实二次Euclid域中不定方程的整数解

许宏鑫，赵西卿

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安　716000)



实二次Euclid域中不定方程的整数解

许宏鑫，赵西卿

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安716000)

利用实二次Euclid域中的相关理论及二次代数整数环中的算术基本定理研究了不定方程x2+D=4y5(D=-6,-7,-37)的可解性问题，得到了该类方程的一般解法，并证明该方程当D=-6,-7,-37时均无整数解。

实二次Euclid域；不定方程；整数解

(1)

1　预备知识

引理 2[1]设D满足引理1的条件，及

2　定理及其证明

定理1不定方程

(2)

无整数解。

(3)

或

(4)

若式(3)成立，则

所以

(5)

由式(5)可知：b=1,2t(1≤t≤4)。

① 当b=1时，方程5a4+60a2+20=0无整数解。

② 当b=2t(1≤t≤4)时，由于24≡24(mod25)，b(5a4+60a2b2+36b4)≡0(mod25)矛盾，因此不定方程式(2)在式(3)的分解下无整数解。

若式(4)成立且当k=1时，有：

化简有：

(6)

由式(6)可知：24≡24(mod25),而±(2a5+25a4b+120a3b2+300a2b3+360ab4+180b5)≡0(mod25) 矛盾，因此式(6)无整数解。

同理可证：当k取不等于1的其他整数时，式(6)仍无整数解。

定理2不定方程

x2-7=4y5,x,y∈Z

(7)

无整数解。

(8)

或

(9)

若式(8)成立，则

所以

(10)

由式(10)得：b=1,2t(1≤t≤4)。

① 当b=1时，方程5a4+70a2+33=0无整数解。

② 当b=2t(1≤t≤4)时，由于24≡24(mod25)，b(5a4+70a2b2+49b4)≡0(mod25)矛盾，因此由对①和②的讨论可知，不定方程(7)在式(8)的分解下无整数解。

若式(9)成立，且当k=1时，有

化简得：

(11)

由式(11)可知：24≡24(mod25)，而±(3a5+40a4b+210a3b2+560a2b3+735ab4+392b5)≡0(mod25) 矛盾，所以式(11)无整数解。

同理可证：当k取不等于1的其他整数时，式(11)仍无整数解。

定理3不定方程

x2-37=4y5,x,y∈Z

(12)

无整数解。

(13)

或

(14)

若式(13)成立，则有

(a5+370a3b2+6 845ab4)+

所以

(15)

由式(15)得：b=1,2t(1≤t≤4)。

① 当b=1时，方程5a4+370a2+1 353=0无整数解。

② 当b=2t(1≤t≤4)时，由于24≡24(mod25),b(5a4+370a2b2+1 369b4)≡0(mod25) 矛盾。因此不定方程(12)在式(13)的分解下无整数解。

若式(14)成立，且当k=1时，有：

化简得：

(16)

由于a≡b(mod2)，那么有a≡b≡0(mod2)或a≡b≡1(mod2)成立，又由式(16)可知：

① 当a≡b≡0(mod2)时，则24≡24(mod25)，而±(a5+30a4b+370a3b2+2 220a2b3+6 845ab4+8 214b5)≡0(mod25)矛盾，此时式(16)无整数解。

② 当a≡b≡1(mod2)，且当x≤100时，经验证式(16)无整数解。同理可证当k取不等于1的其他整数时，式(16)仍无整数解。

[1]潘承洞,潘承彪.代数数论[M].2版.济南:山东大大学出版社,2001.

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[3]王振,李小燕.关于不定方程x2+11=4y3[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2009,26(6):551-552.

[4]邬毅.关于不定方程x2+11=4y5的唯一正整数解[J].高师理科学刊,2006,26(2):7-8.

[5]邬毅.Euclid域中Diophantus方程的整数解[J].数学杂志,2015,35(4):1012-1016.

[6]拓小泉,王彩宁,郭金保.关于不定方程x2+1=Dy3(D∈N)解的存在性讨论[J].延安大学学报(自然科学版),2012,31(4):7-8.

[8]邬毅.关于二次域理论求解一类Diophantus方程的整数解[J].数学杂志,2015,35(5):1197-1200.

[9]邬毅.Euclid域中丢番图方程整数解的进一步讨论[J].重庆理工大学学报(自然科学),2016,30(5):132-134.

[10]赵彩虹.关于几类不定方程整数解的研究[D].延安:延安大学,2014.

(责任编辑刘舸)

IntegerSolutionofDiophantineEquationonRealQuadraticEuclidField

XUHong-xin,ZHAOXi-qing

(CollegeofMathematicsandComputerScience,Yan’anUniversity,Yan’an716000,China)

WestudiedthesolvabilityofDiophantineequationx2+D=4y5(D=-6,-7,-37)byusingthetheoriesontherealquadraticEuclidfieldandthefundamentaltheoremofarithmeticintheringofalgebraicinteger,andfinally,weobtainedthegeneralmethodsofsolvingthisclassofDiophantineequationandprovedthattheequationdidn’thaveintegersolutionwhenD=-6,-7,-37.

realquadraticEuclidfield;Diophantineequation;integersolution

2016-07-04

国家自然科学基金资助项目(11471007)；陕西省科技厅自然科学基金资助项目(2013JQ1019);延安大学自然科学专项基金资助项目(YDZ2013-05);延安大学研究生教育创新计划项目(YCX201613)

许宏鑫(1989—),女,陕西靖边人,硕士研究生,主要从事不定方程与数论函数方程的研究；通讯作者 赵西卿(1965—), 男,副教授,主要从事解析数论研究，E-mail:ydzhaoxiqing@126.com。

format：XUHong-xin,ZHAOXi-qing.IntegerSolutionofDiophantineEquationonRealQuadraticEuclidField[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience)，2016(9):151-155.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.09.025

O156.7

A

1674-8425(2016)09-0151-05

引用格式：许宏鑫,赵西卿.实二次Euclid域中不定方程的整数解[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2016(9):151-155.