五参数Maxwell阻尼器耗能结构在有界噪声激励下随机响应解析解

李创第，高硕，葛新广，邹万杰，李暾

（广西科技大学土木建筑工程学院，广西柳州545006）

五参数Maxwell阻尼器耗能结构在有界噪声激励下随机响应解析解

李创第，高硕，葛新广，邹万杰，李暾

（广西科技大学土木建筑工程学院，广西柳州545006）

对设置五参数Maxwell阻尼器的单自由度耗能结构在有界噪声激励下的随机响应问题进行研究.首先，采用五参数Maxwell阻尼器的积分型模型，建立了耗能结构时域非扩阶微分积分动力方程；然后，利用传递函数法，直接在耗能结构非扩阶空间上获得耗能结构在任意激励下位移、速度和阻尼器受力的时域瞬态响应的解析解；最后，基于此精确解，获得耗能结构在有界噪声激励下位移、速度和阻尼器受力的随机响应方差解析解，并给出了算例，从而建立了此种耗能结构在有界噪声激励下随机响应解析分析的一整套方法.

五参数Maxwell阻尼器；传递函数法；阻尼器受力响应；有界噪声；解析解

0　引言

粘弹性阻尼器耗能性能优良，已广泛应用于各种结构的被动减振控制［1-4］.Maxwell阻尼器本构方程简单，模型计算参数便于从试验数据中拟合［5-6］，且一般流体阻尼器比较符合两参数Maxwell模型，粘弹性阻尼器也可用两参数Maxwell模型近似表示或用五参数Maxwell模型较好表示，故两参数Maxwell模型［1-3，7-11］和五参数Maxwell模型［1-3，12］的应用研究受到日益重视.

目前分析五参数Maxwell阻尼器耗能结构动力响应的精确法只有扩阶复模态法［7-10，12］，文献［7，9］用扩阶复模态法分析了Maxwell阻尼器耗能结构在Knain-Tajimi谱随机地震激励下的位移平稳方差响应，由于尚未获得平稳响应解析解，故研究侧重于大量数值计算结构的归纳与总结；扩阶复模态法因扩阶方程组物理意义不明确，变量个数剧增，计算效率低，且尚未涉及对耗能结构安全有重大影响的阻尼器受力的响应分析，使该方法的实际应用受到限制.

有界噪声随机激励模型［13-15］，不仅可以模拟宽带和白噪声随机激励，而且可以模拟窄带随机激励；不仅可以模拟地震激励［16-17］、脉动风激励［18-21］，而且还可以模拟轨道和路面随机起伏激励［22］，因而在国内外得到较广泛的应用［23-25］.

本文采用非扩阶微分积分方程精确建模，运用传递函数法，获得五参数Maxwell阻尼耗能单自由度结构在任意激励下非扩阶时域瞬态响应解析解和基于有界噪声激励随机响应的解析解，具有工程应用价值.

1　运动方程

设置五参数Maxwell阻尼器的单自由度耗能结构，在任意激励F（t）作用下，结构计算模型见图1，其运动方程为：

式（1）中：m，c，k分别为结构的质量、阻尼和刚度；x为结构位移；p（t）为五参数Maxwell阻尼器的作用力；特别地，对于地震激励，F（t）=-mx¨g（t），其中，x¨g（t）为地震地面加速度.

根据五参数Maxwell阻尼器的本构关系［12］，阻尼器的作用力p（t）可表示为：

图1　结构计算模型Fig.1 Structure calculation model

2　耗能结构响应的传递函数法分析

2.1耗能结构特征值

设结构的初始位移x（t=0）和速度x.（t=0）均为零，对式（4）进行拉氏变换得：

由于特征值方程式（11）是关于s的一元四次代数方程，故可求得耗能结构4个特征值sj的解析解［27］，其中一对共轭复特征值和2个负实特征值.

2.2传递函数解析式

因特征值sj为传递函数H（s）的极点，故可将H（s）展开为：

2.3耗能结构位移和速度时域瞬态响应解析解

由式（6）、式（8）、式（12）和式（15），得：

对上述两式取拉式逆变换，得耗能结构位移和速度时域瞬态响应解析解：

式中：ηj根据式（13）求出.

2.4阻尼器的受力响应解析解

由式（6）、式（8）、式（10）和式（17），得：

对上式取拉氏逆变换，得：

由式（2）、式（3）和式（9）知，阻尼器的受力响应为：

将式（20）、式（23）代入上式，并根据式（8），得阻尼器受力的时域瞬态响应解析解：

3　耗能结构平稳随机响应解析解

3.1有界噪声激励的相关函数和谱密度

有界噪声激励F（t）的相关函数CF（τ）和谱密度SF（ω）分别为［16-21］：

式中：E［·］表示取数学期望；τ和ω分别为F（t）的时差和频率变量；D，α，β分别为F（t）的方差、相关因子和卓越频率因子.

特别地，对于地震动激励x¨g（t），可取为［16-17，28］：

3.2耗能结构平稳随机响应解析解

由式（20）、式（21）和式（25），得耗能结构响应的平稳解为：

则耗能结构的位移、速度和阻尼器受力响应协方差为：

式中：上标“*”表示取复共轭.

将式（40）代入式（37），得：

将式（41）代入式（34）~式（36），并令τ=0，得有界噪声激励下耗能结构位移、速度和阻尼器受力随机响应方差解析解：

特别地，对于地震激励，F（t）=-mx¨g（t）；在表达式（41）中，令D=m2Dg和q=-αg+iβg，则式（42）～式（44）即可表示为耗能结构的随机地震响应方差解析解.

4　算例

对于如图2所示的软土场地条件下的单自由度结构，其质量为m，刚度为k，阻尼为c，安装五参数Maxwell阻尼器对结构进行耗能减震.结构计算参数分别取为：结构质量m=1 kg，结构刚度k=200N／m，阻尼比ζ=0.05；五参数Maxwell阻尼器计算参数分别取为：平衡模量k0=50N／m，松弛时间倒数μ1=10 s-1，μ2=20 s-1，两分支标准Maxwell阻尼器的阻尼系数分别按4种工况（I~IV）取：c1=6，12，24，36 N·s／m，c2=3，6，12，18 N·s／m.有界噪声地震动激励x¨g（t）相关参数取值为：地震烈度I=8，ζg=0.96，ωg=10.9 rad／s.计算所得结构特征值sj和计算参数ηj见表1；结构位移、速度和阻尼器受力响应方差见表2.

图2　结构计算模型Fig.2 Structure calculation model

表1　结构特征值和计算参数Tab.1 Structural characteristic values and calculation parameters

表1给出了结构特征值sj和计算参数ηj在4种工况下的计算结果，表2给出了耗能结构在各工况下的结构响应方差，表明本文计算方法的可实施性；由表2所示结果可知，与无阻尼器的普通结构响应对比，五参数Maxwell阻尼器耗能结构减震性能优良，且耗能结构在阻尼器松弛时间不变的情况下，同时增加两分支标准Maxwell阻尼器的阻尼系数，结构的位移和速度均方响应均减小，而阻尼器的受力均方响应增大，表明增加同类型的阻尼器，可进一步增加结构耗能减震性能，减小结构地震响应，此计算结果与实际情况相符；此外，利用频域法和数值积分法，所得数值解与本文传递函数法所获结构响应方差完全一致（如图3～图5所示），从而验证了本文方法的正确性.

表2　结构响应方差及对比Tab.2 Response variance of structures and comparison

图3　结构位移响应方差Fig.3 Response variance of displacement

图4　结构速度响应方差Fig.4 Response variance of velocity

图5　阻尼器受力响应方差Fig.5 Response variance of damper's force

5　结论

对五参数Maxwell阻尼耗能单自由度结构在有界噪声激励下的平稳随机响应进行了研究，获得了摘要所述结果.本文所用传递函数法，无需对结构动力方程扩阶即可获得结构在任意激励下的响应解析解，物理意义明确；且由于有界噪声激励模型可以模拟多种工程随机激励，从而使本文所获该激励下的结构响应方差解析解具有较好的工程应用意义.

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（学科编辑：黎娅）

Analytic solution of random response of energy dissipation structures with five-parameter Maxwell dampers under bounded noise excitation

LI Chuang-di,GAO Shuo,GE Xin-guang,ZOU Wan-jie,LI Tun
(School of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006,China)

The random response of a single degree of freedom energy dissipation structure with five-parameters Maxwell dampers under bounded noise excitation is studied.Firstly,the integral model of five-parameter Maxwell damper is adopted,the structural non-extended order differential-integral dynamic response equation is established.Then,the non-extended analytic solution of transient displacement，velocity and damper’s force response in time domain for energy dissipation structure are obtained by using transfer function method;Lastly,by using the above exact solutions,analytical solution of the response variance of the displacement,velocity and damper’s force of energy dissipation structure under the bounded noise excitation are obtained.Therefore,a complete set of analytic methods for the stochastic response of the energy dissipation structure under bounded noise excitation is established and a numerical example is given.

five-parameter Maxwell damper;transfer function method;force response of damper;bounded noise; analytic solution

TU311.3

A

2095-7335（2016）03-0001-07

10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2016.03.001

2016-03-17

国家自然科学基金项目（51468005，51368008）；广西自然科学基金项目（2014GXNSFAA118315）；广西科技大学创新团队支持计划项目（2015）资助.

李创第，博士，教授，研究方向：被动控制结构抗风抗震，E-mail：lichuangdi1964＠163.com.