动力学积分保辛的数学根据

钟万勰

摘要： 用最小作用量变分原理来解释保辛，对于连续时间系统、离散时间系统、有限元法、结构力学、最优控制和动力学计算等，可以通用的.

关键词： 保辛； 最小作用量变分原理； 动力系统

中图分类号： O313文献标志码： A

Abstract： The symplecticity can be explained by the least action variational principle. It can be applied to the continuous or discreted transient system， finite element method， structural mechanics， optimum control， dynamical integration， and so on.

Key words： symplecticity； least action variational principle； dynamical system

作者本人出身于同济大学土木专业，结构力学是本行，对辛数学的研究是从结构力学与最优控制的模拟关系切入辛代数的.钱令希先生为著作《计算结构力学与最优控制》[3]作序时指出：“力学工作者应首先虚心地汲取状态空间法成功的经验，重新认识哈密尔顿体系理论的深刻意义，以及随之而来的辛数学方法及其对应用力学的应用.”这表明钱先生的高瞻远瞩——把方向走对特别重要.超级大国大讲精确打击、反导等，可见控制的重要性.动力学不是结构力学，文献[4]就给出动力学与结构力学的模拟关系.因此，结构力学以及动力学与控制可在同一套Hamilton体系的数学下予以处理，而Hamilton体系正是在动力学范围内发展的.

数值求解若拘泥于差分格式，以至于提出“approximate symplectic algorithms cannot preserve energy for nonintegrable system”[5]的误判，不行！

有限元法是先从结构力学开始的，效果很好，有大规模程序系统的支持，已经成为工程师手中不可缺少的工具.问题是有限元法的基础正是变分原理，但这与动力学的保辛又有何关系呢？别忘记，变分法正是从动力学开始发展的.

首先明确，保辛是对于近似解而言的.动力学列出微分方程相对还容易掌握，而要予以分析求解，对一般问题就非常困难.虽然许多大数学家成世纪地努力，也未能解决，于是只能寻求离散近似数值解.保辛是动力学的概念，动力学需要用初值条件，所以离散后成为传递辛矩阵；而结构力学位移法有限元的概念是对称刚度阵.对称矩阵可转换到状态向量的传递辛矩阵的形式[6].

离散后仍然有离散近似系统的区段（ta，tb）两端状态向量的传递矩阵.保辛的要求是：离散后其传递矩阵仍然是辛的，即仍然是两端状态向量的传递辛矩阵.保辛强调：传递辛矩阵相当于其区段两端位移的刚度阵是对称的，因对称刚度阵所对应的传递矩阵一定是辛矩阵.离散后，有限元法插值提供对称区段刚度矩阵，虽然不是精确的；对应地，其传递矩阵却一定是辛矩阵，当然数值上也是近似的，但达到保辛.有限元法近似的效果早已被实践证实，其实就是动力学近似传递辛矩阵，两方面是一致的，其效果当然也是好的.然而，还有问题：有限元法针对结构力学，而保辛针对动力学，两者是否一致呢？

以上只是从对称矩阵与传递辛矩阵的变换角度解释保辛.然而，文献[6]还从几何的角度讲解了欧几里得几何以及辛的几何、度量矩阵等.再说，中国古代的大数学家祖冲之对于圆周率π计算的成就（中国古数学之根），也应挖掘出来为今天所用，这就与几何有关系了.所以，概念还得更深入些.

众所周知，按照平面欧几里得几何，给定两点qa与qb之间的短程线是其连接直线.古代数学家祖冲之的具体算法（称为“缀术”）已经失传，但用了割圆法是肯定的.估计他用了欧几里得几何两点qa与qb之间的短程线是其连接直线这一结果.

到了动力学的状态空间，情况当然不同.然而，时间区段（ta，tb）两端状态点之间取短程线的概念与“动力学状态空间两端Va与Vb间的短程线”相同，这就推广到了动力学.用到DAE时可称为祖冲之类算法.短程线的“程”其实就是时间区段作用量S；S的表达式有

（3）式（2）与（3）相同.事实上，Hamilton正则方程可从最小作用量原理式（3）推出.泛函式（2）的自变函数只有位移向量函数q；进行Legendre变换，就从单纯位移到Hamilton体系位移动量状态空间（q，p）的式（3）.最小作用量原理是将式（2）或（3）取最小，这也是变分原理的形式.于是有限元法的近似就可使用了，虽然是近似，但其误差是时间区段长度的高阶小量，而有限元法得到的刚度阵一定对称，也就是保辛.然而，辛群针对的是状态空间.时间区段划分得更密时，就更接近于真实解，所以说保辛就可保证区段作用量最小.时间有限元就是在变分原理式（2）上做的，保辛的根据就是最小作用量变分原理.

既然是近似传递辛矩阵，仍不免有问题.近似解（假的）对精确解（真的）总是有问题的.Poisson提出，n维动力学系统有n个首次积分（First integral）的解，其实就是系统的守恒量，例如能量守恒就是一个首次积分.n个首次积分难以全部求出分析解，其中只有m（m