两种新的IGGⅢ的改进方案

刘　宸，刘长建，王　赛，许岭峰，张学东

(1. 信息工程大学地理空间信息学院，河南 郑州 450001; 2. 65014部队，辽宁 沈阳 110000)



两种新的IGGⅢ的改进方案

刘宸1，刘长建1，王赛1，许岭峰1，张学东2

(1. 信息工程大学地理空间信息学院，河南 郑州 450001; 2. 65014部队，辽宁 沈阳 110000)

针对IGGⅢ等价权函数在k0处不平滑的现象，提出了两种改进方案，每个方案的等价权函数都是含有两个调和系数的四段权函数。通过一个模拟水准网的算例表明，改进后的方案有效利用了可利用信息，抗差估计的结果较IGGⅢ方案更可靠，其中方案2效果最佳。

抗差估计；IGGⅢ；权函数

当观测值只存在偶然误差时，可采用最小二乘法求得未知参数的最优解；当观测值存在粗差时，则采用抗差估计尽可能地减免粗差的影响，得出正常模式下的最佳估值。抗差估计的方法有很多，其中使用最广泛、计算较简单的是抗差M估计[1]。抗差M估计的抗差性和效率取决于参数初值的可靠性、等价权函数及其临界值的合理性[2]。常用的等价权函数有L1法、L1-L2法、German-McClure法、Huber法、Andrews法、Welsch法、Tukey法、Danish法、Fair法、Cauchy法、Hampel法、IGG方案和IGGⅢ方案等[3]。其中，IGGⅢ方案是杨元喜院士应用相关等价权原理构造的类似于相关最小二乘估计的相关抗差估计解式[4-5]，近年来在各领域得到了广泛应用[6-16]。同时，刘经南院士等专家学者针对IGGⅢ方案在应用中存在的问题提出了相应的改进[17-19]。本文在IGGⅢ方案的基础上，提出了两种等价权函数，并采用改进前后的等价权函数进行模拟水准网试验，再进行抗差估计。试验结果表明，采用改进后的等价权因子进行抗差估计的结果更为可靠。

一、IGGⅢ方案

IGGⅢ方案是杨元喜院士提出的类似于相关最小二乘估计的相关抗差估计方案，该方案将观测数据按照质量划分成有效信息、可利用信息和有害信息3类，并对有效信息采用效率较高的LS估计，对可利用的信息采用降权估计，对有害信息采用零权估计，基本上达到了充分利用有效信息、限制利用可疑信息和排除有害信息的抗差估计原则。

当观测值相互独立时，设观测值原始权阵为

(1)

IGGⅢ权函数[4-5]为

(2)

(3)

式中，median()为取中位数的函数。

二、IGGⅢ方案的改进

抗差估计的原则是要充分利用有效信息，限制可用信息，排除有害信息，在假定的模型下，获得可靠、有效、具有实际意义的参数估值[1]。IGGⅢ权函数的一阶导数在k0处不连续，导致了IGGⅢ权函数(如图1所示)在k0处不平滑，也使得k0附近的可利用信息在抗差估计中不能充分得到利用。

针对IGGⅢ方案存在的这一现象，本文提出了以下两种改进方案。各方案均由4段分段函数，但调和系数数目和IGGⅢ方案相同。观测值原始权阵同式(1)，两种改进方案如下：

图1　IGGⅢ权函数

1) 方案1为

(4)

2) 方案2为

(5)

三、算例分析

为了验证改进IGGⅢ权函数的有效性，进行了模拟水准网试验和分析。水准网如图3所示，共有8个高程点、12段观测高差，每段观测距离相近且每段观测中误差为0.003 m，已知点高程和未知点近似高程见表1，观测高差见表2。

图2　IGGⅢ及改进方案的权函数

图3　水准网

表1　已知点高程和未知点近似高程　m

首先对未知点进行最小二乘平差，得出正常模式下的最佳估值；然后根据粗差加入方案向观测数据中加入粗差；接着进行最小二乘平差并采用IGGⅢ方案和改进后的方案进行抗差估计；最后将结果与正常模式下最佳估值进行比较，差异小的方案抗差性强，反之则弱。粗差加入方案为：①在7号观测值上加入0.020 m的粗差；②在2号、7号观测值上分别加入-0.015和0.020 m的粗差；③在2号、7号和11号观测值上分别加入-0.015、0.020和0.018 m的粗差。抗差估计中不同权函数中的各参数取值相同，即调和系数均为k0=1.0，k1=2.5，迭代收敛条件均为ξ=2×10-6。

表2　观测高差　m

表3表示分别加1个、2个、3个粗差后最小二乘估计、IGGⅢ方案和改进方案的抗差估计结果与正常模式下最佳估值的差值。

表3　加入不同数目粗差后抗差估计结果与正常模式下最佳估值的差值　mm

分析上述试验结果，可以看出：

1) 观测值加入粗差后，最小二乘法平差得到的估值偏差很大，而且随着粗差的个数不断增加而逐渐增加，已经不再适用于未知参数的估计。

2) IGGⅢ方案和改进的各种方案均能在一定程度上减免粗差值的干扰，得出较为可靠有效的参数估计值；但随着粗差个数的增加，IGGⅢ方案和改进的各种方案的抗差性能逐步衰减。

3) 改进的各个方案均在不同程度上充分利用了有用信息，抗差性较IGGⅢ方案均有明显的提高；但随着粗差个数的增加，抗差性能提高的幅度有小幅度衰减。

4) 两个改进方案抗差效果均有显著提高，且方案2的改进效果更佳。

四、结束语

针对IGGⅢ等价权函数在k0处不平滑的现象，提出了两种改进方案，使得权函数每一处均平滑，并以模拟水准网抗差估计为例进行了对比分析。试验结果表明，两种改进方案在抗差性上均有所提高，其中方案2效果最佳；但随着粗差个数的增加，抗差性能提高幅度有小幅度衰减。本文提出的方法对于观测值相关情况也同样适用，这里不再给出。

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Two New Improvements of IGGⅢ Scheme

LIU Chen，LIU Changjian，WANG Sai，XU Lingfeng，ZHANG Xuedong

刘宸，刘长建，王赛,等.两种新的IGGⅢ的改进方案[J].测绘通报，2016(10)：54-57.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2016.0328.

2015-12-23

国家自然科学基金(41374041)

刘宸(1991—)，男，硕士生，主要研究方向为数据处理、电离层建模。E-mail：791387368@qq.com

P228

B

0494-0911(2016)10-0054-04