臧怀刚等[9]利用EMD和平滑伪Wigner-Ville相结合的方式，充分提取信号的平滑伪Wigner-Ville谱熵，对轴承进行故障诊断。

本文提出一种基于多尺度子带样本熵和LPP相结合的轴承故障诊断方法，该方法利用了多尺度子带样本熵对微弱信号的时频域的挖掘能力，利用了平滑伪Wigner-Ville分布不仅可以使非平稳信号的能量密度均匀化，还可以消除在子带分解时产生的模态混叠效应，再结合LPP对非线性数据主流形的挖掘能力，最后经过实验对比，验证该方法的有效性。

1 多尺度子带样本熵

样本熵是时间序列复杂度的一种度量，其是为了弥补近似熵匹配自身的缺陷，且具有比近似熵更高的精度[10]，但是如果数据过于复杂，则普通的样本熵提取则不能深入数据内部对其进行准确的提取。为了解决该问题在这里提出了多尺度子带样本熵这个概念，首先将信号用小波包分解成多尺度信号，初步对信号特征值进行提取，然后选取合适的子带因子对信号进行子带分解得到多尺度子带，最后求出每一个多尺度子带信号的样本熵，因为该方法能深入数据内部，并对数据的特征值和特征向量进行层层分解和挖掘，所以能有效的将复杂微弱数据的故障特征准确的提取出来。多尺度子带样本熵具体步骤为：

(1) 原始信号为X，X=[x1,x2,x3,…,xn]T；

(2) 对信号X=[x1,x2,x3,…,xn]T进行小波包分解，即：

(1)

(2)

式中：hk为正交高通滤波器系数；gk为正交低通滤波器系数；Y0(t)=φ(t)为尺度函数；Y1(t)=φ(t)为小波函数，由此可知函数{Yn(t)|n∈z+}称为正交尺度函数φ(t)的正交小波包；

(3) 信号X(t)经过小波包j层分解与重构后，可以得到2j个小波包分解与重构序列S(j,k)(k=0,1,2,…,2j-1)，S(j,k)为小波包对信号X(t)进行j层分解的第k个节点序列，这种小波包分解与重构可以看作是小波包对信号的一种划分，则定义这种划分的测度为：

(3)

式中:φF(j,k)(i)是φF(j,k)的第i个值(i=1,2,3,…,N)，N是原始信号的长度，在本文中j=3，则k=0,1,2,…,7，且φF(j,k)是φ(j,k)的傅里叶变换；

(4) 依据数据经小波包分解后节点序列S(j,k)的数据长度M,选取样本熵最佳子带因子a(a=1,2,3,…)；

(5) 将数据S(j,k)按照最佳子带因子分为a个数据子带Si(j,k)(i=1,2,…,a)；

(6) 以S1(j,k)为例，给定维数m，将子带信号S1(j,k)按照序号组成一组m维向量，即：

S1(j,k)(i)=[S1(j,k)(i),…,

S1(j,k)(i+m+1)]

(4)

(7) 计算S1(j,k)(i)与S1(j,k)(n)之间的距离din，则din为：

din=d[S1(j,k)(n)-S1(j,k)(i)]=

max|S1(j,k)(n+l)-S1(j,k)(i+l)|

(5)

式中：l=0,1,2,…,m-1。

(6)

(9) 增加维数至m+1，重复步骤(6)～(8),得到Bm+1(r)；

(10) 若D为有限值，计S1(j,k)的样本熵为c1，则其样本熵c1为：

(7)

(11) 重复步骤(6)～(10)，分别计算出S1(j,k),S2(j,k),S3(j,k),…,Sa(j,k)的样本熵c1,c2,c3,…,c(a)；

(12) 将样本熵c1,c2,c3,…,c(a)进行特征矩阵构造，并进行归一化处理，记作C(j,k)，则该节点序列的子带样本熵为C(j,k)；

(13) 在本文中，分别计算各个节点序列S(j,k)(j=3)，则k=0,1,2,…,7,记其样本熵为C(3,0),C(3,1),C(3,2),C(3,3),C(3,4),C(3,5),C(3,6)和C(3,7)，并将其进行特征矩阵构造，进行归一化处理，则可得该故障信号的多尺度子带样本熵为T,则：

T=[C(3,0),C(3,1),C(3,2),C(3,3),

C(3,4),C(3,5),C(3,6),C(3,7)]

(8)

从以上步骤可以看出，样本熵的值与m和r密切相关，因此，对m和r的值的确定非常重要。其中m=1或m=2，0.1Std≤r≤0.25Std(Std是原始数据的标准差)，本文取m=2和r=0.2Std。

2 平滑伪Wigner-Ville分布

在故障信号的分析过程中，对信号进行时频分析是一个很重要的环节，时频分析能直观的了解到信号在时频域上的分布，Wigner-Ville分布就是一种比较好的时频分析方法，它能有效的分解出信号的时频特征。现有信号为s(t)，则其Wigner-Ville分布如下所示[11-12]：

(9)

从上式可以看出，Wigner-Ville可以看成是信号的瞬时相关函数的傅里叶变换，其还具有信号在时间-频率平面上的能量密度分布的含义，所以其结果能反应信号的时频特性。Wigner-Ville拥有许多优良特性，比如其具有时移不变性、频移不变性、时域有界性和频域有界性等，使其在许多领域得到成功应用，虽然其有很多有用特性，但它也存在交叉干扰项等缺陷，在式(1)的定义中，函数x(t)出现了两次，说明这是一种双线性变换，不满足叠加原理。

为了解决Wigner-Ville存在的交叉项的问题，提出了平滑伪Wigner-Ville分布，定义两个平滑窗函数为h(τ)和g(u)，利用平滑窗函数可以抑制Wigner-Ville带来的交叉项效应，利用这两个平滑窗函数改进Wigner-Ville分布可定义为：

SPWVDx(t,f)=

(10)

3 局部保持投影(LPP)

局部保持投影(LPP)是经典流形学习方法的一种，它是一种线性降维算法[14-15]，是以拉普拉斯特征投影的线性近似为理论基础的，可以有效的保留数据内在的非线性结构和数据子空间的局部特性，因而得到广泛应用。

假设有一个d维的高维矩阵X=[x1,x2,x3,…,xn],其通过一个d维的映射矩阵W后得到一组向量矩阵Y=[y1,y2,y3,…,yn],其中,Y=WTX。

LPP的优化函数为：

(11)

式中：S为相似性矩阵，用k近邻点法定义为：

近邻点k的选取直接关系到Sij的大小，若xi和xj相互都在对方的k近邻域内，则可确定Sij的大小，其中t>0。

对优化函数进行代数变换得：

WTX(D-S)XTW=WTXLXTW

(13)

式中：X=[x1,x2,x3,…,xn]，D是n×n的对角矩阵，对角元素Dii=∑jSij,拉普拉斯矩阵L=D-S，存在约束条件：WTXLXTW=1。则W可通过求解下式所示的广义特征值而得到：

XLXTW=μXDXTW

(14)

则可知，映射函数W是式(14)的前m个特征值μ1,μ2,μ3,…,μm(μm-1<μm)所对应的特征向量w1,w2,w3,…,wm构成，则W=[w1,w2,w3,…,wm]。

4 基于多尺度子带样本熵和LPP的故障特征提取

针对轴承故障信号具有非平稳、非线性和微弱的特点，本文提出了多尺度子带样本熵、平滑伪Wigner-Ville分布和LPP为一体的故障诊断方法，因为多尺度子带样本熵可以很好的挖掘出微弱故障信号的本质特征，平滑伪Wigner-Ville分布可使信号的能量密度均匀分布，局部保持投影(LPP)可以准确的挖掘非线性数据的主流形，所以该方法能准确的对轴承故障进行诊断与识别。该方法的具体步骤如下：

(1) 分别选取四种故障在相同故障尺寸不同负载下的四组故障信号并构成信号矩阵；

(2) 选取合适的小波基函数和分解层数，求出故障信号的多尺度子带样本熵；

(3) 对故障信号的多尺度子带样本熵进行希尔伯特变换，求出其解析信号；

(4) 选择合适的窗函数及其长度，求出解析信号的平滑伪Wigner-Ville分布，挖掘故障信号的时频分布特征；

(5) 对经过平滑伪平滑伪Wigner-Ville分布之后的信号进行LPP降维，挖掘故障信号的主流形结构，并得到故障信号的特征值和特征向量；

(6) 根据故障信号的特征值和特征向量，对轴承故障进行识别。

该故障诊断方法的流程图如图1所示。

图1 故障诊断方法流程图Fig.1 Fault diagnosis flowchart

5 实验验证分析

5.1 数据来源

本文针对滚动轴承各种常见的故障的数据用该方法进行故障诊断，并用其他方法加以对比，从而验证该方法的有效性。数据来自于美国Case Western Reserve University轴承数据中心提供的公开数据，轴承型号6205-2RS JEM SKF深沟球轴承，分别选取正常、内圈故障、外圈故障和滚动体故障四种类型的数据，每一种故障分别选取四组负载和转速不一样的数据，轴承故障尺寸为0.021″，电机负载分别为0 HP 、1 HP、2 HP和3 HP，转速分别为1 797 r/min、1 772 r/min、1 750 r/min和1 730 r/min, 信号的采样频率为12 000 Hz。

5.2 故障特征提取

轴承故障具有三种形式，分别为内圈故障、外圈故障和滚珠故障，每一种故障都具有不同形式的故障尺寸和故障频率等，以滚珠故障为例，滚珠故障信号的时频域图(见图2)。

图2 滚珠故障信号的时域频谱图Fig.2 Time domain diagram and spectrum of ball fault signal

求取每一个故障信号的多尺度子带样本熵，初步提取故障信号的故障特征。在本文中，小波基函数为db3小波基函数，分解层数为3层，可求得8个尺度信号；再取每个子带信号的最佳子带因子，在本文中，将每一个尺度信号分成4个子带信号，再求取每一个子带的样本熵，将求得的多尺度子带样本熵进行矩阵构造，将其作为特征矩阵向量。表1为不同故障信号的多尺度子带样本熵，从表1可以看出，四种状态的多尺度子带样本熵各有不同，正常情况下的多尺度子带样本熵的平均值最大，外圈故障和内圈故障次之，滚珠故障的多尺度子带样本熵平均值最小，在每个故障的多尺度子带样本熵集合中，其大小都不一样，表明在数据内部各子带的结构、复杂度和所包含的信息等不一样，这些异同都可以由多尺度子带样本熵表现出来。

表1 四种故障的多尺度子带样本熵

图3为四种故障的多尺度子带样本熵的走势图，从图中可以更直观的看出同种故障信号在不同尺度不同频段的多尺度子带样本熵不一样，同一状态下的多尺度子带样本熵变化平稳，且随着多尺度子带序列的推移慢慢减小，且各种状态的多尺度子带样本熵不相同，可以表明同种故障信号内部的复杂性。因此可以看出多尺度子带样本熵不仅可以表现出微弱故障信号的本质特征，又可以将信号的变化特征完整的提取出来，所以采用多尺度子带样本熵可以对不同故障进行区分。因为轴承在实际运转过程中，其工作环境复杂，背景噪声较大，所以就导致采集的轴承故障数据复杂，且具有非线性、微弱和不平稳的特性，所以，为了更好的的表征其最准确的特征值和特征向量，挖掘其准确的主流形，我们就可以采用多尺度子带样本熵。

图3 四种不同故障的多尺度子带样本熵Fig.3 The multi-scale sample entropy of four different fault

图4 故障信号经过LPP分解的识别效果图Fig.4 Identification effect of fault signal after LPP decomposition

图5 故障信号经过多尺度子带样本熵和平滑伪Wigner-Ville分布的识别效果图Fig.5 Recognition renderings of multi-scale sub-band sample entropy and smoothed pseudo Wigner-Ville distribution

图6 故障信号经平滑伪Wigner-Ville分布和LPP分解的识别效果图Fig.6 Recognition renderings of smoothed pseudo Wigner-Ville distribution and LPP decomposition

图7 故障信号经过多尺度子带样本熵和LPP分解的识别效果图Fig.7 Recognition renderings of multi-scale sub-bandsample entropy and LPP decomposition

对比图4～图7可知，从图4可以看出，内圈故障可以和其他三种故障分开，但是正常、滚珠故障和外圈故障不能完全分开，故障相互融合， 无法进行故障识别；从图5可以看出，正常、内圈故障、滚珠故障和外圈故障都无法分开，相互重叠，无法进行故障识别；从图6中可以看出，正常故障可以识别，但内圈故障、滚珠故障和外圈故障相互重叠，无法进行故障识别；从图7可以看出，四种故障内聚性较好，且故障没有重叠的地方，可以很好的进行故障识别，能达到故障识别的要求，说明基于多尺度子带样本熵和LPP分布的故障诊断方法可以有效的对轴承故障进行故障诊断。图8～图10为故障识别效果的不同平面的识别图。

图8 为XY平面的故障效果识别图Fig.8 Recognition renderings of XY plane

图9 为XZ平面的故障效果识别图Fig.9 Recognition renderings of XZ plane

图10 为YZ平面的故障效果识别图Fig.10 Recognition renderings of YZ plane

从图8～图10中可以更好地看出，正常、内圈故障、滚珠故障与外圈故障在不同的平面上都没有相互重叠的部分，各种故障相互分开，且内聚性好，识别效果好。

6 结 论

本文基于多尺度子带样本熵、平滑伪Wigner-Ville分布和LPP分布的基础上，结合多尺度子带样本熵对微弱信号时频域的挖掘能力、平滑伪Wigner-Ville分布对非平稳信号的能量密度均分的能力和LPP对非线性信号特征提取的优越性，对滚动轴承故障进行诊断。结果表明基于多尺度子带样本熵和LPP分布的轴承故障诊断方法对轴承的故障诊断有很好的效果，该方法能够深入挖掘故障数据的主流行结构，从而可以更好地获得其故障特征。

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A bearing fault diagnosis method based on multi-scale sub-band sample entropy and LPP

WANG Guangbin， DU Moujun， HAN Qingkai， LI Xuejun

(Hunan Provincial Key Laboratory of Health Maintenance for Mechanical Equipment, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

One of the primary causes of machinery malfunction is bearing damage. Its vibration signal is weak, non-stationary, and nonlinear. This work proposed a multi-scale sub-band sample entropy concept aiming at the problem of eigenvalues and eigenvectors that cannot be accurately extracted from the weak signals. Firstly, the multi-scale signal was obtained by wavelet packet decomposition. Then, sub-band decomposing of the scales was realized. Finally, the sample entropy of each sub-band was solved. This method can dig deep into the essential characteristics of the weak signal. It presents that adopting smooth pseudo Wigner-Ville to solve the problem of uneven distribution of energy density of non-stationary signal. It can be used to deal with the time and frequency aggregation of the instantaneous symmetric correlation function of non-stationary signals, and make the signal energy distributed evenly. It proposed that using LPP (Locality Preserving Projection) decomposition to settle the issue of getting accurate image of the mainstream of the nonlinear data. LPP in the process of projection keeps the relationship between the optimal data of the local neighborhood. The main manifold can be accurately excavated from nonlinear data. Signals from a group of normal, inner ring fault, balls fault and outer ring fault bearings were used to verify the method. Experimental results prove that the method can effectively separate and identify bearing failure.

bearing damage; feature extraction; multi-scale sub-band sample entropy; smoothed pseudo Wigner-Ville distribution; LPP decomposition

国家自然科学基金项目(51575178;11572125)

2015-11-25 修改稿收到日期：2016-01-28

王广斌 男，博士，副教授，1974年12月生

杜谋军 男，硕士生，1992年12月生

E-mail：admjt163@163.com

TP277

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.20.012