图形运动数学解题的一条“捷径”

丁帮琴

几何问题在中考中占有着重要的地位，很多同学都会被几何图形所迷惑，看不清题目的真实面貌，不能够做到快速解题.其实几何图形问题的解决方法多种多样，只是学生的思维模式还没有放开，仅局限在课本上仅有的知识点内.为了改变这种现状，需要老师多做努力，培养学生识图用图的基本能力.

一、巧妙平移，组建易解图形

图形运动就是将题目中所给的图形做出一些变动，让图形的形状向着对解题最有利的方向变化.平移就是其中的一种方式，它可以平移图形中的一条线段，也可以是图形的一部分，甚至是整个图形，不管怎样移动，都要注意一个原则，那就是对自己解题有很大的帮助.

平移是图形运动中最容易看出来的有利移动，老师在教学课堂上一定要教会学生平移，使他们明白平移的目的，避免学生胡乱移动，对解题根本没有一点益处.在学习三角形时，很多的线段距离证明就需要运用线段的平移.例如：在△ABC中，BD=CE，求证：AB+AC大于AD+AE.这就是典型的平移条件问题，画出图形如图1所示.

这样的题目是证明线段的长短，如果只是看着原来题目中所给的图形，我们根本看不出所给线段的长度关系.这时候就需要另辟蹊径，换一种眼光来看待问题.如图所示，我们将△AEC平移到△FBD的位置，这样，通过平移就组建了两个全等三角形AEC和FBD.通过这样的变换之后，再次观察图形，就会变得更加清晰明了.图中，设AB交FD于点P（图中未标出）.可以得出，PA+PD大于AD，PF+PB大于BF，两个式子加在一起得到，PA+PB+PD+PF大于AD+BF，又因为BF=AE和AC=FD，所以得出AB+AC大于AD+AE的结论，使问题得到解决.这样的题目在中考中经常出现，需要学生对图形进行改变，才能够容易地解题.如果只是原封不动的话，很难找到解题的策略，这就是图形运动的重要性.

平移在初中几何中的应用还有很多，这只是其中的一个类型，属于证明类，需要学生睁开发现的眼睛，就能看到应该移动的线段或者图形.

二、看清对称，构造规律图形

对称图形分为轴对称图形和中心对称图形，是初中教学的重点与难点.但是在图形运动中，基本都以轴对称为操作手段，通过作关于某一条直线的对称图形，让数学图形变得更加有规律.

根据图形形状作轴对称，有时候需要将整个图形进行对称变换，有时候则需要将图形中的一部分进行对称变换，这都是根据不同的题目要求来选择的.老师要教会学生如何根据已给条件，灵活地将图形“运动”起来，避免学生只是学会死板变换，不管题意如何变化，都是将整个图形进行轴对称变换.轴对称最大的好处就是对称前后的两个图形全等的，学生要分清对称前后不变的元素.例如：如图2所示，在△ABC中，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F.求证：DF=EF.

这道题有很多解法，通过轴对称变换就是其中之一，而且这种方法也比较简单.如图3所示，将△CEF沿直线BC翻折到△CGF的位置，得到FG=FE，所以通过这样的图形运动将题目转变，欲证DF=EF，只需要证明DF=FG即可，至此自然而然就会想到连接DG.翻折方法只是提供思路，具体解题需要自己添加辅助线.解法如下：过D作DG平行于BC，过C作CG平行于AB交DG于G，连接FG.通过这种辅助线的作法，可以得到△CEF与△CGF是全等三角形.从而得到∠1=∠2，GF=EF.又因为DG∥BC，则∠1=∠4，∠2=∠3.所以得出∠3=∠4，故DF=GF，从而DF=EF成立.

对称变换也能够构造规律图形，从而使问题简单化，便于学生思考.

三、灵活旋转，把握全等图形

在遇到关于等腰三角形、正三角形以及正方形等问题时，我们经常要用到旋转变换.因为所涉及到的图形都是对称图形，旋转起来有很多是全等的，对于图形解析十分重要，能够激活学生的解题思维.

下面以一道例题为例，讲解旋转变换在几何题型中的应用.如图4所示，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90°，M、N为斜边BC上两点且∠MAN=45°，求证：BM2+CN2=MN2.

根据所给题目，要证明BM2+CN2=MN2.这种平方和的形式，很容易让人联想到勾股定理的应用，但是观察所给图形发现它们并不在一个三角形内.所以，这时候就需要学生想方设法将图形进行变换，使得需要的三条线段在变化过程中出现在一个三角形内.这样这道题就很容易的解决了.考虑到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，所以将△ABM绕A点逆时针旋转90°，使得AB与AC重合就会得到新的△ACD，则△NCD是直角三角形.通过这样的变换后，再次观察图形就会发现，只要证明出MN=ND即可.旋转三角形之后，将一个复杂的证明问题转化为了线段相等的问题，使解题变得层次分明，容易上手.接下来就是利用所学过的几何知识，将线段之间的关系整理清楚即可，证明过程十分简单，在此就不再赘述.

旋转变换的应用有一个很大的困难，就是许多同学在变换之后反而将题目变得复杂了，不如变化之前简单.这是没有把握好图形变换的目的才导致的，此处需要老师的耐心指导，使同学们走出图形运动的误区.

四、随机变换，速解几何图形

几何问题也是复杂多变的，它存在着很多的考查方式，所以老师的思维也要能够随机应变，帮助学生解决几何难题，让他们在图形运动中快速找出合理的解题方案，让数学学习变得更加轻松愉快.

首先要明确，中考中的几何题并不全是那种比较规则的图形，如等腰直角三角形、正三角形等，也存在很多的不规则的组合图形.这时候我们使用图形的平移、对称和旋转都要引起注意，使用的时候需要慎重.例如在几何单元学习结束之后，老师就要开展一个学习专题，专门解决这些不是规则的图形的图形变换问题.面对同一道题目，可能既采用平移的方法，也采用对称的方法，真正的解题套路是两者的综合，这些解题方式都需要老师在复习时点拨出来，避免学生在将来遇到类似问题时，不知从何下手，导致解题失败.这是一种数学思维的训练，使学生跳出平移、旋转、对称这三个藩篱的禁锢，使他们学会灵活变通，综合使用，将几何问题的本质看清看透.只有拥有这样的图形运动的觉悟，才能够更好地面对中考中出现的各类问题，在考试中取得佳绩.

随机变换这一点最为重要，学会了前面三种分析图形问题的手段并不能够解决所有的几何难题.为了更加快速地解题，需要将这些手段综合起来，这才是图形运动在解答几何题中的真谛.

总之，图形运动是一种数学解题的思想，其目的是为了学生能够找到更好的学习方法，老师在平时教学中要时刻注意这些思维方法的训练.使学生既能够单独使用平移、对称、旋转这些图形变换手段，也能够综合利用，其目的都是达到数学解题的高效性，让数学的学习更加轻松.