例谈直线斜率在解题中的应用

张德根

摘要：直线的斜率涉及到三角函数的值域、数列问题、线性规划问题、三点共线问题、不等式问题、导数的几何意义等方面。学生熟练掌握了利用直线斜率来处理数学问题，对开拓思维、提高解题能力具有积极意义。

关键词：数学教学；直线斜率；应用

一、应用直线斜率求三角函数的值域

求函数的值域要与斜率结合起来，必须从函数的表达式结构上进行分析、转化，使之与斜率的定义及相关公式发生联系。如例l，求函数y=（sin e+1）/（cor 0+2）的值域；教师可指导解题：因为函数可变形为y=（sin 0-（-1））/（cor 0-（-2）），所以y可看作点A（-2，-1）与点B（C0S 0，sin 0）连线的斜率。点B是曲线（x=sin 0且y=cor 0）上的点，即x2+y2=l。该过点A的直线L：y+l=k（x+2），由相切条件△=0或圆心0（0.0）到直线L的距离等于1。即d=1，解得k=4/3或k=0。函数y（sin 0+1）/（cor 0+2）的值域为[0，4/3]。

二、应用直线的斜率解决与数列有关的问题

当等差数列{an}的公差不为O时，通项an=dn+（a1-d）和Sn/n=d/2.n+（a-d/2）都是关于n的一次式。点列（n，an）和点列（n，Sn/n）都分别是直线上的点。这样就可利用直线的斜率解决与数列有关的问题。如例2，在等差数列{an}中，a3=6，a8=21，求数列{an}的通项。教师可指导解题：从函数的观点来看，在等差数列中，通项an是自变量n的一次函数，则两点（3，a3）和（8，a8）即（3，6）和（8，21）都在一次函数所对应的直线上。直线斜率为：k（=（a8.a3）/8.3=（21-6）/5=3。由直线方程的点斜式可得：an-6=3（n-3）整理得an=3（n-1），所以数列{an}的通项为an=3n-3。

三、应用直线的斜率解决目标函数的最值问题

一般地，形如（y-b）/（x-a）的目标函数，可视为行域中的点M（x.y）与定点N（a.b）连线的斜率。如例3，设变量x，y满足约束条件y>x-1且y>-x+1且0

四、应用直线的斜率求直线的倾斜角

经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用。

五、应用直线的斜率证明三点共线问题

证明三点共线的有多种方法，比如利用：[AB]+[BC]=[AC]（距离法）。利用定比分点坐标知识与直线方程法等，而证明已知坐标三点共线，利用斜率是一种较为简单的方法。如例5，已知三点A（1，-1），B（3，3），c（4，5），求证：三点在一条直线上。教师可指导证明：KAB=（1-3）/（1-3）=1/2，KBC=（3-4）/（3-5）=1/2，KAB=KBC。又AB与BC有一公共点BA、B、c三点在同一直线上。

六、应用直线的斜率解决与不等式有关的问题

将不等式问题通过变形，构造出斜率公式。利用数形结合的思想将不等式问题转化为比较斜率的大小，使问题直观简捷地解决。但须注意画辅助图形时要尽量画得准确些。如例6：已知a，b，m∈R+，且aa/b。教师可指导学生证明：不等式的左边可变形为：

（a+m）/（b十m）=（a-（-m））/（b-（-m）），其几何意义为点A（b，a）与点M（-m，-m）连线的斜率，因为00，所以点M（-m，-m）在第三象限直线y=x上。连接0A，MA则K0A=a/b，KMA=（a+m）/（b+m），由图解可知MA、0A的倾斜角都为锐角，且直线MA的倾斜角大于直线0A的倾斜角，所以KMA>K0A，即（a+m）/（b+m）>a/b。此外，教师还可以利用应用直线的斜率求变量或参数范围等问题。