让数学自然地流淌

王晓炜

[摘 要] 数学知识是有限的，然而由其组成的题目却是无限的；教师用经典题型对学生进行指导，是培养数学思考能力，实现知识迁移的重要因素. 所以在数学的教学工作中，除了要教会学生掌握基础的数学知识，更重要的工作是培养学生具备更高的知识迁移能力. 本文就如何通过经典例题实现知识迁移这一问题进行分析，结合高中数学，论述对学生知识迁移能力的培养和学生思维障碍的解决、创新性思维培养等方面问题.

[关键词] 高中数学；经典例题；知识迁移

教育的目的不是单纯将教材上的知识完完整整地教授给学生就算完成教学任务了，而是培养学生具备更高的学习能力，将学的知识能运用到新的学习中去，甚至在以后的生活和工作中都能得到应用；这种能力培养属于知识迁移的范畴，在这一培养过程中，合理的教学方法不仅可以实现知识迁移的目的，同时能锻炼学生的创新型思维模式，更好地提升学生的综合学习能力. 本文结合高中数学中经典例题的教学和练习，来分析知识迁移的实现过程.

通过开放性题型练习，分析知识的形成

在高中数学的教学过程中，对学生进行知识迁移能力的培养，首先要加深学生对知识的理解程度，注重对基本概念的教学，避免学生养成机械性学习的模式或概念.其次培养学生形成更高的概括能力，以形成自己的知识体系，促使学生对数学思想有更深入的理解. 对学生数学思想的教学与灌输切不可生搬硬套、牵强附会，在由浅入深的过程中，潜移默化地使学生的思想逐渐有所转变. 再次，要有全局和整体的观念，注意将已学过的知识进行系统的整理，便于学生巩固和复习，比如对函数、方程、不等式等知识点的思想和性质的总结. 最后，提倡学生发散思维的培养，对于复杂多变的众多数学知识，引导学生养成一题多解、一解多题的思维方式.

思维定式是实现知识迁移的关键障碍，学生需要克服常规、惯性的思维定式，向灵活多变、一题多解、一解多题的方向去发展，在这样的过程中锻炼思考能力，开阔思路，更利于知识迁移的实现. 比如在二次函数的教学中，为对函数这一概念重点分析讲解，采用开放性习题设置的方式，对例题进行设定，选学生板演.

1. 基础题型设计

首先让我们来看一下这样的常规题型：已知函数f（x），满足f（x）=4x2+5x+6，求f（x）+1.

结合基础知识的学习，函数的基本概念为：非空数集A中的每个元素在对应法则f的作用下，在非空数集B中都有唯一的一个元素与它相对应. 根据定义结合已知条件，我们可以很容易知道f（x+1）是f作用下（x+1）中的对应值；所以可以得出f（x+1）=4（x+1）2+5（x+1）+6=4x2+13x+15.

在对基础知识有初步的掌握后，适当增加练习题的难度.

2. 同题型之间的知识迁移

变式1：已知函数f（x+1）=x2-4x+7，求f（x）.

很容易想到“配凑法”：可以用配方的形式进行配凑f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+12，然后将x+1替换成x；或者可以用“换元法”：如设x+1=a，则x=a-1. 由此得出：f（a）=（a-1）2-4（a-1）+7=a2-6a+12. 将a用x替换，最终可以得到f（x）=x2-6x+12.

3. 不同题型之间的知识迁移

变式2：求函数f（x）=x+的值域.

此题可以选用“换元法”：令t=，建立x与t的一一对应关系，从而将函数化为关于t的二次函数，进而转化成二次函数的最值问题.

变式3：求函数f（x）=sinx+cosx-sinxcosx-2的最值.

此题通过同角三角函数的公式（sinx+cosx）2=1+2sinx·cosx，可以找到sinx+cosx与sinx·cosx的一一对应关系，通过换元的方式，令t=sinx+cosx=·sinx+，得到sinx·cosx=，进而将函数转化为关于t的二次函数在定区间上的最值问题.

在以上例题的求解中，无论是用了“配凑法”，还是“换元法”，其实都是源于学生对于函数概念中两个非空数集之间“单值对应”的理解与应用，在解题过程中不知不觉地完成知识的迁移.所以，我们在数学学习中，应该注重基本概念的、基本原理的理解，注重数学思想方法的掌握，这样才能够让学生更容易、更广泛地实现知识的迁移.

数学与其他学科之间的知识迁移

数学知识作为一种基础学科，在其他学科中有着广泛的用途，数学王子高斯曾说：“数学是科学的女王”；伽利略也说过：“只有用数学才能参透大自然这本神秘的书籍”，可见数学在科学和经济的发展中所占地位之高.

函数y=sin（ωx+φ）在电学、弹簧振子运动等物理现象中的应用，不仅可以实现数学与物理跨学科的知识的迁移，而且物理中的电学，弹簧振子运动的实验现象又给了三角函数y=sin（ωx+φ）在一个形象生动的诠释. 试想一下，如果在数学课上多介绍数学知识在各学科之间的迁移，那我们的课堂还会枯燥么？让学生用数学的眼光来看待世界，那我们的学生的应用创新的能力还会差么？

生活原理与数学知识的相互迁移

学以致用是学习的最终目标，将学习的理论知识在实际生活中加以运用，既是教学效果的体现，同时也丰富了学生的实际生活. 所以在数学的课堂教学上，不仅要注重理论知识的讲解灌输，还要注重引导学生将教材知识运用于实际生活当中. 在课堂教学中引入与当下社会、生活相关的因素作为习题，锻炼学生的实践能力.

为学生设置一个情境，让学生根据已学习的数学知识进行分析，通过多方面、多角度的讨论和计算，选出最合适的方案，比如与三角函数相关的一个研究性学习的问题. 某小区共33层，每层高度为3米（如图1），每栋楼之间的距离为60米；已知冬至当天影子长度最大，如果想要全天都能有良好的采光，买房时最低要选择第几层？

图1

结合数学知识来说，这是很典型的三角函数题；学生虽然有一定的三角函数基础，但真正遇到这样的题目多少还是有些不知所措，同时日照的数据也受到了当地的季节地域关系的限制，不知道该从哪儿入手解题，所以教师在题目设定之后，先让学生通过网络等多个途径去寻找数据. 通过老师的指导在解决这一问题的过程中，有个关键的解题难点，即60米的楼间距是前楼高度为多少投射出的阴影？进而构造解决问题的函数模型如图2.

图2

根据学生搜集的数据可知：冬至当天影子长度最大，又结合地理知识可以得出冬至日该小区的太阳高度角为∠EDA，相应可以得出前楼的高度为60·tan∠EDA米，进而可以得出，满足全天采光要求需要选择的99-60·tan∠EDA以上的高度，最终得出最低要购买哪一楼层.

经过这样题型的分析和运算，可以将学生原有的理论知识与现实生活中的问题进行结合，不仅巩固提升三角函数的知识，更是引导学生形成理论与实践相结合的思想. 长期累积，可以更好地将数学思想融入实际生活中去，实现知识迁移的目的.

对提高数学知识迁移能力的几点建议

提高数学知识迁移能力的有效手段无疑是结合经典例题，进行强化练习，从而起到知识迁移的作用. 在高中数学的教学过程中，通过经典例题实现知识的迁移，除了上述的两种开放性题型设置、理论与现实结合的题型设计，还有比如联想迁移、转化迁移、多解迁移和多变迁移等实现方式. 因为数学本身具有较高的复杂性和多变性，所以为更好地实现知识迁移的目的，采用多种方式来加强学生的知识迁移能力，不失为一种有效的手段.

由于数学知识有一定的相似性，所以它们之间存在的迁移可能性较大，联想迁移是一种具有创造性的思维活动，这一迁移能力建立在一定的逻辑思维基础之上，教师可以根据这一特点，引导学生养成举一反三的学习能力. 例如：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证：ac+bd≤1. 这道源于教材的题目是隶属于解不等式范畴的题型，解决它的方法有很多.

解法一：根据函数的对应以及三角函数的相关知识，我们将a与cosα、b与sinα建立一一对应的关系，即将a2+b2=1转化成cos2α+sin2α=1，同理，将c2+d2=1转化成cos2β+sin2β=1，则ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1，所以ac+bd≤1.

解法二：设p=（a，b），q=（c，d），则p·q≤p·q，即ac+bd≤·，

所以ac+bd≤1.

在这道题目的求解过程中无论是解法一：不等式向三角函数的迁移；还是解法二：利用向量数量积的相关知识迁移至不等式的证明中. 以上两种解法显然较其他解法来得更为精炼与自然，而这就是数学知识迁移的魅力所在.

写在最后

总的来说，迁移的实质是概括，数学思想方法是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，是对数学知识的理性认识.教师对经典例题的讲解、分析，并指导学生练习是实现数学知识的迁移的关键. 所以教师在实际的教学过程中，一定要根据学生的实际情况进行迁移能力培养方法的设定，对教学内容做好选择与整合，引导学生更好地掌握数学知识的精髓.

？摇？摇对于数学知识由同一学科的知识迁移，到不同学科的知识迁移，由理论知识的学习到生活中的应用，不仅体现了学生强化学科知识的需要，培养学生创新能力的需要，更是数学知识本身教学的需要. 布鲁纳指出掌握数学思想和方法能使数学更容易理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通往迁移的“光明之路”. 让我们指导学生走上这条光明之路，让数学在学生的思想与生活中自然地流淌！