从古代烽火台传递军情的原理谈数学归纳法

仝琴

【摘 要】古代烽火台传递军情的原理蕴含着数学归纳法，教学中我们可以借鉴原理讲授数学归纳法及其证题步骤，增强教学的形象性和生动性。

【关键词】数学归纳法；证题步骤；注意问题

古代人没有无线电通讯设备，他们是用什么方法传达军情信息的呢？春秋战国人发明的烽火台在当时就是最好的办法。我国古代的长城，就是从春秋战国时期开始修筑，至明代终止，共修长城十万多里，是我国古代巨型而多功能的军事防御体系。其中屹立在长城上的一座烽火台，是传递军情的报警设施，其传递军情的方法还蕴含着数学归纳法原理。

一、古代烽火台传递军情的原理

烽火台上的守军要用烽火来传递军情，必须执行两道点火报警的命令：1.发现敌情，立即点火；2.看到相邻的烽火台点火后，依次立即点火。

若把发现敌情的烽火台编为第一号，在其后面的（按同一方向）依次编为2，3，4……则上面两道命令就是：

1.第1号首先点火

2.若第k号点了火，一定引起第k+1号点火

第1号烽火台在发现敌情后火速点火，为了传递敌情分别顺次引燃第2号、第3号、第4号……烽火台，这里必须注意两点：一是必须依次；而是要一个接一个。只有这样才能顺利将敌情传遍长城，使万里“边疆”都知道敌情。

这两道命令又是必要的，第一道命令是传递的基础，第二道命令是传递的依据，若缺其一，都无法完成传递任务。例如《三国演义》中，关云长镇守荆州时，为了防备东吴进犯，在长江边设置了烽火台。但东吴大将吕蒙，先麻痹对方，然后乘人不备夜袭烽火台，将守台军士捉起来，无法点火报警，以致失去传递军情的基础，东吴大军偷袭了荆州。

二、数学归纳法及其证题步骤

数学归纳法，是根据自然数列是有始、有序、无限的性质，把“个别情况”有无穷多个又能与自然数集一一对应的“一般结论”的命题，通过证明“开始的情况正确”及“前一情况正确必然导出后一个正确”这两步，达到验证所有“个别情况”都正确，从而证明了“一般结论”正确。这一推理方法属完全归纳法，是一种科学的证明方法。

使用数学归纳法的先决条件，是能把研究对象排成一序列，也就是命题要与自然数有关。正如万里长城的烽火台也是有序的，能按这个序编号为1，2，3……否则就无法利用自然数列的有序性来传递。

因此，用数学归纳法证明一个自然数n有关的命题，需完成以下两步：

1.证明当n取第一个值n时命题正确

2.假定n=k时命题正确，证明当n=k+1时命题也正确

第一步是归纳的基础，要证明原命题里第一个命题正确。相当于“第一号首先点火”，亦如要建高楼大厦首先要建底层。第二步是归纳的递推，要证明从前一个到后一个命题正确的传递性。相当于“若第K号点了火，一定引起传递性”。相当于“若第k号点了火，一定引起第k+1号点火”。这两步是缺一不可的，否则就无法保证命题正确。例如，命题“正偶数都是质数”，能完成第一个步骤的证明；而例题“正奇数的平方必是偶数”，能完成第二個步骤的证明。但他们显然都不正确。

三、教学数学归纳法时要注意的问题

在教学中，应例举实例说明这两步的作用及必要性。但更重要的是使学生真正理解这两步的实际含义，在证明中才落到实处。

第一步实质是验证原命题里第一个例题正确。也就是“当n取第一个值n时命题正确”是需要验证的。原命题若是一个等式或不等式，就是把n=n，分别带入式子的两边计算，验证该式成立。而决不能把n=n。直接带入全式，否则就是虚假、形式的验证。

第二步是证明从n=k到n=k+1命题正确的传递性。也就是把还不是已知的归纳假设“当n=k时命题正确”看作“已知”，归纳结论“当n=k+1时命题也正确”是要证明的。这一步是应用数学归纳法的关键和难点。

首先让学生理解归纳假设和归纳结论的实际含义，真正掌握“已知”什么、要证什么，才能做好分析和证明。归纳结论是原命题里第k+1号命题，证明时一般从“左边”（设为条件），通过推理，得到“右边”（设为判断）。证明中，为便于思考，应把条件和判断分开。但不必把判断写入证明中，可写在草稿上作为证明目标，以便寻找证题思路。

例：求证：13+23+33+…+n3=n2（n+1）2

证明：（1）当n=1时，左边=13=1，右边×12×（1+1）2=1等式成立。

（2）为了说明第二步的方法，现将步骤及内容表述如下：

1.写出归纳假设：假设当n=k时等式成立，即13+23+33+…+k3=k2（k+1）2

2.写出归纳结论的条件和判断（判断写在草稿上）：则当n=k+1时，条件：13+23+34+…+k2+（k+1）2，判断：=13+23+23+…+k3+（k+1）3判断：=（k+1）2[（k+1）+1]2

3.改造条件，以便应用归纳假设：=（13+23+33+…+k3）+（k+1）3

4.利用归纳假设，从条件推出判断

5.写出该步结论：∴当n=k+1时等式成立

由（1）和（2）可知，对于任何自然数n，等式都成立。

因此，用数学归纳法证题时，必须遵循这两个步骤，这两个步骤是缺一不可的。证明过程中还必须注意结论的完整性。第一步证明得到一个结论：“当n=n0时命题正确”；第二步证明，在当n=k时命题正确的假设下，得到一个结论：“当n=k+1时命题也正确”；由这两个结论就得到一个总结论：“从n0开始的所有自然数n，命题都正确”。这就证明了原例题正确。

综上所述，万里长城的烽火台传递军情的方法蕴含着数学归纳法的原理。在教学中若运用这样的实例，能化抽象为具体，既使学生容易理解和掌握数学归纳法，又能引起学生学习数学的兴趣，还渗透了爱国主义教育。

【参考文献】

[1]李勇.让数学课堂成为培养学生创造性思维的主阵地[J].理科爱好者，2015（36）

[2]吴淑芬.如何在数学教学中培养学生的思维能力[J].读与写，2014（8）