基于高斯混合模型的下行小区间干扰分布

严小军 徐 景 朱元萍 杨 旸 王 江



基于高斯混合模型的下行小区间干扰分布

严小军①③徐 景*①②朱元萍①②杨 旸①②王 江①②

①(中国科学院上海微系统与信息技术研究所 上海 200050)②(上海无线通信研究中心 上海 201210)③(中国科学院大学 北京 100049)

在正交频分多址接入(Orthogonal Frequency Division Multiple Access, OFDMA)蜂窝网络中，小区间干扰的统计特性与网络性能密切相关。下行小区间干扰的累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)还没有一个闭合表达式。该文提出一种参数可显式计算的高斯混合模型对下行小区间干扰分布进行近似。进一步，利用高斯混合模型将下行小区间干扰的累积分布函数近似表示为若干个误差函数的加权和。仿真验证了高斯混合模型的准确性，并且表明基于高斯混合模型的累积分布函数能很好地近似下行小区间干扰的累积分布函数。

无线通信；正交频分多址接入；小区间干扰；高斯混合模型；累积分布函数

1 引言

在正交频分多址接入(Orthogonal Frequency Division Multiple Access, OFDMA)蜂窝网络中，同频复用加剧了小区间干扰。小区间干扰已经成为限制网络性能提升的关键因素之一[1,2]。在码分多址接入网络中，多用户干扰的分布通常可以用高斯分布进行近似[3,4]。在OFDMA网络中，小区间干扰是窄带的，而且干扰源个数有限，因此不能简单地认为小区间干扰是一个高斯随机变量。在未来的无线网络中，基站数目会越来越多，小区间干扰问题将更加严峻。研究小区间干扰统计特性对网络性能分析具有重要意义。

在考虑路径损耗和阴影衰落的OFDMA蜂窝网络中，对于给定用户，下行小区间干扰是若干个对数正态随机变量的和。针对干扰链路阴影衰落相互独立的情形，目前已有文献提出了几种下行小区间干扰的近似分布，包括对数正态近似错误！未找到引用源。[9][10]、对数平移伽玛(Log Shifted Gamma, LSG)近似[12]、皮尔森(Pearson)近似和偏正态(Skew Normal, SN)近似[17]。文献[14,17]中的仿真结果表明在各条干扰链路的阴影衰落标准差比较大或者不同时，对数正态近似无法取得良好的性能。对数平移伽玛近似和皮尔森近似的参数无法显式计算，而且它们的累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)都没有闭合表达式。文献[18]给出了一种数值计算偏正态随机变量的累积分布函数的方法，但是并没有给出一个闭合表达式。文献[10]针对干扰链路阴影衰落具有相关性[19]的情形，使用对数正态分布对干扰分布进行近似。基于矩生成函数匹配法，对数正态近似的参数可通过数值求解非线性方程组得到。迄今为止，仍然没有文献给出同时具有下列两个性质的小区间干扰近似分布：(1)能够在分布的整个支撑区间上都取得良好的性能；(2)参数可显式计算且能用其累积分布函数具有闭合表达式。

本文对考虑路径损耗和阴影衰落的OFDMA网络中的下行小区间干扰分布进行研究，其中干扰链路的阴影衰落之间具有相关性。基于下行小区间干扰分布的偏正态近似，可以得到干扰分布的高斯混合模型。高斯混合模型的参数可通过对数域干扰的近似均值，方差和偏度显式计算。进而干扰的累积分布函数近似表示为若干个误差函数的加权和。

2 系统模型与问题描述

本文所用的干扰分析模型如图1所示，图中使用极坐标系描述网络节点位置。每个小区的半径为，站间距为。服务小区的基站位于坐标原点，与之相连的用户坐标为。第个干扰小区的基站位于。每个基站配置的都是全向天线。用户受到来自个基站的下行干扰，相应的干扰链路用虚线表示。当用户处在服务小区边缘时，小区间干扰较强；当用户靠近基站或处在服务小区中间区域时，小区间干扰较弱。

图1 OFDMA网络下行小区间干扰分析模型

该基站产生的干扰功率可表示为

在本文中，干扰链路的阴影衰落具有相关性。基于文献[20]，第条干扰链路的阴影衰落和第条干扰链路的阴影衰落之间的相关系数为

用户接收到的下行小区间干扰为

可见下行小区间干扰为若干个具有相关性的对数正态随机变量的和。对数域下行小区间干扰可写为

3 下行小区间干扰分布的高斯混合模型

3.1 下行小区间干扰分布的偏正态近似

偏正态分布[17]的表达式为

其中，

3.2高斯混合模型的参数计算

其中，

式(16)可近似成如式(17)所示的高斯混合模型：

表1三阶高斯混合模型参数

表2四阶高斯混合模型参数

表3五阶高斯混合模型参数

其中，

其中，

基于高斯混合模型，可以显式地求出下行小区间干扰的累积分布函数。干扰的累积分布函数可用于求解链路的中断概率[2,23]。

4 仿真结果与分析

本节在宏小区场景[19]下，通过蒙特卡罗(Monte Carlo, MC)仿真与数值计算，研究高斯混合模型的性能，并分析阴影衰落标准差与阴影衰落相关系数的影响。仿真参数如表4所示。

表4仿真参数设置

4.1高斯混合模型

本小节利用KL(Kullback–Leibler)距离[24]比较对数正态近似以及高斯混合模型的性能。对数正态近似方法源于文献[11]，对数正态近似的参数通过矩生成函数匹配方法[10]进行求解，且初始值由芬顿-威尔金森(Fenton-Wilkinson, F-W)方法[25]确定。

表5显示了不同阴影衰落标准差下，对数正态近似以及高斯混合模型与蒙特卡罗仿真结果之间的KL距离。阴影衰落相关系数设定为0.5。高斯混合模型的性能更优，并且对阴影衰落标准差具有鲁棒性。当阴影衰落标准差比较大时，高斯混合模型的准确度至少比对数正态近似的准确度高一个数量级。在不同阴影衰落相关系数下，对数正态近似以及高斯混合模型与蒙特卡罗仿真结果之间的KL距离如表6所示。各条干扰链路的阴影衰落标准差都设定为8 dB。高斯混合模型的性能更优，并且对阴影衰落相关系数具有鲁棒性。当阴影相关系数比较小时，高斯混合模型的准确度比对数正态近似的准确度至少高一个数量级。对数正态近似的性能随阴影衰落相关系数的增大而提高，这是因为当阴影衰落相关系数较大时，各个对数正态随机变量倾向于同时增大或减小，因此下行小区间干扰更趋向于表现为单个对数正态随机变量。

表5不同阴影衰落标准差下对数正态近似以及高斯混合模型的KL距离

表6 不同阴影衰落相关系数下对数正态近似以及高斯混合模型的KL距离

4.2累积分布函数

本小节在如下6种仿真情形下，比较对数正态近似以及高斯混合模型的性能，高斯混合模型的阶数设定为四。

在情形1~情形4下、情形5及情形6下，基于两种近似方法的累积分布函数分别如图2和图3所示。基于高斯混合模型的累积分布函数能很好地近似基于蒙特卡罗仿真的累积分布函数。当各条干扰链路的阴影衰落标准差比较大或不同或阴影衰落相关系数比较小时，基于对数正态近似的累积分布函数明显偏离于基于蒙特卡罗仿真的累积分布函数。

图2 情形1~情形4下基于对数正态近似以及基于高斯混合模型的累积分布函数

图3 情形5~情形6下基于对数正态近似以及基于高斯混合模型的累积分布函数

6种仿真情形下，基于两种近似方法的累积分布函数的均方误差性能如表7所示。基于高斯混合模型的累积分布函数的均方误差性能优于基于对数正态近似的累积分布函数。当阴影衰落标准差较大或不同或阴影衰落相关系数较小时，基于高斯混合模型的累积分布函数的准确度比基于对数正态近似的累积分布函数至少高一个数量级。

表7基于对数正态近似以及基于高斯混合模型的累积分布函数的均方误差性能

5 结束语

本文在干扰链路的阴影衰落具有相关性的场景下，研究了OFDMA网络中下行小区间干扰分布的高斯混合模型。高斯混合模型的参数通过对数域下行小区间干扰的近似均值，方差和偏度显式计算。基于高斯混合模型，给出了下行小区间干扰累积分布函数的闭合近似表达式并进行了仿真对比。仿真结果表明在不同的阴影衰落标准差和阴影衰落相关系数下，高斯混合模型的性能都优于对数正态近似的性能。当阴影衰落标准差比较大或不同或阴影衰落相关系数比较小时，高斯混合模型的准确度至少比对数正态近似的准确度高一个数量级。

参考文献

[1] ELSAWY H, HOSSAIN E, and HAENGGI M. Stochastic geometry for modeling, analysis, and design of multi-tier and cognitive cellular wireless networks: A survey[J].&, 2013, 15(3): 996-1019. doi: 10.1109/SURV.2013.052213.00000.

[2] GONG Zhenhua and HAENGGI M. Interference and outage in mobile random networks: Expectation, distribution, and correlation[J]., 2014, 13(2): 337-349. doi: 10.1109/TMC.2012.253.

[3] MORAITIS N and PANAGOPOULOS A D. Multiple airborne radio interference to cellular networks: Statistical modeling approach[J]., 2013, 28(11): 21-27. doi: 10.1109/MAES. 2013.6678489.

[4] MOONTAHA S, AKTER F, RAHMAN F,. BER performance of DS-CDMA system over a multipath Rayleigh fading channel considering path gain component and noise variance[C]. Proceedings of the IEEE International Conference on Electrical Engineering and Information Communication Technology, Dhaka, 2015: 1-5.

[5] ANDREWS J G, BUZZI S, CHOI W,. What will 5G be[J]., 2014, 32(6): 1065-1082. doi: 10.1109/JSAC.2014.2328098.

[6] CHEN Shanzhi and ZHAO Jian. The requirements, challenges, and technologies for 5G of terrestrial mobile telecommunication[J]., 2014, 52(5): 36-43. doi: 10.1109/MCOM.2014.6815891.

[7] HOSSAIN E, RASTI M, TABASSUM H,. Evolution toward 5G multi-tier cellular wireless networks: An interference management perspective[J]., 2014, 21(3): 118-127. doi: 10.1109/MWC. 2014.6845056.

[8] FENTON L F. The sum of log-normal probability distributions in scatter transmission systems[J]., 1960, 8(1): 57-67. doi: 10.1109/TCOM.1960.1097606.

[9] BEAULIEU N C and XIE Qiong. An optimal lognormal approximation to lognormal sum distributions[J]., 2004, 53(2): 479-489. doi: 10.1109/TVT.2004.823494.

[10] MEHTA N, WU Jingxian, MOLISCH A,. Approximating a sum of random variables with a lognormal [J]., 2007, 6(7): 2690-2699. doi: 10.1109/TWC.2007.051000.

[11] SUNG K W, HAAS H, and MCLAUGHLIN S. A semi- analytical PDF of downlink SINR for femtocell networks[J]., 2010, 2010(5): 1-9. doi: 10.1155/2010/256370.

[12] LAM C and LE-NGOC T. Log-shifted gamma approximation to lognormal sum distributions[J]., 2007, 56(4): 2121-2129. doi: 10.1109/ TVT.2007.897662.

[13] NIE Hong and CHEN Shaohua. Lognormal sum approximation with type IV Pearson distribution[J]., 2007, 11(10): 790-792. doi: 10.1109/LCOMM.2007.070842.

[14] ZHANG Qitu and SONG S H. A systematic procedure for accurately approximating lognormal-sum distributions[J]., 2008, 57(1): 663-666. doi: 10.1109/TVT.2007.905611.

[15] RENZO M D, GRAZIOSI F, and SANTUCCI F. Further results on the approximation of log-normal power sum via Pearson type IV distribution: a general formula for log-moments computation[J]., 2009, 57(4): 893-898. doi: 10.1109/ TCOMM.2009.04.070133.

[16] YANG Jun and WANG Ning. A simple Pearson distribution based detector with applications to time-hopping multiuser UWB receiver design[C]. Proceedings of the IEEE Wireless Communications and Networking Conference, Shanghai, 2013: 2591-2596.

[17] LI Xue, WU Zhijin, CHAKRAVARTHY V,. A low- complexity approximation to lognormal sum distributions via transformed log skew normal distribution[J]., 2011, 60(8): 4040-4045. doi: 10.1109/TVT.2011.2163652.

[18] PATEFIELD M and TANDY D. Fast and accurate calculation of Owen’s t function[J]., 2000, 5(5): 1-25. doi: 10.18637/jss.v005.i05.

[19] 3GPP TR 36.814-2010. Evolved universal terrestrial radio access(EUTRA); further advancements for E-UTRA physical layer aspects[S]. 2010.

[20] ETSI TR 125 996-2010. Universal mobile telecommunications system (UMTS); spacial channel model for multiple input multiple output (MIMO) simulations[S]. 2010.

[21] ABRAMOWITZ M and STEGUN I A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables[M]. New York: Dover, 1972: 923-924.

[22] HYVÄRINEN A, KARHUNEN J, and OJA E. Independent Component Analysis[M]. New York: John Wiley & Sons, 2001: 36-43.

[23] ZHANG Tiankui, AN Lu, and CHEN Yue. Aggregate interference statistical modeling and user outage analysis of heterogeneous cellular networks[C]. Proceedings of the IEEE International Conference on Communications, Sydney, 2014: 1260-1265.

[24] COVER T M and THOMAS J A. Elements of Information Theory[M]. New York: John Wiley & Sons, 2006: 19-20.

[25] ABU-DAYYA A and BEAULIEU N C. Outage probabilities in the presence of correlated lognormal interferers[J]., 1994, 43(1): 164-173. doi: 10.1109/25.282277.

Distribution of Downlink Inter-cell Interference Based on Gaussian Mixture Model

YAN Xiaojun①③XU Jing①②ZHU Yuanping①②YANG Yang①②WANG Jiang①②

① (,,200050,)②(,201210,)③(,100049,)

In Orthogonal Frequency Division Multiple Access (OFDMA)-based cellular networks, the statistical characteristics of the Inter-Cell Interference (ICI) are closely related to network performances. There is no closed-form expression for the Cumulative Distribution Function (CDF) of the ICI. The Gaussian Mixture Model (GMM) whose parameters can be computed explicitly is proposed to approximate the distribution of the downlink ICI. Then using the GMM, the CDF of the ICI is approximated as the weighted sum of some error functions. Simulation verifies the accuracy of the GMM and shows that the CDF based on the GMM can well approximate the CDF of the ICI.

Wireless communications; Orthogonal Frequency Division Multiple Access (OFDMA); Inter-cell interference; Gaussian Mixture Model (GMM); Cumulative Distribution Function (CDF)

TN929.5

A

1009-5896(2016)10-2598-07

10.11999/JEIT151459

2015-12-24；改回日期：2016-05-19；网络出版：2016-07-14

徐景 jing.xu@wico.sh

国家自然科学基金(61571303)，国家科技部国际合作项目(2014DFE10160)，国家重大专项(2015ZX03002004)，上海市科委项目(15511103200)

The National Natural Science Foundation of China (61571303), The International Science and Technology Cooperation Program of China (2014DFE10160), The National Science and Technology Major Project (2015ZX03002004), The Science and Technology Commission of Shanghai Municipality (15511103200)

严小军： 男，1989年生，博士生，研究方向为无线网络路损统计特性分析及建模.

徐 景： 男，1975年生，研究员，研究方向为小区间干扰抑制、干扰建模、协作通信和软件定义无线网络.

朱元萍： 女，1987年生，助理研究员，研究方向为无线网络资源分配及统计建模.

杨 旸： 男，1974年生，研究员，研究方向为无线自组织网络、无线传感器和MESH网络、下一代移动蜂窝系统、智能交通系统和无线测试验证平台开发.

王 江： 男，1976年生，副研究员，研究方向为未来无线通信系统同频组网、无线资源管理、跨层优化和B4G/5G架构设计及标准化.