摸球到底“摸”出了什么

蔡福山

一直以来，“统计与概率”的教学争议不断，笔者认为，最为根本的原因在于教师本体性知识的缺失，而导致对所教内容的知识本质把握不当，因而导致争议的发生。

某教师在教学北师大版五上“谁先走”时，设计了一个数学活动：学生从“3黄3白”的箱子里任意摸一个球（球除颜色外，其他完全相同），摸完放回摇匀后再摸，让学生猜摸出的球可能是什么颜色的。学生回答：“可能摸到白球，也可能摸到黄球。”为了证明结论，教师请学生动手摸球，结果一连六位学生摸出白球。教师实在没信心摸下去了，只好无奈地说：“连续摸了6个白球，这太不正常了！这组数据不准确，不算，我们重新来过！”教学再次返回摸球环节，只见热闹，不见实效。

“统计与概率”之所以难学难教，是因为该领域的一些问题无法用生活经验或已有的知识经验来解释。如果我们缺少相关的知识储备，缺乏对相关知识的深刻理解，便不能从源头上解决问题。回归学科本真，追问教学本质，用理性视角去追寻“统计与概率”基本教学逻辑，是胜任当今“统计与概率”教学的应有姿态。

追问一：摸球到底摸出了什么？

上述案例中，教师设计摸球活动的主旨何在？难道仅仅只是为了验证“既能摸出白球，又能摸出黄球吗”？通过摸球活动要传递什么样的信息给学生？

现行“统计与概率”与传统大纲中的“统计初步”在立意上有着根本变化。史宁中教授指出：“统计教育价值的核心在于逐步养成尊重事实、通过数据来分析问题的习惯，培养理解和把握随机现象的能力。”史教授从数学的角度指出“统计与概率”的学习意义。概率学家陈希孺也曾说过：“习惯于从统计规律看问题的人，在思想上不拘执一端，他既认识到事物从总的方面看有一定的规律，也承认例外。”陈先生从哲学的角度指出“统计与概率”的学习意义。

可以看出，“统计与概率”教学的主要价值在于培养学生从不确定的角度来观察世界，不能只是将它当成一个僵硬的知识点来传授，也不能只是当成一种技能来习得，它更多的是一种观念的浸润与思想的熏陶，感受随机思想，体验不确定思维，进而认识数学世界的美妙与神奇。

许多教师习惯用确定性思维去思考问题，善于驾驭以确定性为特征的数学内容，而忽视对以模糊性为特征的数学思想方法的关注，反映在对“统计与概率”的理解上，就是忽视数据分析观念的培养。随着大数据时代的到来，人们的思维方式产生了巨大的变化，数据与人的关系变得密不可分，数据分析观念已经成为每个公民不可或缺的基本素养。

怎么理解数据分析观念？数据分析观念可以分解成三个词来理解，从后往前看，一是观念。观念与意识经常不分家，数据观念也就是数据意识。强调要有数据意识，要用数据说话，知道数据是富含信息的，数据是有用的，数据可以为人服务的。二是分析。数据可以用来做什么？分析，如何分析？分析时要认识到什么？《课程标准》指出：“通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律”。分析数据时要引导学生体会随机性，从而对数据产生一个正确的认识，不能唯眼前的数据是从，还要学会透过数据看规律，让数据“会说话”。三是数据。要用数据说话，要分析数据，数据怎么来？不能凭空捏造。数据需要收集，需要整理，需要用一定的方式表示。因而要让学生在经历数据的收集、整理、表示的过程中去学习。

上述案例中，由于受确定性思维的影响，师生在活动中经常会出现一种强烈的心理期待。比如，从“3白3黄”袋子里摸球，连续5次摸到白球后，绝大部分学生认为接下去一定摸到黄球。其实，学生“摸”的不应仅仅是球，伴随摸球的应该是一种思维的感悟，即不确定的思维方式和辩证思维的感悟，应该是一种观念的体验，亦即数据分析观念和随机观念的体验。这才是“摸球活动”的核心。

追问二：摸球之中隐含着什么？

上述案例中，“摸球问题”是一个古典概率模型，古典概率模型具有下面特征：实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，就如有6个球，每次摸球必然要摸到这6个球中的一个，结果是有限个的；每个基本事件出现的可能性相等，上述案例中，球除颜色外，其他特征完全相同，摸完放回摇匀后再摸，这样，保证是在袋子里随机摸球，摸到每个球的可能性相等，都是1/6。古典概率是这样定义的：如果用N表示所有可能结果的个数，用M表示事件A发生的可能结果的个数，那么定义事件A发生的概率为P（A）=M/N。

连续6次摸到白球，这是一个小概率事件，可能性为6个1/2相乘的积，即等于1/64（约等于0？郾016）。小概率事件也是完全可能发生的。教师应引导学生克服在概率上的认知错觉。学生容易产生误解，即认为样本的抽样，必须能反应总体的分配情形，如此才符合随机化的过程。很多学生包括一些教师，都认为：“白白黄白黄黄”的顺序比“白白白白白黄”更易出现，因为这样才能显示白球与黄球摸出的次数各占一半。

既然摸出黄球的概率为1/2，为什么连摸了6次却都只是白球？这正体现了摸球这种随机事件的随机性。理论上讲，摸出黄球或白球的概率都是1/2，而实际动手摸，并非表现为“每次必需如此”，理论概率与实验概率永远存在差异。理论概率指理想化的概率，可通过计算得出的理论值，如古典概率。实验概率指即时性的频率值，即所求事件发生的次数与实验总次数的比，用频率值来估计概率。如抛硬币，正面朝上的理论值是1/2，实际抛100次，很难刚好50次正面朝上，假如是43次，那么它实际发生的概率就是0？郾43。只有在大数定律的支持下，实验概率才趋向理论概率。

什么是大数定律？简单地说，大数定律就是：实验次数足够多时，事件发生的频率（出现的次数/总次数）接近于该事件发生的概率。通俗的表达是：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。“足够的数据”中的“足够”，应该到什么程度？要多到足以让规律显现出来。如掷色子，质地均匀的色子，每个点数朝上的可能性都相等，都是1/6，这是理论上的概率。实际动手抛会怎么样呢？要抛多少次才能看到这个规律呢？对此，笔者也曾做过相关试验：抛到500次、1000次时还看不出规律，要抛到1300次以后，规律才呈现出来，抛到1700次以后，点数“1”朝上的频率值才会稳定在1/6上下，500次在大数定律中还是个小数。上述案例中，摸球活动只做了6次，仅凭6次就要“发现”其中的规律显然远远不够。所以，在课堂上教师需经常组织学生经历“小组试验—全班汇总—分析数据—得出结论”的过程，目的在于让全班的汇总数据尽量大，以期达到“足够”的程度。有时候还可以在学生完成一定次数的实验后，借助计算机模拟继续实验，在较短的时间内收集到足够的数据。

追问三：摸球活动要做到什么？

类似这种与我们的心理期望不一致的小概率事件，有时会出现在我们的课堂上，此时应怎么引导呢？

首先，要正确认识学生的“前理解”。研究表明，处在具体思维阶段的学生，已能理解事件的必然性和可能性，但他们缺乏系统的思维，没有足够能力从概率实验中抽象出概率的数学模式。同时，统计与概率研究的对象、方法、结果在某种程度上都具有一定的不确定性，学生一时适应不了，有时还会产生迷惑不解和理解上的偏差。再者，在正式学习“统计与概率”前，学生也不是一张白纸，他们在生活中也遇到过随机事件，积累了一些关于概率的体验和想法。大量教学实践也表明，学生在学习概率的各个阶段都会存在一定的认知偏差，这种认知偏差经常以一种直觉的方式悄无声息地影响着学生的概率认知。小概率事件，更是学生认识与理解的难点，即使经过系统的学习，这种影响仍然存在。

其次，要抓住难得的机遇。小概率事件是一个宝贵的契机，是一个很好的体验数据分析观念的机会，也是一个帮助学生克服主观概率带来偏差的机会，克服关于概率的错误直觉的机会。教师可以采用追问的策略：“一直摸下去，会是怎样的情况？”“假如再做一次实验，还一定会是这样吗？”也可以采用实践的策略，当场摸球，或课后继续摸球。教师应让学生明白，只要盒子里有黄球，不停地摸下去，是一定能摸到黄球的，任何一次摸球，要么摸到白球，要么摸到黄球，感悟事件发生的必然性，感悟实验的偶然性（也许实验2次，摸到黄球的可能性正好是1/2，也可能是0或1）。还有，前一次摸球的结果并不会对后一次产生影响，摸球的结果和人的心理期望没有任何关系，因此不管前几次摸球的结果如何，不会影响下一次摸球的结果，在下一次摸球前，依旧无法准确判断摸出的结果，感悟每一次实验的独立性等。因此，摸球活动中要做到由操作到思考、由量变到质变的感悟。

教师有了足够的知识储备，才能游刃有余地在儿童的经验世界和学科的理性世界之间自由穿梭，“统计与概率”才能真正成为“儿童的数学”。当然，除了回归教学技术层面，重视研究怎么教的问题，还要加大对教育价值的追问，进行立体透视、整体思考。因为任何技术层面的问题最终都应回归思想层面才能真正得以解决，你的教育思想，你对数学的认识和理解，你对数学教学的认识和理解等，才能真正决定你今后专业发展的高度、宽度和广度！

（责任编辑：王彬）