从概念到变量

☉华中师范大学数学与统计学学院　席　阳　徐章韬

从概念到变量

☉华中师范大学数学与统计学学院席阳徐章韬

一、引言

运用实证方法研究教育问题已经成为教育研究的一种重要取向.实证研究是从量的角度把握教育的现象和规律，运用数理统计的方法在定性研究和定量研究之间架起了一座桥梁，［1］使教育研究逐步走向规范化和科学化；其次，实证研究过程的程序化和结果的量化在一定程度上减少了教育研究人员之间因文字歧义而产生的交流障碍，更有利于研究人员之间的沟通交流；再次，实证研究的结果在一定范围内具有代表性，研究结论具有较好的推广价值；最后，实证研究已经有了一套比较完善的研究范式，可以对已有研究进行二次研究，验证其结果是否科学，使教育科学的研究如同自然科学的研究一样，经得起质疑和批判.

但是由于实证研究的直接对象是数字信息，所以运用实证方法研究教育问题的一个必要前提是要有量化资料，也就是数据资料.而数学教育研究所要做的，就是要确认、理解、解释数学教育的现象、过程，并将其特征化，探索并弄清楚其中的因果关系，挖掘内在的机制.［2］所以数学教育研究不可避免地会涉及许多抽象的概念，因此就需要通过量化，将抽象概念通过一定的操作转化为数字信息，为用实证方法进行定量的数学教育研究奠定基础.

二、明晰概念的两种方法

如果着眼于概念的内涵，依靠深刻的逻辑分析建构从概念—判断—推理—定理的理论体系，就是定性研究，也可称之为思辨研究，如同数学科学的研究一样.如果着眼于概念的外延，即把概念处理成变量，寻找变量之间的关系，并力图用数据得到经验层面的证实，就称为实证研究，如同物理科学的研究一样.如果所得到的数据可以量化，就是定量研究，如调查法、实验法、二次分析法和内容分析法等；如果所得到的数据不可以量化，就是质性研究，如叙事研究、案例研究、田野考察等.各种研究方法既各有所长，也各有所短.定量实证取向的数学教育研究将有助于提升数学教育的研究品位，拓展数学教育的发展空间，是大数据背景下必须优先发展的一种研究范式.

要将概念进行量化，首先要认清概念到底是什么，才能找到量化的途径.从逻辑学上解析，概念是反应事物本质或基本特征，同时也反应该事物范围的思维形式.［3］从中可以解析出三层含义：概念是思维的产物.概念是人们对一切事物由感性认识上升到理性认识时的首要产物，存在于人的脑海之中，并不能被其他人直接感知.为了进行交流，就要借助语词这一外壳将内在的概念外化，因而对同一概念进行外化表达时所用的语词，可能会因文化背景的差异而有所不同，这也许就是词典产生的意义之一：规范概念的用词.“词不达意”说的是个人的言语叙说难以反映个人内心的真实想法.在人文社会科学研究中，有时，同一个语词表达的概念并不一样，不同的学者有不同的理解，不利于深入交流.教育科学研究中引入变量，借鉴了数学符号化的思想，符号表示的变量在很大程度上能消解语词表意的不确定性.

概念反映事物的外延.概念反映了所指事物的“量”，也就是该概念的代表范围（外延）.概念代表的事物范围越广，概括程度越高；代表的事物范围越窄，概括程度越低.要想明确概念所指范围具体包括哪些事物，可以对概念进行划分，也就是将原概念（属概念）按照一定的规则进行分类，得到一系列的种概念.这些种概念在代表范围上虽然不如属概念，但也意味着它们的抽象程度更低，所指事物更为具体，其外延也相对较少，更容易一一列举出来，极端情况就是种概念外延仅指一个对象的情形，这时种概念就相当具体了.

概念反映事物的内涵.概念对事物的代表范围不是随心所欲的，是受“制约”的，这个“制约”就是概念的“质”（内涵）.换句话说，概念所代表的事物是具有某些共同本质的，这些共同本质揭示了此概念所指事物所不同于其他概念所指事物的根本特征.当然，仅仅一个词语并不能使初次接触此概念的人理解该概念的内涵到底是什么，因此就需要对概念的内涵进一步地揭示——下定义.下定义一般来说是用相较于原概念而言，被更多的人已经理解的概念对原概念的内涵进行解释，此时原概念叫作被定义项，用来解释的概念叫作定义项.定义项具有不唯一性.一方面是指定义项的数量：对一个被定义项所有内涵的解释可能会用到不止一个概念，这些作为定义项的概念，其每一个都代表了被定义项的一个或几个内涵，从不同方面刻画被定义项；另一方面是指定义的数量：定义毕竟也是人为下的，受下定义人自身经验的影响，他们对被定义项内涵的理解或多或少有所不同，这就使得对同一被定义项，不同的人会下不同的定义.这些定义有时候无法说明哪一个更好一点，有可能只是看问题的角度有所不同罢了.

概念的内涵对其外延有“制约”作用，反之亦然.某个概念所代表的事物范围越广，也就是所具有的外延越广，其内涵就越贫乏；反过来外延越窄，其内涵就越丰富，该概念所指就越具体.内涵与外延之间的这种关系在逻辑学中称为反变关系.

明确概念是进行科学研究的首要前提.然而，对概念认识是一个不断深入的过程.例如，历史上的函数概念是一个不断发展的过程，不同时代的数学家有不同的理解.概念不明晰，往往会引发“公说公有理，婆说婆有理”的论战.根据前面的概念内涵与外延关系的论述，既可以从揭示内涵的角度去认识概念，也可以从揭示外延的角度去认识概念.从揭示概念内涵的角度给概念下定义，得到的是抽象性定义，由此展开的思辨研究或者是定性研究；从揭示概念外延的角度给概念下定义，得到的是操作性定义，由此展开的是实证研究或者是定量研究.从这两种角度研究，各有利弊，但得到的结论应该能相互参照.

三、概念量化

教育研究中所涉及的概念，应可以用一串可观察、可以测量的指标来模拟.这是走向定量研究的关键所在.只有通过测量才能使概念量化，得到实证研究所需的数字信息.通过上面对概念的解析，可以发现，概念的概括程度越高，越抽象，越不易直接对原概念进行测量；概念的概括范围较小，尤其是其外延只有一项具体对象时，比如身高、体重等，显然是很容易测量的，所得数据的准确度也较高.但教育研究中的概念，大多都具有不同程度的抽象性，这时就需要研究人员按照一定的方法和步骤将这些不可直接测量的抽象概念转化成可测的直观指标.

就像数学中的数量和向量一样，对抽象概念作测量，得到的结果可以是数量，也可以是向量.如性别是概念，也是变量，而男和女则是变量的两种可能取值.如老师的课堂教学能力则显然是一个复杂概念，用一个维度来描述是不充分，宜处理成向量.无论是把概念处理成数量，还是向量，首要的第一步是进行操作化处定义.

1.操作化定义

将概念转化为可测量的直观指标，就是要在现实社会中找到与概念相对应的经验层次的替代物：操作化定义（operational definition）.之后对操作化定义直接测量即可完成概念量化.寻找操作化定义不可盲目，上面对概念的解析其实已经指出操作化定义的道路：概念（属概念）—下定义—划分—种概念，据此，为抽象概念寻找操作化定义的道路可以制定为：概念—查找文献资料下定义—根据定义项提取关键词（或维度）—根据划分规则形成指标（概念的外延）—操作化定义.对操作化定义进行测量即可完成概念量化.

具体来说：第一步要做的就是给出概念的抽象性定义，说明概念的本质是什么.之后，根据定义中的定义项提取能够更为清晰地体现原概念内涵的关键词，作为制定操作化定义的内在依据，避免操作化定义脱离概念本质或者是与概念本身的关联性不大.比如“学生的课业负担”这个概念，下定义为：“老师课后布置的作业对学生产生的负担.”从中找出体现内涵的关键词：①课后作业，②负担，这样一来，将概念转化成相应的操作化定义就有了依据.接下来就是根据关键词的内涵、或维度进行“划分”，找到容易测量的、更为具体的一系列种概念：每天做作业的时间、作业中会写的内容所占比例、做作业时需参考答案的内容所占比例、每种形式的作业（书面作业、口头作业、实践作业）所占比例、教辅资料数量、每天娱乐的时间、每天睡眠的时间、是否喜欢做课后作业、自认为课后作业是否造成负担.种概念就构成了可测量的、概念的操作化定义.很显然，测量概念所对应的操作化定义是很容易测量所得数值的.

教育研究所涉及的概念一般都有定义，我们可以通过查阅资料获取.前面也提到了，概念是思维的产物，不同的人对同一概念所下的定义受自身经验和看问题角度等的影响会有所差别.因此，若查资料后发现对某一个概念的定义有很多个，我们可以分析不同定义中的定义项，从中抽出这些定义项的相同元素，然后根据这些相同元素对该概念重新下一个定义，将新定义作为原概念在本次研究中的定义.或者是直接选取一个与研究意义最为吻合的定义亦可.

同一个概念的操作化定义不是唯一的.一方面，在将概念进行划分时，由于划分标准的不同，最后得到的操作化定义是不同的.另一方面，就制定操作化定义的本质来讲，它是一个由抽象到具体的质变过程，对制定操作化定义的人员的自身经验有较高的要求.最优的操作化定义，其“并集”应与原概念是“全同”关系，为了使操作化定义尽可能地做到最优，就需要分析概念的维度和指标，使对概念的分类尽可能准确无误.

2.测量维度

教育研究中如果碰到的概念抽象程度较高，不能一眼就看出它所对应的操作化定义，就要根据概念的抽象定义来分析它的维度和指标，帮助制定操作化定义.比如“教育手段”这个概念，它是指教育者将教育内容传授给受教育者所借助的各种形式和条件的总和，包括物质手段和精神手段.［4］根据定义项抓关键词：各种形式和条件.从抽象定义分析，查资料，找出所谓的物质手段，主要是指进行教育活动时所需要的一切物质条件，可以分为教育的活动场所和设施、教育媒体及教育辅助手段三大类.［4］该定义将“物质手段”这一概念的内涵分别用三个定义项：活动场所和设施、教育媒体、教育辅助手段进行了说明，此时原概念的抽象程度已经有所降低.这三个定义项对原概念的内涵从三方面进行了说明，原概念被分成了三个维度，我们就以其中一个维度——教育媒体为例，根据划分规则将这一维度进行划分，那么为教育媒体这一属概念进行划分后得到的种概念有：实物、书面印刷物、磁带、录像、电影、电视，这些种概念即为指标.如果需要测量一节课中教育媒体使用的次数，只要根据各个指标使用的次数计数即可.

维度，要与向量这个概念关联起来理解.维度是事物或现象的某种特征，如描述人的特征——性别、身高、体重等都是刻画人的维度.设向量α是一个抽象概念，若α可以看成m维向量，那么向量的每一维度就代表概念的一个方面，每一个维度阐述了原概念的一个内涵.设其中一个维度是β，若β=（b1，b2，…，bn），bi称为向量β的第i个分量，则bi代表维度β的一个指标，所有bi构成的集合，代表对维度β进行划分后得到的一个指标系列.向量是一个既有大小又有方向的量，有方向，表明每一维度只是对原概念的某些内涵进行说明，维度之间是相互独立的，维度之间的比较是没有意义的；有大小，则说明了该维度对该概念的代表程度，也就是该维度所占的权重.

3.测量指标

可以发现，一方面，bi作为维度β的第i个分量，在坐标系中可以对应一个具体的实数，也就是说，指标应该是可测量的项目，经过测量后也有具体的数字与之对应.指标是一种度量，衡量数据，是指可以按总数或比值衡量的具体维度元素.例如，维度“城市”可以关联到指标“人口”，其值为具体城市的居民总数.另一方面，因为（b1，b2，…，bn）=维度β，所以一个维度与其指标之间是包含与被包含的关系，并且指标之间相互独立，指标所构成的集合“=”这个维度，这与划分规则也是相照应的.

在实际的数学教育研究中，由于所研究概念的复杂性，可能会使得对某一维度β进行一次划分后得到某个指标bi仍旧不能直接测量，那么可以对该指标bi对种概念再次划分，直至得到可测量的观测点即可，这种划分是逐级进行的连续划分，这个指标被称是一个多维度的指标，被划分的概念称为多维度变量.维度和指标共同构成了抽象概念的指标体系.根据概念的内涵和外延依次实现抽象概念到操作化定义的转化过程，既有条理又能不重不漏，还可以在下定义和划分的过程中加深对概念的理解，可谓一举多得.

得到了观测点，也就得到了测量数据；然后，按照一定的测量准则，进行实际测量和赋值，得到测量数据的值，也就完成了概念的量化.

最后以“师范生课堂教学能力”这个概念为例，给出一个多维度变量，多维度指标的例子.［5］

师范生课堂教学能力指标体系

语言表达准确科学、清晰简洁、语速适中、富有激励性和感染力、引导启发性强课堂表达能力体态课堂组织能力肢体与面部表情能够配合语言增强感染力、没有多余动作、仪表端庄、体态自然板书布局合理、重点突出、简洁有条理、书写工整、适时适量、图标准确教具恰当有效、直观性强、能引导思考课堂活动能充分体现学生主体性、引起学生兴趣、符合学生认知水平、活动设计有新意、能培养学生的探究及合作学习等能力课堂氛围宽松和谐、民主平等、活跃有序学生注意力管理课堂管理能力适时提问学生、提出阶段性的具体任务、变化语调、善用停顿、与学生有眼神交流不良行为的控制课堂评价能力不点名批评、眼神制止、提问有不良行为的学生、表扬其他学生，提供榜样反馈与强化能力表扬及时适度、方式多变、不用惩罚方法偶发事件应变能力能够随时根据新情境调整教学计划，及时处理解决新问题、不急不躁、沉着冷静学情评价能准确把握学生的学习效果、课堂思维状况自我评价自我评价准确，能够及时调整课堂教学，保持最佳教学效果课堂创新与特色……在教学活动中有有效的创新点、有独特的教学风格

把各个维度的分数相加起来，把向量处成一维变量，就得到了“师范生课堂教学能力”这个变量的值.不把向量处理成一维变量也是可以的，基于随机向量而得到有关结论，需要不同于处理一维变量的数学工具.

4.生成变量

有些概念抽象程度较低且十分常见，不需要刻意分析概念的维度和指标就能完整地找出与之相应的操作化定义，比如性别，操作化定义就是男、女.鉴于性别有男、女两种取值结果，是可变的，因此在研究中我们也称性别为变量.也就是说把概念外延看作是概念内涵下的不同取值时，概念即被当作变量来看待.在一个维度对抽象概念进行测量，就得到了变量；同时在多个维度对抽象概念进行测量，就得到了向量，即多维变量.在定性研究转化为定量研究时，因概念的性质不同，（一维）变量有层次之分.变量层次从低到高依次为定类变量、定序变量、定距变量和定比变量（有无绝对零点是定距变量与定比变量的区别）四层.高层次变量的意义包含低层次变量的意义，低层次变量的意义则不能包含高层次变量的意义，且变量的层次越高，它所包含的信息就越多.高层次的变量可以看作低层次的变量，但低层次的变量不能看作高层次的变量.显然这里变量的含义与数学中一般意义上的变量有所不同.数学中处理的变量通常称之为随机型离散变量和随机型连续型变量.

定类变量只具有类别属性之分，而无大小、程度之别.从数学运算的角度看，定类变量只具有等于或不等于的性质.性别就是只能取男、女两个值的分类变量.

定序变量的层次高于定类变量，它的取值除有类别属性之外，还有等级、次序的差别.其数学运算特性除具有等与不等之外，还具有大于或小于之分.认知水平就是取值可以是了解、理解、掌握、综合运用、批判等的定序变量.

定距变量的层次高于定序变量，它的取值除类别、次序属性之外，取值之间的距离还可以用标准化的距离去度量.其数学运算特性除具有相等性、大小性之外，还可以进行加、减运算.能力就是一个定距变量，能力测试得分为零的人，不等于没有能力.即其零点是相对零点，可以人为指定.

定比变量是最高层次的变量，它除具有上述三种属性之外，还可以构成一个有意义的比率.

教育研究中的数据大多是一些质性数据（定类数据、定序数据），较难量化处理；即使能得到一些定距变量数据，也达不到数学处理所要求的定比变量的要求，但为了研究的方便，常把其看作定比变量.因此要根据数据的类型特点，选择合适的数据处理方法.

四、结束语

教育研究中概念的量化为用数理统计方法研究教育问题提供了可能，为科学化研究教育问题铺平了道路.在概念的量化过程中我们虽然从对概念的逻辑学解析中得到制定操作化定义的提示，并制定了概念量化的方法，但是一个效度高的操作化定义并不是很容易设计出来的，需要设计人员尽力加深对所研究课题理解的深度，更好地掌握的课题的情况，并不断提升自身的研究素质和艺术.［1］

1.卢淑华.社会统计学（第四版）［M］.北京：北京大学出版社，2009.

2.李士錡.数学教育研究方法论［M］.北京：科学出版社，2015.

3.张绵厘.实用逻辑教程（第5版）［M］.北京：中国人民大学出版社，2015.

4.柳海民.现代教育原理［M］.北京：人民教育出版社，2006.

5.朱春肖.师范生课堂教学能力评价量表的研究［D］.石家庄：河北师范大学，2012.