奇思妙想解方程（组）与不等式（组）

万志建　严　正

奇思妙想解方程（组）与不等式（组）

万志建严正

我们在解方程（组）与不等式（组）时，不但要理解性质，掌握解题的一般方法，还要熟能生巧，领悟和掌握一些特殊的解题技巧，出奇制胜，事半功倍.

一、不解之缘

A.-4B.4C.-2D.2

【解析】若按常理，我们往往是先求出方程组的解得到a=2与b=2，再确定出a+b= 4.但我们仔细观察，不难发现，如果把上述二式相加可得4a+4b=16，a与b的系数正好相同，方程两边同时除以这个系数便可以直接得到a+b=4.

【说明】如果给出一个方程组，要求两个未知数的和或差，我们可先尝试把这两个方程对应相加或相减，观察两个未知数的系数是否相同，如果相同，那么方程两边同时除以这个系数，便可直接求出两个未知数的和或差.

又如（2015·四川南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是_______.同学们自己试一下.

二、整零互化

【解析一】观察该不等式，发现（x-1）出现的频率较多，如果把右边的“1”移项至左边与x组合，便又产生（x-1）这种形式，所以在解本题时，我们可以把（x-1）看作一个整体，先化成如下式子（x-1）＞0，然后合并（x-1）的系数可得＞0，最终可化为x-1＞0，所以x＞1.

【解析二】我们不难发现，含有分母的式子它们的分母都是单项式，所以我们可以把分子与分母直接相除，化为，然后把常数项移至不等式右边，左边合并同类项可得：，两边都含有“1所以直接可化为x＞1.

【说明】在解方程或不等式时，如果出现某些部分形式一致，则可以把这些部分看成一个整体进行求解，这种解法在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用.有时也可以根据题目的特点，如果分母正好是单项式，可以尝试把分子与分母单独直接相除，但这种解法要特别注意变号问题.

三、融会贯通

【解析】如果我们认真研究不等式的解集，不难发现，如果方程ax=b的解为m，那么不等式ax＞b（或ax

【说明】在确定原不等式解集时，应尽量取一些特殊简洁的数值，从而简便运算，“秒杀”不等号方向.如果所取的数值代入原不等式后，原不等式成立，则它所满足的未知数的取值范围是原不等式的解集，反之则不等号方向改变.

这种方法尤其适合不等式应用题，因为有些同学在列不等式解应用题时往往不知道究竟用“＞、≥”还是“＜、≤”.如：矿山爆破时，为了确保安全，点燃引火线后，人要在爆破前转移到300米以外的安全地区.引火线燃烧的速度是0.8厘米每秒，人离开速度是5米每秒，问引火线至少需要多少厘米？此时可以先考虑临界点，什么时候正好相距300米？便可从方程的角度求解，找出临界点，再根据题意确定范围.

四、数形结合

图1

要确保有三个整数解，只能在1的左边顺次取三个整数：0，-1，-2.接下来考虑a的范围，我们首先要考虑边界数字-2，a=-2是否可以，如果a=-2，那么意味着x＞-2，此时只有两个整数解了，说明a≠-2，只能比-2小，然后再考虑把a逐步向左移动，观察a=-3是否可行，比-3小些是否也行，最终通过数轴探究出-3≤a<-2.

【说明】“数形结合”是极其重要的思想方法，我们在解含有字母的不等式时，尽可能借助数轴探寻解集，化抽象为直观，找到解题的突破口.

例5（2015·徐州）若函数y=kx-b的图像如图2所示，则关于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集为（）.

A.x＜2B.x＞2

C.x＜5D.x＞5

图2

【解析】在求解关于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集时，不妨把它转化为求函数y= k（x-3）-b大于零时x的取值范围，不难发现，与题中给我们提供的函数y=kx-b相比，自变量x相差3，其余都一样，借用“自变量加减左右移”的口诀，可以把y=k（x-3）-b的图像看作是由y=kx-b的图像向右平移3个单位得到的，由于y=kx-b与x轴的交点为（2，0），所以函数y=k（x-3）-b与x轴的交点为（5，0）.又因为k＜0，y随x的增大而减小，所以解集是x＜5.

【说明】在解一元一次不等式（组）时，可以结合一次函数的图像及性质，数形结合，巧妙解题，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点，如交点、原点等.

（作者单位：江苏省无锡市张泾中学、江苏省无锡市张泾中学）