一道数学竞赛题的证明与推广*

●蒋明斌

(蓬安中学校　四川蓬安　637851)



一道数学竞赛题的证明与推广*

●蒋明斌

(蓬安中学校四川蓬安637851)

文章给出2013年摩尔多瓦数学奥林匹克国家队选拔赛一道试题的2个证明，然后给出此题及一个类似题目的推广.

数学竞赛;代数不等式;推广

例1设x,y,z为正实数，求证:

(1)

(2013年摩尔多瓦数学奥林匹克国家队选拔赛试题)

证法1由于式(1)是齐次的，不妨设xy+yz+zx=1，设x2=a,y2=b,z2=c，则a,b,c为正实数，且0

若p≤2，由柯西不等式，并注意到0

若p>2，由0

于是

故不等式(1)成立.

于是

xy+yz+zx>st.

故不等式(1)成立.

由证法1可知，不等式(1)等价于:

命题1设x,y,z为正实数，且xy+yz+zx≤1，则

(2)

另外，当x,y,z为非负实数且xy+yz+zx=1时，不等式(2)可以取到等号(当x,y,z中有一个值为0，另2个值为1时，等号成立).因此，将命题1的条件“x,y,z为正实数，且xy+yz+zx≤1”变为“x,y,z为非负实数，且xy+yz+zx=1”即得2008年全国高中数学联赛江西省预赛试题第14题:

例2已知x,y,z为非负实数，且xy+yz+zx=1，求证:

(3)

此题曾引起广泛关注，笔者在文献[1]和文献[2]中探讨过此题的证明与推广.用例1的证法1可以给出很简洁的证明，同时命题1也可以用此证法进行证明.

命题2已知x,y,z为正实数，α为实常数，且α≥1，则

(4)

证明由于式(4)是齐次的，不妨设xy+yz+zx=1.设xα=a，yα=b,zα=c,由α≥1，0

即不等式(4)成立.

当α≥2时，也可以用例1的证法2证明命题2：

xy+yz+zx>st.

从而

即

于是

sα>xα+zα.

同理可证

显然xα+yα≤sα+tα，因此

故不等式(4)成立.

应用例1的证法2还可以证明以下例3[3]：

例3设x,y,z是非负实数，且x,y,z中最多1个为0，求证:

(5)

(6)

这里我们证明更广泛的结论：

命题3已知x,y,z是非负实数，且x,y,z中最多1个为0，α为实常数，且α≥2，则

(7)

从而

根据命题2的证明，得

sα≥xα+zα,tα≥yα+zα,

从而

xα+yα≤sα+tα，

故不等式(7)成立.

命题1、命题2还可以推广为如下的命题4：

命题4已知x,y,z为非负实数，α,λ为实常数，且α≥1,-1≤λ≤3，则

(8)

证明由于式(8)是齐次的，不妨设xy+yz+zx=1，设xα=a,yα=b,zα=c，由α≥1，得0

当p≤2时，由柯西不等式，得

走遍小镇，也只有一个墓园，透着意外的温馨。石碑一律是洁白纯净的样子，前面摆放着的不仅有装饰性的摆件，还有新鲜不败的花束。这一切的背后，都是因为依然有人深深爱着、惦记着长眠于此的人。

由λ≥-1⟺λ+3≥2及p≤2≤3+λ知不等式显然成立.

若p>2，由0

于是

故不等式(8)成立.

命题5已知x,y,z是非负实数，且x,y,z中最多一个为0，x≥y≥z，其中α,λ,μ为实常数，且α≥2，μ≥0，则

1)当-μ≤λ≤4-μ时，

(9)

(10)

2)当λ>4-μ时，

(11)

(12)

注意到μ≥0，μ+λ≥0，从而

即

故不等式(9)和不等式(10)成立.

即

故不等式(11)和不等式(12)成立.

[1]蒋明斌.一道竞赛题的证法再探[J].数学教学，2011(2):27-28.

[2]蒋明斌.一道数学竞赛题的新证与推广[J].数学教学，2015(7):46-48.

[3]Cirtoaje V.Mathematical inequalities[M].Ploiestl：University of Ploiestl,2015.

�2016-04-05；

2016-05-07

蒋明斌(1963-)，男，四川营山人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O122.3

A

1003-6407(2016)10-46-05