化归思想在高中数学函数教学中的运用探讨

陈苗苗

（浙江省永嘉县罗浮中学）

化归思想在高中数学函数教学中的运用探讨

陈苗苗

（浙江省永嘉县罗浮中学）

数学是我国高中教学体系中十分重要的一环，是一项基础性的学科，围绕化归思想的概念展开讨论，论述化归思想在高中数学教学中的意义，探究化归思想在高中数学函数教学中的运用。

高中数学；函数；化归思想；运用

一、化归思想

所谓化归思想，不仅是一种解题的思路，也是一种在生活中常用的基本思维策略，在数学中的运用十分广泛。其策略的运用指的是通过某种手段或者方法，将所要解答、研究的问题进行转化，从而便于解答。一般来说，化归思想是将复杂的问题简单化，将未知的数值用已知的数值表示，又或者是将未解决的问题转化为已知的题目，通过这种简单化、直观化的转变帮助学生更好地解决部分具有一定难度的问题。化归思想的具体方法主要有待定系数法、配方法、元素代入法、抽象问题具体化等，其在数学教学中的运用包括数值之间的转化、图形之间的转化、数值和图形之间的转化、数学模型和具体问题的转化等。数学教学质量的高低在一定程度上影响学生的全面发展，而函数是数学教学中重要的一部分。化归思想作为一种解答技巧，在数学中的运用十分广泛，如果能够掌握并且灵活运用解题策略，对学生的数学学习有极大的帮助。

二、化归思想的运用在高中数学教学中的意义

1.加深学生对数学学习的理解

数学是一门很抽象的学科，它既不像语文、英语那样通过大量的知识记忆就可以掌握基本的知识，也不像生物、地理那样是实物化的知识。而是需要学生通过大脑思维的构建来理解、吸收，因此大部分学生在数学的学习上有一定的困难。化归思想是将复杂问题简单化、抽象问题具体化，这样一来就从根本上促使学生加深对数学的理解，并且通过思想经验的不断积累，帮助学生将知识点连接起来，从而帮助学生认识到数学的精髓所在。

2.帮助学生拓展数学思维

学习数学的关键点在于学习解决数学问题的思维策略，而策略的关键在于是否将所学知识灵活运用，因此需要学生积累一定的解题方法。在传统的数学教学中，学生学习到的解题方法大都由教师教授，很少自己探索。通过化归思想的培养，学生在解题中学会自己将问题简单化，通过知识的运用和转化，不仅加深了对知识的理解，提高了学生学习的自主性，还锻炼了学生的数学思维，拓宽了解题的思路。

3.提高学生分析题目的能力

化归思想的另一种运用，就是将新学的知识和过去熟悉的旧知识相互转化。培养学生灵活运用化归思想，使学生在面对陌生的知识时，能够通过转化得到自己熟悉的知识，帮助学生提高分析题目的能力。

三、化归思想在高中数学函数教学中的运用

1.换元法

所谓换元法，就是运用化归思想，将原本复杂陌生且不规范的方程或者式子转换成为熟悉、简单的式子，这种简单的换元在数学中十分常见，是一种相对比较容易掌握的解题思路，换元法要求学生能够将反复出现的未知参数或者已知条件看作一个整体，从而应用熟悉的知识进行转化，将复杂的题目简单化，分析出题目的真实用意。

这道题目的解答可以借助化归思想利用换元法来解答，首先可以假设cos x=a，2sin x=b，通过对已知条件进行分析可得a+2b=，接下来联系课本所学的三角函数的基本知识可知cos x的平方加上sin x的平方之和等于1，也就是说a的平方加上b的平方等于1，通过将复杂的式子简单化，便可以清晰得出两个简单易懂的方程，接下来通过联立方程，可以直接得出a和b之间的关系，即2a=b，因此可以得出答案tan x=2。

2.数字与图形之间的转化

数字与图形之间的转化相对于换元法来说会更加复杂一些，在数学题目中，有些函数方程本身就与图形有对等的联系，譬如圆柱的面积为2πr*h+πr2，圆的面积为πr2等等，另外还有一些曲线，例如，抛物线、双曲线等都与数值直接相关，而将图形与数字进行相互转化，就是将抽象的数字用图形的形式表示出来，通过图形的展示，让学生能够直观感受、理解题目的原意。特别是高中数学的函数部分，学生可以灵活运用课本所学图形与数值之间的联系，借助化归思想，将抽象的题目简单化，从而方便学生解答题目。接下来借助一个例子来解释一下：

例如：已知函数f（x）=2-|x|，x≤2，且f（x）=（x-2）2，x＞2，另一个函数g（x）=b-f（2-x），其中b属于全体实数，如果函数y=f（x）-g（x），恰有四个零点，则b的取值范围是（）

由题目可知，y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b，所以y=f（x）-g（x）恰有4个零点等价于方程f（x）+f（2-x）-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f（x）+f（2-x）的图象有4个公共点，接下来通过函数的式子画出与之对应的图形，如下图所示：

通常情况下，如果在题目中求解方程解的个数或者提到函数零点的问题时，其题目的真正用意不是让做题者将方程解答出来，必定是通过特殊的途径绕过解方程的繁杂步骤而直接得到答案，通过借助化归思想，将抽象的问题具体化，帮助做题者能够一目了然地得出正确答案。

3.将未知的参数已知化

在函数解题的过程中，常常会遇到一些陌生的式子，需要做题者对公式进行证明或者求最值，面对这样一道陌生的题目，如果不运用化归思想，将未知的题目转化成已经学过的知识点的话，学生在解答题目时会感到困难，而在函数题目的解答中，有许多未知的式子都是通过基本的定理转变过来的，所以化归思想的掌握对于高中生来说是十分有必要的。所谓将未知的参数已知化，指的是将题目给出的式子与基本的知识点结合起来，构建一座联系的桥梁，从而将复杂陌生的知识逐渐还原成熟悉的式子，从而推导出解决问题的基本途径，使解答过程简单化。接下来举一个例子进行说明：

例如：求函数y=cos x+sin x+sin x cos x的最值。

这道题乍一看是找不到思路的，很多学生不知道该如何下手，但是通过对式子的观察，我们可以很快发现题目的式子与三角函数之间的关系，那么就可以运用化归的思想，将原式与三角函数的相关知识点建立联系。首先可以运用换元法假设n=cos x+ sin x，sin x cos x=（n2-1）/2，因此可得y=（n2-1）/2+n，进一步换算可得y=n2/2+n-1/2。由三角函数的性质可得，n∈［-，］，因此通过计算可得y的取值范围是［-1，+1/2］，所以，求y的最大值时，n取，得最大值为+1/2，求y最小值时，n取-，得最小值为-1。

数学的学习需要学生拥有缜密的逻辑思维，并学会灵活运用所学的知识。但由于数学中许多定理概念过于抽象化，导致学生难以理解，无法深入学习知识。因此对于教育工作者来说，最重要的是引导学生逐渐掌握函数知识，化归思想在数学解题中的运用十分广泛，通过培养学生的思维逻辑，帮助学生加深对概念的理解，并通过练习达到锻炼学生思维能力的目的。

［1］董朝芳.高中数学函数教学对数学思想方法的渗透［J］.教育教学论坛，2014（21）：32.

［2］任潇.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用分析［J］.现代妇女（下旬），2014（4）：65.

［3］蒋塘涵.化归思想在高中数学函数学习中的运用［J］.求知导刊，2015，12（6）：116.

·编辑张慧