基于粒子群算法的滚削齿面综合轮廓误差预测模型与试验研究

袁　彬　韩　江　吴路路　田晓青　夏　链

合肥工业大学，合肥，230009



基于粒子群算法的滚削齿面综合轮廓误差预测模型与试验研究

袁彬韩江吴路路田晓青夏链

合肥工业大学，合肥，230009

在配备有自主研发的数控滚齿系统的精密卧式滚齿机上，运用三因素两水平响应曲面法设计滚削试验，研究齿轮滚削加工刀具转速、轴向进给速度、背吃刀量对齿轮齿面轮廓误差的影响规律。根据试验结果，分析得出齿轮齿廓总偏差、齿轮螺旋线总偏差、齿距累计总偏差的预测模型及各工艺影响因素对齿面轮廓误差的作用显著程度，并以三个预测模型的附加权重值之和达到最小值为目标，建立可以评定多目标误差的齿面综合轮廓误差数学模型，运用粒子群优化算法对齿面综合轮廓误差数学模型进行分析优化，寻找最佳滚齿加工工艺参数。试验表明，采用粒子群优化算法对响应曲面法建立的齿面综合轮廓误差数学模型进行优化可以作为滚削加工前的工艺参数选取方案。

粒子群优化算法；响应曲面法；滚齿加工；轮廓误差

0　引言

齿轮是用来在动力源与执行机构之间传递运动和动力的机械传动零件，为了提高传动精度与效率，除了调整齿轮安装布置之外，齿轮加工精度的提升也非常重要。传统的齿轮加工工艺参数是根据长期积累的经验和现行的工艺手册来制定的，计算过程比较繁琐。滚齿加工一般可以加工出GB8～9级精度的齿轮，滚齿加工后还需要后续的热处理和磨削加工，但是对小模数齿轮(mn≤1 mm)来说[1]，精加工大多数采用的是以滚代磨(精滚)的方式，此时对滚削加工的精度要求就更高了，因此，研究最优的齿轮滚削加工工艺参数对提高齿轮的精度和传动效率意义重大。

由于齿轮滚削加工复杂的工况条件和展成纹理会影响齿轮的精度，因此从加工机理上对齿面轮廓误差进行研究不容易找到工艺参数对齿轮精度的影响规律，而运用合理的试验设计方法和先进的智能优化算法可以解决此问题。在齿轮加工方面，Silva等[2]使用粒子群优化(PSO)算法对珩齿加工的五种加工参数进行了优化，实验结果已经运用到生产当中；Pathak等[3]采用中心可旋转组合试验方式将齿轮的精度由DIN9级提高到了DIN7级；Mohanasundararaju[4]利用遗传算法和响应曲面法优化了磨齿加工工艺参数，但所使用的Box-Behenken试验设计方法在试验的序贯性上有缺陷；Raja等[5]通过使用粒子群算法，获得最优的加工参数，从而获得了最佳粗糙度和最短加工时间；Pawar等[6]利用非线性粒子群优化算法来优化磨齿的加工工艺参数，对热磨损、砂轮磨损、机床刚性进行分析并建立生产效率、加工成本、表面光洁度的预测模型；潘永智等[7]通过试验方差分析确定铣削切削力模型，并利用遗传算法来优选出最佳的刀具几何参数与切削参数；冯勇等[8]基于权重粒子群优化算法对铣削加工热传导模型进行试验研究；雷伟军等[9]利用改进遗传算法对义齿加工中多颗牙齿的加工工艺路线进行最优规划，达到了很好的收敛效果并提高了多模型加工的效率。在控制方面，Timac等[10]通过PSO算法对PID参数进行最优选择，获得最佳的控制精度；常智勇等[11]基于自适应蚁群算法来优化工艺路线，降低了加工成本，提高了加工效率和加工质量。上述理论与试验研究为齿轮滚削工艺的优化问题研究提供了理论依据，具有较强的工程意义。

在齿轮精度的评价体系里，实际生产加工中常用的重要指标有齿轮齿廓总偏差Fα、齿轮螺旋线总偏差Fβ和齿距累计总偏差Fp，这三种误差对齿面形貌作用显著，直接影响到齿轮的啮合性能。在齿轮滚削加工中，用户可调整输入的加工参数有滚刀主轴转速ns、刀具沿工件轴向进给速度 fz、精切背吃刀量hd，本文通过这三种因素对齿面轮廓误差产生的影响进行中心可旋转组合响应曲面法试验设计(CCD)，建立齿面轮廓误差数学模型，通过粒子群优化算法对齿轮滚削加工的三个工艺参数与三个常用齿面轮廓误差的综合影响进行了试验研究，对比预测值与试验值的吻合度，分析滚削加工参数对齿面形貌的影响规律。

1　试验条件

图1　YGS3110B数控滚齿机

图2　JD45型齿轮测量中心

滚削试验机床为配备有合肥工业大学CIMS研究所自主研发的滚齿加工数控系统的精密滚齿机YGS3110B(图1)，齿轮各项误差测量所用的设备为哈精达JD45型齿轮测量中心(图2)，表1列出了数控滚齿机与齿轮测量中心的技术参数，在该机床加工范围内选取滚削试验工艺参数。表2列出了加工试验所用的滚刀的参数与工件齿轮的参数。

表1　YGS3110B数控滚齿机与JD45齿轮测量中心技术参数

表2　齿轮和刀具基本参数

2　齿面轮廓误差模型

2.1响应曲面法基础模型介绍

响应曲面法最初的目的是探究多个输入变量与化学制程产出值之间的关系，实质上是利用数学、统计学原理配合相关试验设计方法，探究多个影响因子(x0,x1,…,xn)和响应输出y(x)之间的关系。响应曲面法多被用于生物医药、化工工艺、农业生产等问题的求解与优化，工程上常采用这种方法建立预测模型并进行参数优化研究。

当影响因素与响应输出只存在一阶线性关系时，模型可表示为

y(x)=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk+ε

(1)

当影响因素对响应输出产生一些非线性的影响时，此时就要用到二阶模型或者更高阶模型，常用的二阶模型表示如下：

(2)

式中，y(x)为响应输出目标函数；k为影响因子的个数；βi为各因子的影响系数；xi为各影响因子；ε为附加常量。

因为齿面分为左右齿面，所以在测量齿面轮廓时应选择左右齿面误差较大值进行分析。由于齿轮的齿形精度、齿向精度、回转精度是实际生产中常用于评定齿轮精度的重要技术指标，因此本文针对齿轮齿廓总偏差Fα、齿轮螺旋线总偏差Fβ和齿距累计总偏差Fp进行研究。图3所示为齿向和齿形方向上的误差，图中，Lβ为螺旋线计值范围，b为齿宽，B为计量中点位置，Lα为齿廓计值范围，LAC为齿廓有效长度。除了上述三个主要测量参数外，还有齿向形状误差ffβ、齿向斜率误差fHβ、齿形形状误差ffα、齿形斜率误差fHα等。

(a)齿向误差　　　　　　　　(b)齿形误差图3　齿形与齿向误差

中心复合试验设计(CCD)试验的影响因素有三个，即滚刀主轴转速ns、刀具沿工件轴向进给速度fz、精切背吃刀量hd，即为三因素三响应试验，齿轮齿廓总偏差Fα、齿轮螺旋线总偏差Fβ和齿距累计总偏差Fp的基本模型如下：

(3)

2.2中心复合试验设计

CCD属于两水平全因子试验设计，常用于解决影响因子与响应结果之间的非线性问题，并利用统计学方法预测响应模型。

CCD试验设计点的计算根据以下公式：

N=2k+2k+x0

(4)

其中，N为布置的试验次数；2k为k因素下立方点的个数；2k为分布在轴向上星号点的个数；x0为实验中心点的个数。

因齿轮滚削数控系统需要输入三个对齿轮加工精度有影响的工艺参数，即影响因素个数k=3，根据三因素CCD试验重复性原则，试验次数x0选为6，代入式(4)，可求得N=20。

本文所用的CCD试验分析软件为Design expert8.0[12]，该软件是Stat-Ease公司专门为试验设计(DOE)发布的软件。取星点值α=1.682，表3为根据CCD试验规则所做的试验水平表。根据试验水平表所列的切削参数编制滚齿加工G代码，在YGS3110B数控滚齿机上进行滚削加工试验，并将试验结果记录在响应结果栏，表4所示为CCD试验方案及其测量结果。

表3　CCD试验因素水平

表4　CCD试验方案及试验结果

2.3模型分析

根据响应曲面法建立的齿面轮廓误差数学模型如下：

Fα=23.280-0.030ns+0.027fz-0.132hd-

1.625×10-4nsfz+3.125×10-4nshd-0.028fzhd+

(5)

Fβ=21.321-0.013ns-0.343fz-1.695hd-

5.000×10-5nsfz+2.500×10-4nshd+0.015fzhd+

(6)

Fp=33.988-0.030ns+0.484fz+1.30901hd-

2.500×10-4nsfz-1.13×10-3nshd-0.035fzhd+

(7)

对该数学模型进行回归分析，滚刀主轴转速ns、刀具沿工件轴向进给速度fz以及精切背吃刀量hd对应的p均小于0.05(p为统计量的临界值，p<0.05表示所对应的影响因素显著)，表示该三个因素对响应影响显著，可根据式(5)～式(7)中各个工艺参数的系数大小来比较其对响应的影响程度大小。为了更好地观察本试验条件下各因素对齿面轮廓误差的影响规律，图4～图6列举了其中三组零水平下的响应面图，即取任意一个因素为零水平，绘制出剩余因素对响应的函数图。

图4　Fα=f(hd,fz)的响应曲面(ns=1000 r/min)

图5　Fβ=f(ns,fz)的响应曲面(hd=2 mm)

图6　Fp=f(ns,fz)的响应曲面(hd=2 mm)

图4为当ns=1000 r/min为零水平时，hd和fz对齿轮齿廓总偏差Fα的响应面图；图5为当hd=2 mm为零水平时，ns和fz对齿轮螺旋线总偏差Fβ的响应面图；图6所示为当hd=2 mm为零水平时，ns和fz对齿距累计总偏差Fp的响应面图。三个影响因素对Fα的影响程度从大到小为hd→fz→ns，原因是检测Fα时，测针绕着齿廓方向运动，加工时由于轴向进给速度最大为15 mm/min，进给速度较慢，与常规车铣加工不同，滚齿加工中，滚刀与工件属于展成包络关系，背吃刀量对展成纹理的大小影响非常明显，因此轴向进给速度影响没有背吃刀量影响大。三个影响因素对Fβ的影响程度从大到小为fz→ns→hd，根据展成运动机理，主轴转速与工件齿轮保持一定的转速比，滚齿纹理在齿向方向为连续条纹状，而且检测Fβ时，测针选取分度圆位置时是沿齿向方向运动的，因此展成纹理对齿向的测量影响不大，反而轴向进给速度对齿向进给方向上的误差波动影响较大。三个影响因素对Fp的影响程度从大到小为ns→(hd，fz)，参与展成运动的滚刀主轴转速和工件齿轮转速对包络纹理的产生有直接关系，主轴转速的快慢影响到每个齿在分度圆上的凹凸程度，也就是齿距误差的产生根源，而齿轮测量仪的测针绕整个圆周方向测量齿距误差，因此ns作用显著，而通过其他两组零水平模型可以看出，另外两个因素对齿距累计总偏差的影响大小相近[13-14]。

3　PSO优化

3.1约束条件建立

针对上述试验确定的模型，以机床加工工艺参数选择范围作为约束条件对模型进行优化，表5所示为三个工艺参数因素对应的优化范围。

表5　工艺参数优化范围

在上述约束条件下，若分别对齿轮齿廓总偏差、齿轮螺旋线总偏差和齿距累计总偏差的响应数学模型进行优化，则可能得出的是不同的加工参数优选值，因为同一组加工参数使三者同时达到最小值的概率很小，若简单地将三者相加取最小值，将达不到每种误差的最优匹配值。可以采用附加权重比值的方法来平衡误差的大小，考虑以获取最好的齿面综合轮廓误差Fall为目标进行粒子群优化。该齿轮为7级精度时其标准的误差值为Fα=9 μm、Fβ=14 μm、Fp=23 μm，根据附加权重比要求，取齿面综合轮廓误差为

(8)

将式(5)～式(7)代入式(8)得出目标函数为

(9)

3.2对模型进行PSO优化

作为求解最优问题的群体智能算法，粒子群优化算法[15]相比较于其他智能算法具有迭代速度快等优点。PSO算法分为以下几个步骤：

(1)初始化一个n维的粒子群。

(2)计算每个粒子的最优解，如果计算值比该粒子本身历史最优解pbest更优，则选择该计算值为新的最优解pbest。

(3)选取该粒子群全体最优解gbest作为新的全体最优解。

(4)根据以下公式更新粒子的位置与速度：

xi(t)=xi(t-1)+vi(t)

(10)

vi(t)=Wvi(t-1)+c1r1(xpbesti-xi(t))+

c2r2(xgbesti-xi(t))

(11)

式中，xi(t)为每个粒子的最新位置；vi(t)为粒子的速度；W为过去一个粒子速度对现在粒子产生的惯性系数；xpbest为单个粒子的历史最优值；xgbest为整个粒子群的历史最优值；r1、r2为在[0,1]之间随机取的系数；c1、c2为每个粒子自我认知能力和社交能力的权重系数，一般取c1=c1=2。

(5)终止条件判断，满足则停止搜索，筛选出最优解，否则转到步骤(2)继续搜索。

取粒子群数为30，迭代次数为500，图7为多目标PSO算法迭代趋势图，在迭代超过20次之后，齿面综合轮廓误差趋于稳定，为2.33 μm，此时得到的工艺参数与计算所得到的三个齿面轮廓误差如表6所示。

图7　多目标PSO算法迭代曲线

工艺参数主轴转速ns=1178.2r/min轴向进给速度fz=5.1r/min背吃刀量hd=1mm最优结果齿轮轮廓总偏差Fα=6.62μm齿轮螺旋线总偏差Fβ=11.07μm齿距累计总偏差Fp=18.66μm

为了验证优化所得工艺参数组合对齿轮加工精度提高的效果，使用PSO算法迭代出的滚齿最优工艺参数组合在YGS3110B滚齿机上进行滚齿精度指标验证试验。表7所示为对应的试验结果，可以看出，使用优化的滚齿工艺参数，使齿轮的精度提高到6～7级，与工厂里实际加工所测的8～9级精度相比，降低了齿面综合误差，优化了齿轮滚削工艺参数，提高了齿轮的质量。

表7　使用优化的工艺参数重复加工结果

4　试验结果

为了直观地反映响应曲面模型的精度，将齿面轮廓误差模型对试验预测的结果与真实试验结果进行对比，图8～图10为试验真实值与模型预测值对比曲线图，由图可知，在本试验条件下，通过该方法建立的齿面轮廓误差模型与真实情况吻合度较好，可以作为齿轮加工时工艺参数选取的参考。

图8　Fα试验真实值与预测值对比曲线

图9　Fβ试验真实值与预测值对比曲线

图10　Fp试验真实值与预测值对比曲线

5　结语

滚齿加工属于一种展成法加工齿轮的工艺，齿轮的精度影响因素有很多，本文根据实际生产中齿轮精度的主要评定指标，设计了一种基于粒子群算法的响应曲面试验方法，优化了齿轮滚削加工工艺，提高了齿轮的精度。

(1)采用响应曲面法里的中心复合试验方法对滚齿加工齿面轮廓误差进行分析，确定了齿面轮廓误差数学模型，通过响应曲面模型分析齿面轮廓误差显著影响因素顺序，对每项轮廓误差附加权重系数确定齿面轮廓误差综合模型。

(2)在机床加工工艺参数可选范围内，以最小齿面综合轮廓误差为目标，建立齿面综合轮廓误差优化模型。

(3)基于粒子群算法对齿面轮廓误差模型进行迭代优化，确定达到最小齿面轮廓误差的滚削工艺参数，为齿轮加工工艺优化提供了一种可行的优化方案。

齿轮加工精度不仅与工艺参数有关系，机床的冷却液类型、导轨润滑、各轴电机的性能等对齿轮的精度也有很重要的影响，在进行试验时要进行多组重复试验以降低偶然因素对齿面轮廓误差模型的影响。在后续的研究中可以将电机的参数性能作为对齿面轮廓误差的影响因素进行齿轮精度的优化试验，并将优化后的结果编入自主研发的数控滚齿系统中，为齿轮加工提供一种有效的工艺解决方案。

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(编辑苏卫国)

A Prediction Model and Experimental Study of Gear Hobbing Profile Errors Based on Particle Swarm Optimization

Yuan BinHan JiangWu LuluTian XiaoqingXia Lian

Hefei University of Technology,Hefei,230009

A series of 3 factors and 2 levels response surface method experiments were carried out to research the influence rules of processing parameters including the spindle speed, the feed rate in Z direction, and the hobbing depth on the gears’ tooth profile errors on the precision horizontal gear hobbing machine equipped with home-made CNC system. The mathematical models of the total profile deviation, the total helix deviation and the total cumulative pitch deviation were built respectively and the influence degrees of the three gear profile errors were finished based on the statical experimental data analyses. A more appropriate model for gear profile errors was established based on the weighting factor of each deviation. A method of using particle swarm optimization to improve the gear hobbing parameters was applied based on the final mathematical model. The results show that it is feasible to preselect the hobbing parameters based on the particle swarm optimization of the gear profile errors model established by response surface method.

particle swarm optimization； response surface method； gear hobbing； profile error

2015-12-22

国家自然科学基金资助项目(51575154，51505118)

TH161

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.20.002

袁彬，男，1991年生。合肥工业大学机械与汽车工程学院博士研究生。主要研究方向为智能制造及装备、数字化制造、齿轮精密制造技术。韩江，男，1963年生。合肥工业大学机械与汽车工程学院教授、博士研究生导师。吴路路，男，1992年生。合肥工业大学机械与汽车工程学院博士研究生。田晓青，女，1987年生。合肥工业大学机械与汽车工程学院讲师、博士。夏链(通信作者)，女，1964年生。合肥工业大学机械与汽车工程学院教授。