谈数学核心素养之直观想象与培养*

☉湖南省株洲县第五中学　方厚良罗灿

谈数学核心素养之直观想象与培养*

☉湖南省株洲县第五中学方厚良罗灿

一、问题的提出

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》把“研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准”作为推进关键领域和主要环节改革的着力点.学科核心素养是核心素养体系的重要组成部分，是实践核心素养的主阵地.按先行启动普通高中课程修订工作的要求，以王尚志教授为修订组长的普通高中数学课程标准修订组，通过多方研讨、征询、论证，提出了“六大数学核心素养”，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析.从大的方面讲，核心素养是深化基础教育课程改革，落实素质教育目标的关键要素，是素质教育研究的再出发；从学科教育教学层面讲，数学核心素养是保障数学学科育人的关键.但目前，高中数学课程标准修订工作仍在进行，新课标尚未出台，具体到这六个数学核心素养，虽然我们对它构建的背景和意义有一定的了解，但仍有很多问题（疑惑）要问，如“为什么以这六个为核心素养而不是其他（依据）？对每个核心素养如何进行内涵界定和具体阐释？各素养之间的关系如何？怎样在教学实践中操作？”等等.笔者认为，就象之前“四基”中的数学基本思想方法和数学基本活动经验，它们都是发展着、生长着的概念或理论，课标给出的是基本框架和大的方向，数学家、专家们有高层次的理解，一线教师也不必自卑，要在学习中融入个人思考形成自己的看法.实际上，真正和学生打交道的还是教师，教师的理解可能更重要.所以，本文选取“直观想象”这一数学核心素养，从一线教师视角，整理自己对该课题的一些学习和思考，抛砖引玉，希望方家指正和教诲.

二、作为数学核心素养的直观想象

对直观想象，可从分解与整合的角度探讨.首先，直观、想象是不同的思维方法或思维形式，需对它们的性质、功能、特点进行分开探讨；其次，考虑两者间的联系和关系，想象也可建立在直观基础之上，视为直观的延伸，二者结合为一个连续性的整体.“普通高中数学课程标准（实验）”将“直观感知”和“空间想象”是作为学习数学和运用数学解决问题需经历的思维过程、具体体现提出来的；6条具体课程目标中的第2条，将空间想象要求为五大基本能力之一.从这一比较，我们也可将“直观想象”这一数学核心素养视为“几何直观”“空间想象”观念的发展和融合.

1.直观

直观，是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识.希尔伯特在他的《几何基础》第一版的扉页引用了康德的一段话：人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束.对“直观”可以做通俗解读，也可做哲学思辨，本文不从直观的各种定义抽象分析，仅选取一些教育家、数学家对“直观”的看法，从教育，特别是数学教育的角度来绍介，也许对“直观”在认识上能获得更适宜感受、启发和把握.

张楚廷先生在文［1］对直观阐述了自己的理解：直观的东西必定具体，具体的东西不一定能直观，对于教学效果的讲究来说，具体的东西（而难以直观者）就够了，如2，3，4，…这些东西很具体了，但并不直观.直观的方法虽然十分重要，但一方面有时候并不有效，到了一定时候也并无必要了.直观的认识只是认识的一个片段，教学的目的要求我们不能让学生的认识停留在这一片段……但它有利于学生认识的入门，利于学生接受新概念和原理，也利于记忆.

数学家徐利治在“谈谈我的一些数学治学经验”提到“重视直观”：学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和直观思路弄明白了，我才认为真正懂了；在科学研究中，我也常常借助于由经验获得直观能力，以猜测的方式去探索某些可能取得的成果；一般英文辞典中，常把intuition译作直觉、直观，足见直观与直觉两词的涵义会有不少相通或相同之处，但在数学中，我宁愿把“直观”一词解释为借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，例如，借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即可称之为“几何直观”.

苏霍姆林斯基在文［2］的“谈谈直观性问题”中对直观（性）有些重要阐述：直观性是年龄较小的学生的脑力劳动一条普遍规则；直观手段只是在促进思维积极化的一定阶段上才是需要的；应当逐步地由实物的直观手段向绘画的直观手段过渡，然后再向提供事物和现象的符号描述的直观手段过渡；要引导学生由绘画的直观性过渡到词的形象的直观性；直观手段应当使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上去.

2.想象

文［3］指出：在研究图形的性质（即图形的形状、大小和位置关系）时，除直接给出一些基本图形的性质外，总要根据所给具体图形的特点和解决它的需要，把它分解和重新组合，即在头脑中进行操作，出现一些异于当前所给图形的一些新的图形，这就是“想象”.例如在解决几何问题时，常常要从眼前的图形，通过“想象”，构造出新的图形（如添加辅助线），找出新的关系，才能解决.这种想象几何图形的能力，就是空间想象能力.

文［4］认为，数学想象是对数学形象的特征推理，它是数学表象与数学直感在主体头脑中的有机联结和组合；数学想象是似真推理（或合情推理）的基本成分.数学想象有着各种不同的表现形式，按照想象的特点来分，可以分成图形想象和图式想象两类；按照想象的深度来分，则可以分成联想（包括回忆、追想等）和猜想两类，联想是一种再造性想象，而猜想是属于创造性想象，在联想和猜想之间还有一些近义的中间层次，按照逐渐加深的顺序是：联想→推想→设想→构想→猜想.图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造，是对几何图形的形象建构；图式想象是以数学直感为基础的对数学图式（数量关系的解析表现）表象的加工与改造.它们包括图形（图式）构想、图形（图式）表达、图形（图式）识别和图形（图式）推理四个层次.图式是数量关系的引申，而又是对图形的抽象和概括；图形是数量关系的形象表现，而又是图式的直观显示.

3.作为数学核心素养的直观想象

鲍建生教授在“高中数学课程标准修订中若干问题”讲座中谈及“聚焦数学核心素养”，介绍了作为核心素养的直观想象的4方面表现形式：（1）利用图形描述数学问题；（2）利用图形理解数学问题；（3）利用图形探索和解决数学问题；（4）构建数学问题的直观模型.从直观想象的4个表现，我们可以做如下解读：

首先，从数学学科角度，对直观想象提出自己的要求，那就是直观、想象的载体是“图形”，因为其他学科也存在直观和想象的问题，突出学科特点，数、形是数学研究和学习的基本对象，相对而言，形直观，数抽象，正如华罗庚名言：数缺形难达直观，形缺数难以入微.其次，相对以往，对“图形”概念扩大了范围，由几何图形，拓展包括各种函数图像及其变换、向量的几何意义与运算等.再次，也应考虑现代技术手段的介入，特别是一些强大软件的作图功能，将原先难以做到的变为直观，为想象提供更高平台和起点.

三、谈学生直观想象的培养

史宁中教授在文［5］说：“数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理，也就是说，在大多数的情况下，数学的结果是‘看’出来的而不是‘证’出来的，所谓‘看’是一种直觉判断，这种直觉判断建立在长期的有效能的观察和思考的基础上……‘人为什么能够获取知识’这个问题……就是因为人具有一种能力，我们姑且称这个能力为‘直观能力’.直观能力的存在是先天的，但一个好的直观能力的养成却是依赖于经验的.”在文［6］则指出“直观不是‘教’出来的，而是自己‘悟’出来的，这就需要经验积累”.这些见解，对我们培养学生的直观想象这一核心素养有重要的指导意义.我的理解是，教师要选择典型的数学内容，创设探讨情境，精心设计问题，引导学生观察和思考，在丰富的数学活动经历中积累自己的“直观想象”经验，“悟”出门道.结合高中数学课程，笔者以为可从以下4各方面来着手培养学生的直观想象.

1.学函数，用图像

函数是中学数学的核心概念，是中学数学的基础，是学好数学的关键.以函数为主线可以将很多数学内容“串”起来：函数、不等式、方程、数列、微积分等，占高中数学课程的“半壁江山”.但函数的概念抽象，内涵丰富，思想精微.用“学函数，用图像”观点指导学生函数学习：从概念层面看，丰富表征，完善结构，便于概念抽象；从思想方法层面看，以形助数、数形沟通，实现数形结合；从学习心理角度看，用图思考，形象直观，有助于建立信心.

“学函数，用图像”具体表现为：

（1）用图像，从“形”的角度刻画和理解函数及其相关概念；

（2）用图像，为函数性质的发现、描述、理解和记忆提供方法；

（3）用图像，从变换的视角将复杂函数“看”简单；

（4）用图像，架起方程（不等式）通往函数的“桥梁”；

（5）用图像，构建直观模型使抽象函数问题不抽象.

2.研究空间位置关系，用好长方体这一直观模型

立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力.课标（实验）要求内容设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则；以长方体为模型和载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系.熟悉长方体空间基本元素的关系和性质，把空间关系的一些重要结论放到长方体来观察和思考，既易于发现又便于记忆，一些复杂的几何体，可以借助割补法化归为长方体（有时更特殊为正方体）模型处理，打开思路，使问题得以简化.

例1（2014全国新课标I卷理12）如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

图1　

分析：三视图和直观图之间的“互化”是高考考查空间想象力的重要载体.三视图需想象从正面、侧面和下面三个角度“竖”起与平行光线垂直的投影面，长方体当然具有现成的面可供选取，我们就可以考虑把一些空间几何体置于长方体（或正方体）模型中并利用割补法想象实施，构造出所要研究的几何对象.本题就是一个经典例子：从水平标准放置的棱长为4的正方体中割出一个三棱锥，如图2，并易知三棱锥E-CC1D1（其中E为BB1的中点）最长的棱为D1E=

图2　

3.理解好向量几何意义，发挥向量几何直观优势

在高中数学课程结构中，向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，向量及其运算工具性贯穿于高中数学教材体系不同内容和不同问题之中.但对向量概念及其运算，中学可能强调代数坐标运算过了头，特别是空间向量处理立体几何问题.其实向量有丰富的几何背景和几何意义，要加大从“形”的角度理解好向量，养成主动想图、作图和用图思考的习惯，“看”出思路，“看”出简洁.

例2（2005年浙江理10）已知向量a≠e，|e|=1满足：对任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，则（）

A.a⊥eB.a⊥（a-e）

C.e⊥（a-e）D.（a+e）⊥（a-e）

思路1：从代数运算变形角度考虑，将向量模的不等式用平方法变形整理为关于实数t的一元二次不等式恒成立问题.

原问题等价于t2-2a·et+（2a·e-1）≥0对任意t∈R均成立，则有△=（-2a·e）2-4（2a·e-1）≤0⇔（a·e-1）2≤0.所以a·e=1.

所以e·（a-e）=e·a-e2=1-1=0.所以e⊥a-（）e.选C.

4.解析几何，仍要重视图的作用

解析几何是数形结合的经典内容，虽然它的主体思想是代数方法研究几何问题，但仍需强调图形的重要性，包括：从图形的观察，特别是运动变化中的不变性，抓住几何特征，再将其坐标翻译为方程，如椭圆是动点到两定点距离和为定值的点的几何，即几何特征为｛P||PF1|+|PF2|=2a｝；熟练掌握圆锥曲线的基本量a，b，c，e，p的几何意义、公式的几何意义（斜率坐标公式、两点间距离公式、点到直线的距离公式等）、参数方程中参数的几何意义、极坐标中极角极径θ，ρ的几何意义等；养成画图、用图思考和探寻简化运算路径的好习惯.

四、结束语

本文仅是对直观想象的初步探讨，数学核心素养作为新课程改革深化的重大突破成果，要研究的东西确实太多太多，既要在理论层面去完善，更要在教学层面上去实践.鲍建生教授认为：数学素养是在掌握数学知识的基础上在数学活动中逐步养成的，应贯穿从小学到大学所有的数学活动中；数学素养是按照水平逐步提高的，不同的人在数学素养上也有不同的特点；数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、开放性的数学任务是培养数学素养的有效途径；对数学素养的评价需要改进评价工具和方式.笔者以为，这些观点扩大了我们对数学核心素养的思考空间，可作为我们下一步深入探索数学核心素养的研究课题.

1.张楚廷.数学原则今论［M］.长沙：湖南师范大学出版社，1994.

2.瓦·阿·苏霍姆林斯基，著.给教师的建议［M］.杜殿坤，编译.北京：教育科学出版社，1984.

3.郑君文，张恩华.数学学习论［M］.南宁：广西教育出版社，1996.

4.任樟辉.数学思维论［M］.南宁：广西教育出版社，1996.

5.史宁中.数学的抽象［J］.东北师大学报（哲学社会科学版），2008（5）.

6.史宁中.数学的基本思想［J］.数学通报，2011（1）.

7.方厚良.学函数，用图象.［J］中小学数学（高中），2016（4）.

*本文为湖南省教育科学“十二五”规划2015年度基础教育研究课题“普通高中数学教材的心理化研究”（课题编号：XJK015CZXX074，主持人：方厚良）的研究成果之一.