2016年高考分段函数面面观

刘亮

分段函数是指在不同定义域上有不同对应法则的函数，因而求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”.高考中通常运用分段函数考查分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想.本文通过2016年高考试题总结分段函数的常考题型与解题方法.

1分段函数的基本概念

例1（2016年江苏卷理11）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上f（x）=x+a，-1≤x<0，

25-x，0≤x<1，其中a∈R，若f（-52）=f（92），则f（5a）的值是.

解析 由题意得f（-52）=f（-12）=-12+a，f（92）=f（12）=25-12=110，由f（-52）=f（92）可得-12+a=110，则a=35，则f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+a=-1+35=-25.

规律方法此类问题考查分段函数的基本概念与函数周期性.首先，借助函数周期性将自变量的值转化到分段函数的定义域上；其次，明确分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.解决分段函数求值问题，重点要明确自变量所属区间.

2分段函数中的函数方程思想

例2（2016年山东卷理15）已知函数f（x）=|x|，x≤m

x2-2mx+4m，x>m，其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

图1解析 由题意画出函数图像如图1，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，应4m-m23，即填（3，+∞）.

例3（2016年天津卷理8）已知函数f（x）=x2+（4a-3）x+3a，x<0，

loga（x+1）+1，x≥0（a>0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）

A.（0，23]B.[23，34]

C.[13，23]∪{34}D.[13，23）∪{34}

解析由f（x）在R上递减可知3-4a≥0，

3a≥1，

0

规律方法此类问题以分段函数为载体，考查函数与方程的相关问题，解决此类问题需要利用分段函数的定义整理出不同区间上的函数解析式，然后利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数的零点个数，再将函数零点个数的判断转化为两函数图象交点的个数.例3综合考查了分段函数的单调性与图像等性质.能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.

3分段函数中的分类讨论思想

例4（拓展延伸）已知函数f（x）=|x|，x≤m

x2-2mx+4m，x>m，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

解析 此题是2016年山东卷理15的拓展延伸，将原题中的条件“m>0”去掉，由题意画出函数图像，对m的值进行分类讨论：若m≤0，则方程f（x）=b至多有两个不同的根，要满足存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根应m>0，且4m-m23，即填（3，+∞）.

规律方法分段函数的主要特点就是在不同区间上有不同的对应法则，其本身就蕴涵着分类讨论的思想，通过分段函数可以考查不同类型的函数.因此熟练掌握基本初等函数的性质与图象，准确地进行分类讨论是解决此类问题的重要突破口.

4分段函数中的数形结合思想

例5（2016年北京卷理14）

设函数f（x）=x3-3x，x≤a，

-2x，x>a.

①若a=0，则f（x）的最大值为；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是.

解析 如图2作出函数g（x）=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g′（x）=3x2-3，知x=1是函数g（x）的极大值点，图2①当a=0时，f（x）=x3-3x，x≤0，

-2x，x>0，

因此f（x）的最大值是f（-1）=2；

②由图象知当a≥-1时， f（x）有最大值是f（-1）=2；只有当a<-1时，有a3-3a<-2a，因此f（x）无最大值，所以所求a的范围是（-∞，-1），故填：2，（-∞，-1）.

规律方法此类问题需要准确理解分段函数的最值，分段函数的值域是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集.能准确地画出不同定义域上函数的图象是解决这一类问题的关键.

分段函数是高等数学中常见的函数，为体现高中与大学学习的衔接性，分段函数的考查一直是高考的热点.因此，在高考复习的过程中，熟悉分段函数的概念，掌握基本初等函数的图象与性质，领会函数的基本思想方法，才能完整地解决分段函数相关的问题.