极大并滤子及其相关性质

李　贺，卢　涛，高淑红

（淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000）

极大并滤子及其相关性质

李贺，卢涛，高淑红

（淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北 235000）

在极大滤子定义基础上引入极大并滤子概念，进而给出分配格的一个新的内部刻画，并证明了其存在性定理.最后，讨论了Heyting代数中极大并滤子及其相关性质.

极大并滤子；素滤子；分配格；Heyting代数

连续格理论集序结构、代数结构和拓扑结构的研究于一体，是拓扑学和理论计算机科学的一个重要领域［1-4］.滤子是格论中的重要概念，一些特殊的滤子，如，素滤子、极大素滤子、完备素滤子等有着更加重要的地位.文献［3］用滤子刻画了Hausdorff分离性和紧性.文献［4］用完备素滤子刻画了Sober分离性，给出了极大理想的概念，以及极大理想的相关性质.文献［5］从素理想和半素理想的角度给出了分配格的一个内部刻画.文献［6］借助于偏序集上的滤子极大理想给出了分配格的内部刻画.文献［7］首次引入了并滤子的概念，但对于极大并滤子并未探讨.本研究在极大滤子的基础上引入极大并滤子的概念，并将极大滤子的性质推广到极大并滤子；同时从极大并滤子的角度给出分配格的一个新的内部刻画，并证明了其存在性定理；最后研究了Heyting代数中极大并滤子的一个刻画.

1　预备知识

定义1［1］设L是一个偏序集，L的一个非空子集F⊆L，如果F是一个滤子的上集，则称F为L的一个滤子.记L中所有滤子构成的集合为Fil（L）.

定义2［7］设L是一个半格，若F∈Fil（L）满足：存在N∈Fil（L），使得对任意的a∈F，b∈N，有a∧b∈F∪N，则称F为L的一个并滤子.记L中所有的并滤子构成的集合为J-Fil（L）.

由定义2可对偶地给出并理想的定义，L的所有并理想构成的集合记为J-Idl（L）.

定义3［4］设L是格，若对于任意的a、b、c∈L，以下分配律之一成立：

则称L为分配格.

命题［7］格L中并滤子之集J-Fil（L）构成一个分配的完备格，且最大元为L，最小元为｛1｝.

定义4［4］设L是格，F是L的滤子，若对于L的任意滤子J，当F⊆J时，有J=F或J=L，则称F为极大滤子.

注1偏序集L中不一定有极大滤子，例如L=（0，1］.

定义5［4］若F是L的真滤子，并且∀a、b∈L，a∨b∈F⇒a∈F或b∈F，则称F为L的素滤子.

定义6［4］设（L，≤）是偏序集，对于x、a∈L，定义

2　主要结果

定义7设L是格，F是L的并滤子，若对于L的任意并滤子J，当F⊆J时，有J=F或J=L，则称F为极大并滤子.

注2偏序集上的极大并滤子都是极大滤子，但反之未必成立.

对任意的x、y∈H，因H为Heyting代数，且F是一个滤子，于是对F⊆H的元（x，y），有（x→y）∈F，对任意z∈H，有z≤（x→y）⇔z∧x≤y，特别地，取z=（x→y），则有x∧（x→y）≤y，又显然有x∧（x→y）≤x，于是x∧（x→y）≤x∧y.由Heyting代数的定义，可知（x∧y）∧x≤y⇒（x∧y）≤（x→y），又由于（x∧y）≤x，从而x∧（x→y）≥（x∧y）.因此有x∧（x→y）= x∧y，即x∧y为x与（x→y）的一个下界，又因为x∈F，x→y∈F，故x∧（x→y）∈F，于是（x∧y）∈F，所以y∈F.

定义10设L是格，x∈L，F是L的极大并滤子，如果F在不包含a的并滤子中极大，即a∉F，且对于任意的M∈J-Fil（L），F⊆M蕴含x∈M或F=M，则称F为相对于元素a∈L的极大并滤子，简称相对极大并滤子.

推论设F是Heyting代数H的一个相对于x的极大并滤子，则∀y∈F，有（y→x）∉F.

证明∀y∈F，如果（x→y）∈F，则由定理6可得x∈F，这与F是一个相对于x的极大并滤子矛盾，于是（y→x）∉F.

［1］GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K.Continuous Lattice and Domains［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2003.

［2］徐罗山.区间数系的内蕴拓扑及度量表示［J］.扬州大学学报：自然科学版，1999，2（1）：1-5．XU L S.Intrinsic topologies of the interval number system and their metric representations［J］.Journal of Yangzhou University：Natural Science Edition，1999，2（1）：1-5（in Chinese）.

［3］KELLY J L.General Topology［M］.New York：Van Nostrand，1995.

［4］郑崇友，樊磊，崔宏斌.Frame与连续格［M］.北京：首都师范大学出版社，2000.ZHENG C Y，FAN L，CUI H B.Frame and Continuous Lattices［M］.Beijing：Capital Normal University Press，2000（in Chinese）.

［5］姜广浩.分配格的一个内部刻画［J］.模糊系统与数学，2010，24（4）：56-57.JIANG G H.An intrinsic characterization of distributive lattices［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2010，24（4）：56-57（in Chinese）.

［6］姜广浩，蔡锦，韩贵文.偏序集上滤子极大理想的若干注记［J］.吉林师范大学学报：自然科学版，2011，37（3）：11-13.JIANG G H，CAI J，HAN G W.Notes on maximal ideals relative to a filter on posets［J］.Journal of Jilin Normal University：Natural Science Edition，2011，37（3）：11-13（in Chinese）.

［7］朱润秋，卢涛.并滤子及其相关性质［J］.江苏师范大学学报：自然科学版，2013，31（3）：1-3.ZHU R Q，LU T.Join-filters and its relative properties［J］.Journal of Jiangsu Normal University：Natural Science Edition，2013，31（3）：1-3（in Chinese）.

Maximal join-filters and its relative properties

LI He，LU Tao，GAO Shuhong
（College of Mathematics Science，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，Anhui Province，China）

The concept of maximal join-filters is introduced based on maximal filters.A new intrinsic characterization of distributive lattices is obtained.The existence of maximal join-filters is proved.Lastly，the relative properties of maximal join-filters in Heyting algebras is discussed.

maximal join-filters；prime filters；distributive lattices；Heyting algebras

O153.1

A

1671-1114（2016）02-0013-02

2015-07-22

国家自然科学基金资助项目（11171156）.

李贺（1988—），女，硕士研究生.

卢涛（1974—），男，副教授，主要从事拓扑学和范畴论方面的研究.