突破“集中趋势”，缩小“离散程度”

张伟俊

一、求平均数

例1 （2016·江苏盐城）甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下（单位：分）：

如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按3：3：2：2计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？

【解析】运用加权平均数的计算公式进行计算：甲的数学综合素质成绩为[90×3+93×3+89×2+90×23+3+2+2]=90.7（分），乙的数学综合素质成绩为[94×3+92×3+94×2+86×23+3+2+2]=91.8（分）.

【点评】在实际生活中，一组数据中各个数据的重要程度并不总是相同的，有时有些数据比其他数据更重要.所以，我们在计算这组数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”.一般地，对于n个数x1， x2，…， xn，它们的权依次为w1 ， w2 ，…，wn，则称 [x1w1+x2w2 +…+xnwnw1+w2 +…+wn]为这组数据的加权平均数.

二、求中位数和众数

例2 （2016·江苏苏州）根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2016年1月1日起对居民生活用水按照新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究性学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如下表所示：

则这30户家庭该月用水量的众数和中位数分别是（ ）.

A.25 ，27.5 B.25，25

C.30 ，27.5 D.30，25

【解析】由统计表可知，这组数据一共有30个数据，分别是3个15，6个20，7个25，9个30和5个35，其中30出现的次数最多，达9次，因此所求众数为30； 同时可以将这30个数据理解成是从小到大排列的，中位数是第15、16个数据的平均数，由于第15、16个数据都是25，因此所求中位数为25.故选D.

【点评】众数是一组数据中出现次数最多的数据.中位数是将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数，或者是处于最中间位置上的两个数的平均数.也就是说：如果一组数据共有n个，那么按照大小顺序排列后，当n为奇数时，中位数就是第[n+12]个数，当n为偶数时，中位数就是第[n2]、 （ [n2][+1]）个数的平均数.

例3 （2016·山东威海）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）.

A. 19，20，14 B. 19，20，20

C. 18.4，20，20 D. 18.4，25，20

【解析】由扇形统计图可知：销售12台的人数是20×20%=4（人），销售14台的人数是20×25%=5（人），销售20台的人数是20×40%=8（人），销售30台的人数是20×15%=3（人），所以这20位销售人员本月销售量的平均数为[12×4+14×5+20×8+30×320]=18.4（台）；把这些数从小到大排列，第10、11个数均为20，所以中位数为20；销售20台的人数最多，所以众数为20.故答案选C.

【点评】扇形统计图中的信息，还可以直接理解成“12台”的权为“20%”，“14台”的权为“25%”，“20台”的权为“40%”，“30台”的权为“15%”，所以这组数据的平均数为12×20%+14×25%+20×40%+30×15%=18.4（台）；扇形统计图中，从“12台”起顺时针方向排列可以看成是将数据从小到大排列，累计第50%、51%的位置都对应“20台”，所以中位数为20；“20台”的权重最大，达“40%”，所以众数为20.这样一种理解，既简单，也更趋于本质.

三、求方差

例4 （2016·四川达州）已知一组数据0，1，2，2，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是 .

【解析】由“这组数据的平均数是2”易求得x=4，然后运用方差公式求出这组数据的方差为=[16][（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（2-2）2+（4-2）2+（3-2）2]=[53].故答案为[53].

【点评】描述一组数据的离散程度的方差是指这组数据与它们的平均数的差的平方的平均数，如果一组数据x1、 x2、…、xn 的平均数为[x]，那么它的方差可表示为s2=[1n][（x1-[x]）2+（x2-[x]）2+…+（xn -[x]）2].

四、数据集中趋势的灵活应用

例5 （2016·湖南怀化）某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（ ）.

A. 平均数 B. 中位数

C. 方差 D. 众数

【解析】39个不同的成绩按大小顺序排列后，中位数之前的共有19个数，所以只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛.故答案选B.

【点评】当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中程度.中位数从“中等水平”的角度（位置处于“最中间”）描述一组数据的集中趋势，克服了极端值对“平均水平”的影响.

例6 （2015·浙江宁波）在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购.下面的统计量中，最值得关注的是（ ）.

A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数

【解析】学校食堂最应该关注的是哪家粽子专卖店爱吃的人数最多，由于众数是数据中出现次数最多的数，所以学校食堂最应该关注的是统计调查数据的众数.故答案选D.

【点评】众数从“多数水平”的角度描述一组数据的集中趋势.当一组数据中有较多重复数据时，通常选择用众数描述这组数据的集中趋势.

五、数据离散程度的灵活应用

例7 （2016·河南）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

根据表中数据 ，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）.

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【解析】从平均数的角度看，甲、丙的平均水平相等，高于乙、丁，可以排除乙、丁两人.从方差的角度看，甲的方差小于丙的方差，甲的发挥比丙稳定.故答案选A.

【点评】一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大，越不稳定.题目中“成绩好且发挥稳定”，也就是要平均成绩高且方差小，由此可以作出选择.

由上述题型可以看出，数据的集中趋势和离散程度在中考中的考查题型不多，难度不大，只要你能熟练理解平均数、中位数、众数、极差、方差的意义和求法，你就一定能在这部分的考查中稳操胜券.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）