源于课本回归本质——对一道高考题的解法探究与拓展延伸

☉浙江省诸暨市湄池中学　蔡旦燕

源于课本回归本质——对一道高考题的解法探究与拓展延伸

☉浙江省诸暨市湄池中学蔡旦燕

2016年高考已经落下帷幕，作为传统高考的最后一年，社会各界对浙江省高考的关注度前所未有.2016年浙江高考数学试题，笔者总体感受是“题型稳、入口宽、坡度缓、立意精准、稳中有新、关注思维、凸显能力”.在知识点考查、试题结构、材料选取、语言表述、命题立意、思想内涵等方面都呈现了这些特点.

一、题目呈现

设数列｛an｝满足

（1）证明：|an|≥2n-1（|a1|-2），n∈N*；

二、试题简评

本试题言简意赅，朴实无华，解法灵活，显现能力.题目两个小问，呈现平和自然，表述精炼清晰，文字量少，阅读量小，有亲切感，易于激发学生解决问题的冲动.作为一道压轴题，以数列为载体，主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.试题设计立意鲜明，角度宽，视点多，深入考查了数学理性思维.深化能力立意是数学命题一直以来的追寻目标，本试题真正地体现了“以能力立意为指导，以考查能力和素质”的命题原则.

三、解法探究

（2）任取n∈N*，由（1）知，对于任意m>n，都有的任意性可得|an|≤2.

点评：此解法是由绝对值三角不等式入手，结合数列方法解决.该法起步低，坡度缓，比较容易想到.本题也可将有理式递推关系变为整式递推关系

（2）任取n∈N*，由（1）知，对于任意m>n，|am|≥2m-n·（|an|-2），即

点评：此法利用待定系数或配凑得出类递推公式|an+1|-2≥2（|an|-2），注意此处不能写为累乘，因为符号未知，不等号方向可能会发生变化，而是要用递推关系不断迭代得出结果.第（2）小题的证明则是利用第（1）小题的结论顺势证明，比较自然.

（2）同证法2.

点评：此法看似与证法2类似，其实本质上有很大区别，递推过程需要不断迭代，尤其要注意在递推关系给出后，要将后面等比数列累加求和.

（2）假设|an|>2，由（1）知，对于任意（|an|-2），对任意正整数n，右侧为确定的正数，记为f（n），取m=，则有m>0，而当p→+∞时也就是一定会存在一个p使得2），与题设矛盾，故|an|>2不成立，即|an|≤2.

点评：此法用绝对值三角不等式的顺序与前几种方法有所不同，但结果一样.在第（2）小题采用了反证法，更符合学生思维习惯.

四、背景探究

本题秉承了浙江省数学高考题的一贯特点：叙述简洁、概念清晰、思维深刻、解法多样等.“入手容易深入难”，由“知识立意”深化至“能力立意”，意蕴深邃，平淡之中显新意.在初看此题时是一个数列的上下界估计的问题.此题的背景是人教A版教材必修1第95页第三章《函数模型及其应用》例1——投资收益模型（图1）.

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天以前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.1元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.

函数图像是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.

图1　

我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多，从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？

根据试题命制双向细目表，第20题要考查的核心知识是数列、函数、不等式，考查题目的能力立意是推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.命题组专家在编制此题时，选择把目光投向教材，巧妙地选取了人教A版教材必修1第95页第三章《函数模型及其应用》例1中的方案三：翻倍回报即指数函数模型，在保持数学思想的基础上进行创新拔高.设前一年的回报为an，后一年的回报为an+1，若an+1是an的两倍，那么2an-an+1=0.但是在现实生活中，常常存在一定的误差，将误差范围控制在2以内，得到，以此作为题干条件.第（1）小题的问题|an|≥2n-1（|a1|-2），其实是最终回报不低于2n-1|a1|-2n，即数列的下界.

第（2）小题中，如果不加条件，最终回报很有可能指数爆炸无限上升，所以加了一个限制条件，就使得最终回报也就是an最大值不超过2，即数列的上界.

这道压轴题兼具函数和数列思想，具有科学性和生活气息，使人回味无穷，是一道不可多得的好题.众所周知，第20题作为整张试卷的压轴题，起到了选拔优秀的、有潜力学生的功能，会有一定难度，但是一旦看破此题的背景与本质，这样的难度也是非常自然的.

五、推广延伸

基于上面的分析，此题可以作以下推广和延伸：

推广1：设数列｛an｝满足

（1）求证：|an|≥2n-1（|a1|-4），n∈N*；

因此|an|≥2n-1（|a1|-4）.

（2）任取n∈N*，由（1）知，对于任意m>n，

由m的任意性得|an|≤2（n+1）.

推广2：设数列｛an｝满足

（2）任取n∈N*，由（1）知，对于任意m>n，

从而对于任意m>n，均有|an|<（n+1）2n+1+4n·

由m的任意性得|an|≤（n+1）2n+1.

六、结束语

2016年浙江高考数学理科第20题解法探究、背景分析及拓展推广，为我们平时的教学提供了有益的启示：一是要立足课本，突出数学思想地位，盲目的题海战术，已适应不了当前的高考.教学要回归教材，但是回归教材不是喊口号，高考题不可能出现与课本题一模一样，甚至形式一样都很少，但是思想一定是一脉相承，此题启发我们在回归课本，研究课本时，不能浮于表面，而要立足教材，活于教材、高于教材.二是要注重渗透，提升数学核心素养.抓好学生的基础知识、基本技能，平时教学中要注重反思、重视思维的渗透，善于揭示数学思想的本质，在培养学生的思维能力，提升我们的学生数学核心素养上做功课.