凸显模型思想 触摸知识本质

汤金娥

乘法分配律是在学生学习了加法和乘法的交换律、结合律的基础上进一步深入认识的运算律，与交换律、结合律相比较，乘法分配律的算理更抽象，形式多样，加之它属于“计算”范畴，内容单调，课堂难以生动有趣。这样使得乘法分配律的教学成为大家公认的“一杯白开水”。然而，细细琢磨，特级教师张炜执教的“乘法分配律”并非如此。张老师在执教这节课时，着力凸显模型思想，引导学生在不露痕迹“深度卷入”中敞开思维，产生联想，课堂生动活泼，学生学得自主，学得自由，从而自然触摸知识的本质 。

【片段一】创设情境，感受模型

师：同学们，我们今天的学习将邀请老大、老二和老三兄弟三人参加。他们都是种果能手，非常碰巧，他们的果地都是长方形。请先看（出示图形）老大的果地。（单位：米）

师：看到老大的果地，你能提出有关面积计算的问题吗？

生：两块地的总面积是多少？两块地的面积相差多少？

……

师：如何列综合算式计算两块果地的总面积？

生（交流算式）：90×60+90×25，（60+25）×90。

师：比较得数，这两个等式之间可以写上什么符号？

生：等号，90×60+90×25=（60+25）×90。

师：（出示图形）这是老二的果地，请列式计算两块地的总面积。（单位：米）。

（学生交流算法。）

师：为什么不合并起来算呢？

生：因为老二的果地是两块没有相等长度边的两个长方形，所以两个图形也就不能直接合并成一个大长方形。

师：哦，原来是这样。

师：（出示图形）请看老三的两块地，列式计算出总面积（单位：米）。

（学生交流算法，建立等式：80×60+60×40=（80+40）×60。）

师：为什么老大、老三的果地总面积可以合起来算也可以分开来算？

生：因为老大、老三的果地分别都是有一条边相等的两个长方形。

【赏析】课始，教师巧妙设计兄弟三人一起参加学习的情境，唤醒学生已有的经验，激发学生自主提出问题，并在解决问题中经历初步感受、思维冲突和前后比较，从而感知有一条边相等的两个长方形面积之和就是一种图形模型，这种模型有相对应的算式，有了几何直观的形象支撑，算式的结构特征也就一目了然。

【片段二】自主探索，建立模型

师：刚才同学们根据图形列出了计算总面积的算式，下面请根据算式在方格纸上画出相应的图形。两块长方形西红柿地总面积：80×50+60×50，两块长方形黄瓜地总面积：（70+50）×40。

（学生独立完成后交流展示、解读图形中的数据并建立等式：80×50+60×50=（80+60）×50，（70+50）×40=70×40+50×40。）

师：上面的算式左右两边相等，你还能写出更多这样的式子来吗？

生：25×30+75×30=（25+75）×30

（84+28）×16=84×16+28×16

……

师：根据以前的学习经验，你能不能用一个等式将这样的所有等式都包含进去？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

师：用字母表示非常简洁。

师：（a+b）×c=a×c+b×c也可以看成是两个长方形的面积和吗？（出示下面图形）如果它是表示甲、乙两个长方形面积的和，那a、b、c又分别是图中哪里的长度呢？

【赏析】如果说从图形到算式是建立等式、发生联系的过程，那么从算式追溯图形则是“逼”学生尝试建立“图形模型”的过程，是将数学认识从具体经验向理性层面提升的过程。本教学环节从建立模型的角度出发，设计根据算式画图形，“逼”学生进行逆向思维，并通过举例验证、解释说明，从具体问题过渡到抽象概括，使用字母表示乘法分配律自然“呼之欲出”。紧接着教师又乘势设计根据字母等式联想图形，更是把学生的认识再次推向深入，从而进一步触摸知识的本质，建立起深刻的模型印象。

【片段三】丰富联想，应用模型

师：同学们已经掌握了（a+b）×c与a×c+b×c相等关系的模型，下面请根据算式联想。

（1）75×20+25×20

（2）65×（30+1）

（3）45×45+30×50

（4）（200+m）×n

（5）8×+2×

（学生交流想法并展示。）

师：通过计算求有一条边相等的两个长方形面积和，我们发现了乘法分配律，那么像80×60+60×40=（80+40）×60（老三果地的总面积）这样的算式是不是只可以用两个长方形的面积和来解释？可用其他事情来解释吗？请将等式中的数填入下面的括号里：

一件上衣（ ）元，一件下衣（ ）元，买（ ）件上衣和（ ）件下衣一共要付多少元？

（学生讲述填写数据及具体含义。）

师：能不能将买衣的情节变换成其他事情来解释。

生：（思考后交流）小明做一个大盒子要用5张卡纸，做一个小盒子要用3张卡纸，做4个大盒子和4个小盒子共要用多少张卡纸？

……

【赏析】本教学片段是学生离开图形进行算式联想的环节，这既是对乘法分配律理解的即时检测，也是更高水平的数学思考。学生通过联想、比较与辨析，完善自己的数学思考，进一步生动活泼地建构起对乘法分配律的朴素、直接、独具个性的本质理解。尤其第（3）题虽有相同因数，但与其他算式中的相同因数所在位置不同，是不能直接合并的变式，更让学生在比较中强化了对乘法分配律的本质与非本质的理解。紧接着教师又适时地向学生抛出根据计算老三果地总面积的算式，联想用其他事情解释问题，同时安排一个与学生生活密切相关的买衣情境开放题，让学生深入思考，最大可能地开发学生的思维。“能不能将买衣的情节变换成其他事情来解释”，则把学生的思维引向更广阔的天地，充分感受数学模型应用的丰富和简约。

【片段四】类比展开，拓展模型

师：同学们，课始我们提出了求老大两块果地面积相差多少的问题，下面请列式计算。

生：90×60-90×25=3150（平方米），（60-25）×90=3150（平方米）

师：这两个式子可用什么符号连起来？

生：等号，90×60-90×25=（60-25）×90。

师：你还能写出更多这样的等式来吗？请写一写。

（学生交流展示。）

师：如果用字母表示可怎么写？

生：（a-b）×c=a×c-b×c。

师：老大非常勤劳，最近他又扩建了一块香瓜地（在原图上加上一个长90米，宽55米的长方形），怎么计算老大现在果地的总面积？

生：90×60+90×50+90×55=（60+50+55）×90。

……

【赏析】联想孕育着数学思维与推理，充满着数学发现与惊喜。在学生理解了乘法分配律的基础上，教师适时提出由求和类推到求差的问题，让学生体会到乘法分配律同样适用于乘法对减法的分配。接着教师又巧妙设计老大扩建果地的情境，让学生从两个数联想到三个数甚至更多数的和与一个数相乘，在丰富的情境拓展中不断赋予模型“生长”的力量，让乘法分配的模型既根植于图形，又不拘泥于图形，使得用字母表达的乘法分配律有了“丰腴”之美。这样的学习无疑是一个再创造的过程，不仅让模型思想得到了有效的渗透，而且使学生形成了丰富的数学活动经验，掌握了学习数学的方法，触摸到了知识的本质。如此，日积月累，学生的数学学习能力一定会得到较大的提升，从而有助于学生的可持续发展。

（作者单位：江西省高安市第四小学）

责任编辑 周瑜芽

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