高三数学综合测试



高三数学综合测试

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1.f(x)=3sin x,x∈[0,2π]的单调减区间为______.

2.若复数z=1+ai(i是虚数单位)的模不大于2,则实数a的取值范围是______.

3.若方程ln x+2x-10=0的解为x0,则大于x0的最小整数是______.

6.下列说法中,正确的有______.(写出所有正确命题的序号)

① 若f ′(x0)=0,则f(x0)为f(x)的极值点;

② 在闭区间[a,b]上，极大值中最大的就是最大值;

③若f(x)的极大值为f(x1),f(x)的极小值为f(x2),则f(x1)>f(x2);

④有的函数有可能有两个最小值;

⑤已知函数f(x)=ex,对于f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一个值x2,使f(x1)f(x2)=1成立.

7.设向量a,b的夹角为θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则sin θ=______.

13..设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是______.

14.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f ′(x)≤f(x).若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,则M的最小值为______.

二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)已知

(1)求θ;

(2) 求满足f(x)=1,x∈[-π,π]的x的集合.

16.(本小题满分14分)已知命题p:指数函数f(x)=(2a-6)x在R上单调递减,命题q:关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数a的取值范围.

(1)求角C的大小;

18.(本小题满分16分)一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧,AB,DC分别与圆弧BC相切于B,C两点,EF∥AB,GH∥CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.

(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M,N分别在外壁CD和AB上,且木棒与内壁圆弧相切于点P,设∠CMN=θ(rad),试用θ表示木棒MN的长度f(θ);

(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值．

20.(本小题满分16分)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f ′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f ′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).

① 求证:函数f(x)具有性质P(b)；② 求函数f(x)的单调区间．

(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x1,x2∈(1,+∞),x11,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围．

(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;

(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

23. (附加题，本小题满分10分)抛掷A,B,C三枚质地不均匀的纪念币,它们正面向上的概率如下表所示(0

纪念币ABC概率12aa

将这三枚纪念币同时抛掷一次,设ξ表示出现正面向上的纪念币的个数．

(1)求ξ的分布列及数学期望;

(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求a的最大值．

24. (附加题，本小题满分10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,F是棱BC的中点,点E在棱C1D1上,且D1E=λEC1(λ为实数)．

(2)试问:直线EF与直线EA能否垂直?请说明理由．

参考答案

一、填空题

二、解答题

17.(1)由题意,得

所以∆ABC的面积

①若S在线段TG上，则TS=QT-QS.

②若S在线段GT的延长线上，则

TS=QS-QT.

在Rt∆STM中，

19. (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

由题意可得f(1)=2,f ′(1)=e，

故a=1,b=2.

h′(x)=e-x(1-x).

综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

∴函数f(x)具有性质P(b).

②设φ(x)=x2-bx+1,则f ′(x)与φ(x)同号.

当b∈[-2,2]时，φ(x)=x2-bx+1>0恒成立，∴f(x)在(1,+∞)上单调递增；

当b∈(-∞,-2)时，φ(x)=x2-bx+1>0恒成立，∴f(x)在(1,+∞)上单调递增；

(2)依据题意，g′(x)=h(x)(x-1)2,

∴g(x)在(1,+∞)单调递增，且有

α+β=x1+x2,α-β=(2m-1)(x1-x2).

α-x1=(m-1)x1+(1-m)x2,

β-x2=(1-m)x1+(m-1)x2,

∴(α-x1)(β-x2)=-(m-1)2(x1-x2)2<0.

∴α

若α

f(α)

∴g(α)-g(β)>g(x1)-g(x2)，不合题意.

∴x1<α<β

0=|g(α)-g(β)|

α-x1=(x1-x2),β-x1=-m(x1-x2).

同理有x1<β<α

综上，0

22.(1)曲线C的参数方程为

直线l的普通方程为2x+y-6=0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离

23.(1)ξ的分布列

ξ0123P12(1-a)212(1-a2)12(2a-a2)a22

取y=1,则n=(2,1,2).

化简,得3λ2-2λ+3=0,

因为Δ=4-36<0,所以该方程无解,所以假设不成立,即直线EF不可能与直线EA垂直.