社会再生产的总资本最高利润率与抵达路径——基于马克思社会再生产公式的解析

陶为群

（中国人民银行南京分行，江苏南京210004）

社会再生产的总资本最高利润率与抵达路径
——基于马克思社会再生产公式的解析

陶为群

（中国人民银行南京分行，江苏南京210004）

运用马克思社会再生产公式中的总资本利润率函数，把寻求社会总资本最高利润率转化成一个社会总资本结构优化问题。社会总资本最高利润率属于动态经济学范畴的问题，因此只有在生产生产资料的部类资本利润率高于另一部类的条件下，通过使该部类优先增长，提高该部类资本占社会总资本的比重，才能提高总资本利润率。根据按比例发展原理，生产生产资料的部类资本占社会总资本的比重应当存在一个上限，因而应当存在社会总资本的最高利润率。在厘清认识的基础上，举例计算验证社会扩大再生产的总资本最高利润率和抵达路径。

社会再生产；最高利润率；结构优化；路径

一、对于社会总资本最高利润率问题的认识

马克思在《资本论》中指出：“资本的总公式是GW-G'；这就是说，一个价值额投入流通，是为了从流通中取出一个更大的价值额。这个更大价值额的产生过程，是资本主义的生产；这个更大价值额的实现过程，是资本的流通。资本家生产商品，不是为了商品本身，不是为了商品的使用价值或他的个人消费。资本家实际关心的产品，不是可以摸得着的产品本身，而是产品的价值超过在产品上消费的资本的价值的余额。资本家预付总资本时并没有考虑它的各个组成部分在剩余价值的生产上所起的不同作用。”［1］剩余价值是利润的本质，利润是剩余价值的转化形态。利润是商品经济社会存在着的一个客观经济范畴。在市场经济条件下，使资本更多增殖是一种内在要求，因此从理论上说，社会总资本具有利润最大化和追逐最高利润率的取向。

根据马克思社会再生产理论，社会总资本的利润率是全社会的利润与社会总资本的比率。因为全社会的利润是各个生产部门的利润之和，而各个生产部门的利润又是本部门的资本利润率与资本的乘积，所以社会总资本的利润率也是各个生产部门的利润率以该部门的资本在社会总资本中所占比重加权的平均数。从这个意义上说，社会总资本的利润率也就是全社会资本的平均利润率。根据马克思在《资本论》中的论述，一般的政治经济学教科书指出：在剩余价值率不变的情况下，资本有机构成的提高会导致平均利润率的下降。同时也指出对于这一论断长期以来存在不少质疑［2］。段宾构建了一个资本利润率的函数，提出资本利润率与资本生产率、就业者资本装备率成正比，与平均工资成反比［3］。朱奎提出：利润率趋于下降规律以剩余价值增长率严格小于积累利润率为前提条件，资本有机构成不断提高不但在理论上无法证实，在实践中也无法得到统计验证［4］。冯金华提出：以往的许多研究都没有充分地考虑生产函数的作用和利润最大化的要求。按照利润最大化的要求以及给定其他一些相当宽松的条件，利润率的变化趋势将完全取决于生产函数的具体形式［5］。马艳指出：马克思在假定技术进步主要作用于劳动客观条件、技术进步只影响资本构成的外延式变化和剩余价值率不变的情况下，得出了平均利润率将呈下降趋势的结论，对这一结论的质疑与辩护主要集中于原假设的争论上。她进而引入了内涵式资本有机构成、剩余价值率可变等新假设，构建了一个平均利润率动态变化理论模型［6］。郑志国提出：实际利润率受多种作用方向不同的因素影响，有些因素引起利润率平均化，还有些因素引起利润率非平均化。这些因素的作用使投入不同部门的等量资本难以获得等量利润［7］。冯金华又提出：随着资本的流动，只有当一个部门中具有代表性的典型企业的利润率随产量的增加而增加时，资本的流动才会促进整个社会的利润平均化；反之资本的流动将会使不同部门之间的利润率差别进一步扩大［8］。陈勇勤提出：马克思平均利润率模型是和均衡经济相关联的，但“均衡”只能是假定均衡，现实中却是实际非均衡。平均利润率下降趋势问题还有深入研究的空间［9］。以上这些研究的结果都为研究社会再生产的总资本最高利润率提供了重要的启示。

社会总资本的利润率是在社会再生产过程中形成的，马克思社会再生产公式提供了研究社会总资本的利润率形成与变化的基本工具。在经典的马克思社会再生产公式中，社会生产部门划分成生产生产资料、生产消费资料的两大部类，分别记为第Ⅰ部类、第Ⅱ部类。两个部类的资本有机构成、资本利润率都保持固定不变，并且一般都不相同。这与现实中不同的生产部门有不同的资本利润率的情况是吻合的。因而，投入在不同部类的等量资本一般不能获得等量利润。根据马克思社会再生产公式，总资本利润率是社会总资本在两个部类之间分布结构的函数，当且仅当形成最优的分布结构时，社会总资本能够获得最高利润率。所以从数学形式上看，社会总资本的最高利润率问题是以总资本利润率作为目标函数的资本结构优化问题。

二、对于存在社会总资本最高利润率与抵达路径的基本分析

关于社会再生产的总资本最高利润率与抵达路径的研究，需要思辨四个方面的内容。第一，需要明确社会总资本最高利润率属于动态经济学范畴的问题。动态经济学要研究经济变量如何随时间变化而演变，因为社会总资本在两个部类之间分布结构的变化是在社会持续扩大再生产的过程中实现的，一旦社会扩大再生产中断，这种变化就不复存在，所以提高社会总资本利润率必须始终保持社会扩大再生产持续进行的充分必要条件。第二，社会总资本的部类分布结构影响和制约着每个部类的资本积累，反过来两个部类的资本积累又导致社会总资本的部类分布结构变化。所以动态地看，社会总资本的部类分布结构与两个部类的资本积累有相互影响和制约的关系。每个部类的资本积累是社会扩大再生产过程中的控制（决策）变量。第三，只有在第Ⅰ部类的资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，才可能存在社会总资本最高利润率。在第Ⅱ部类的资本利润率不低于第Ⅰ部类的条件下，假如让第Ⅱ部类优先增长，在短时期内可以提高第Ⅱ部类资本占社会总资本的比重，从而实现社会总资本的利润最大化与提高总资本利润率的目的。但是持续下去，生产资料在社会总产品中的比重就会逐年降低，必然到某年不能够满足扩大再生产需要追加生产资料的最低数量要求，也就是不能满足政治经济学教科书中指出的“生产生产资料部类的可变资本和剩余价值大于生产消费资料部类的不变资本”这一扩大再生产的前提条件［10］，从而社会扩大再生产必然中断。第四，根据马克思社会再生产理论中的按比例发展原理，在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，社会总资本最高利润率及其迫近与抵达路径应当存在。因为在这样的条件下，社会总资本的利润最大化与提高总资本利润率具有同一性，可以通过使第Ⅰ部类优先增长，来提高第Ⅰ部类资本占社会总资本的比重，从而提高总资本利润率。而根据按比例发展原理，在社会持续扩大再生产过程中，第Ⅰ部类资本占社会总资本的比重应当存在一个上限，因此根据这个原理应当存在社会总资本的最高利润率。第Ⅰ部类持续地优先增长是使该部类资本占社会总资本的比重达到上限的唯一途径，所以也应当是社会总资本最高利润率迫近与抵达的唯一路径。

陶为群（2015）证明了社会扩大再生产持续进行的充分必要条件，并且研究了以第Ⅰ部类的资本积累作为控制变量的全社会新创造价值动态优化问题［11-12］，为研究社会总资本的最高利润率及其迫近与抵达路径提供了基本思路和方法启示。

三、基于马克思社会再生产公式的总资本利润率函数

在经典的马克思社会再生产公式中，第j部类（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在t年初时点的总资本分解成用于购买生产资料的不变资本、购买劳动力的可变资本两个部分，分别记为都是每年周转一次；带来剩余价值。第j部类产品当中消耗的不变资本对于可变资本的固定不变倍数hj表示该部类的资本有机构成。剩余价值与可变资本之间保持固定不变的比率，以ej表示，是第j部类的剩余价值率。以表示第j部类的新创造价值，它是之和。每个部类的不变资本与新创造价值之和是总产值。对确定了含义的字母前面加符号△表示在当年再生产过程中所形成的增量，以表示第j部类企业所有者把本部类的剩余价值用于个人消费的部分。由于剩余价值是形成本部类的新增资本和企业所有者的剩余价值消费的唯一来源，所以有剩余价值使用的行为方程

根据式（1）和每个部类内部总产值的各构成部分之间保持固定不变的关系，可以获得社会再生产的当年不变资本积累均衡方程

扩大再生产是把剩余价值用作资本积累，成为新增不变资本和可变资本。以表示第j部类的剩余价值积累率，那么是扩大再生产的决策变量，式（1）可以改写成

由于每个部类内部各构成部分之间保持固定不变的关系，用两大部类新创造价值之间的比例，就可以总体表示两大部类之间的结构状态，即

φ（t）是社会再生产系统中的状态变量。φ（t）与资本有机构成hj、剩余价值率参数ej共同体现了两大部类再生产系统的完整结构。由于总产值增量的各构成部分之间也保持同样的固定不变关系，将式（3）和式（4）代入式（2），得到

陶为群（2015）把式（5）称为以两个部类积累率为扩大再生产的待定决策变量的资本积累均衡方程［11］。在式（5）中可以把作为自由变量，解出

式（6）就是扩大再生产中两个部类积累率之间的关系式。第j部类的资本利润率是剩余价值与资本之间的比率，是陶为群（2015）证明了［11］，对于任何t年，在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类即的条件下，社会扩大再生产持续进行的充分必要条件是

社会总资本的利润率是两个部类的剩余价值与总资本之间的比率，即

从式（10）可以看出，社会总资本的利润率是两个部类的资本利润率的加权平均数，权数就是各个部类的资本占社会总资本的比重。由于两大部类的结构状态φ（t）可以反映各个部类的资本占社会总资本的比重，所以将每个部类总产值各构成部分之间的固定不变关系以及φ（t）的表达式式（4）代入式（10），得到基于马克思社会再生产公式的总资本利润率函数，即

这个总资本利润率函数明确表示了总资本利润率是两大部类结构状态φ（t）的函数，而变量φ（t）的定义域就是社会扩大再生产持续进行的充分必要条件式（7）。总资本利润率π（t）是φ（t）的严格单调减函数，当且仅当φ（t）取式（7）中的最小值φ**时，社会总资本达到最高利润率max（π（t））。

四尧社会扩大再生产的总资本最高利润率及其迫近与抵达路径揭示

从社会总资本利润率的表达式式（11）看到，在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类即）的条件下，总资本利润率π（t）是结构状态φ（t）的严格单调减函数，两大部类比例状态变量φ（t）取值越小，总资本利润率π（t）就越高。前面已经指出，根据马克思社会再生产理论中的按比例发展原理，第Ⅰ部类资本占社会总资本的比重应当存在一个上限，而社会扩大再生产持续进行的充分必要条件式（7）中的最小值φ**就是这个上限的体现。如果两大部类比例是式（7）中的最小值φ**，那么将总资本利润率函数式（11）中的状态变量φ（t）替换成φ**，就得到总资本最高利润率max（π（t））。

两个部类的资本积累会导致两大部类结构状态变化。按照φ（t）的定义式，有

由于每个部类总产值各构成部分之间的相互比例是固定不变的，于是根据式（1）和式（4），有

将式（3）和每个部类各构成部分之间的固定不变关系代入式（13），得到

因而，

式（16）表明，每个部类下一年的新创造价值增长率是本部类的资本利润率与当年积累率的乘积。

将式（15）和φ（t）的表达式式（4）代入式（13），得到

再将两个部类积累率之间的关系式（6）代入式（17），得到下一年的结构状态与当年决策变量之间的函数关系，即

式（18）确定了下一年的两大部类比例与当年积累的决策自变量之间的函数关系，揭示了每个部类的资本积累如何导致两大部类比例变化，φ（t+1）是的严格单调递减函数。式（18）表示了从t年初到t+1年初的状态转移规律，按照运筹学的动态规划中的术语称为状态转移方程（胡运权、郭耀煌，2012）［13］。它作为纽带把两个相邻年份的社会扩大再生产连接起来。

式（20）表明，在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类的条件下，如果使第Ⅰ部类优先积累，那么下一年的两大部类比例就由当年两大部类比例所决定。

前面也已经指出，第Ⅰ部类持续地优先增长应当是唯一的社会总资本最高利润率的迫近与抵达路径。可以严格地证明，当初始第1年两大部类的初始比例φ（1）满足社会扩大再生产持续进行的充分必要条件式（7），只要坚持使第Ⅰ部类优先积累和增长，那么根据式（20），可以经过N年使两大部类结构状态φ（t+N）数值降低成为φ**，从而使社会总资本获得最高利润率max（π（t））。所以，每年使积累率按照式（19）取最大值），就是社会总资本最高利润率的迫近与抵达路径。式（20）还表明，从初始第1年到社会总资本获得最高利润率需要经过的时间长短，是由每个部类的资本有机构成、剩余价值率和两大部类的初始比例φ（1）共同决定的。

当经过N年两大部类结构状态φ（t+N）降低成为φ**，仍然使第Ⅰ部类优先积累和增长，那么根据式（19），积累率取最大值*，将其代入状态转移方程式（18），计算出下一年的两大部类结构状态φ（t+N+1）保持为φ**不变，从而总资本利润率也保持为最高利润率max（π（t））不变。照此逐年迭代下去，能够确定从第t+N年起社会总资本利润率始终保持为最高利润率max（π（t））不变。

在第Ⅰ部类利润率高于第Ⅱ部类的条件下，第Ⅰ部类优先积累和增长成为社会总资本最高利润率的迫近与抵达路径，是在总资本最高利润率目标下和社会扩大再生产持续进行的充分必要条件约束下，由资本积累均衡方程和状态转移方程共同导致的结果。实质是在目标和约束条件下，两大部类比例影响和制约每个部类的资本积累，两个部类的资本积累又导致两大部类比例变化的必然结果。这是马克思社会再生产理论中的按比例发展原理的一个体现。

五、形成最高利润率的社会总资本结构

社会总资本最高利润率max（π（t））的表达式式（12）可以变形成为

式（21）当中有两个因子，一个因子eI/（1+hI）是资本利润率较高的第Ⅰ部类的利润率，另一个因子可以看作是一个调整系数。式（10）已经表明，社会总资本的利润率是两个部类的资本利润率的加权平均数，所以社会总资本的利润率无法达到较高的第Ⅰ部类的资本利润率。但是，可以通过将第Ⅰ部类的资本占社会总资本的比重调整到最高，而使社会总资本的利润率成为第Ⅰ部类的资本利润率与一个最优调整系数的乘积，从而使社会总资本获得最高利润率。所以，式（21）当中的另一个因子可以看作是总资本利润率最优调整系数，它是社会总资本的最优结构在总资本利润率与第Ⅰ部类的利润率二者之间关系上的体现。

六、形成最高利润率的全社会剩余价值（利润）构成

前面已经指出，社会总资本获得最高利润率，是当且仅当状态变量φ（t）的取值降低到最小值φ**的情形下；此时第Ⅰ部类积累率按照式（19）取最大值*。把这些结果代入两个部类积累率之间的关系式式（6），能够确定，第Ⅱ部类积累率取得最大值100%，因而此时全社会的剩余价值积累率被确定。根据积累率的定义，全社会积累率μ（t）是两个部类的积累率都以每个部类剩余价值在全社会剩余价值中的比重作为权数的加权平均数。所以，可以通过全社会积累率与每个部类积累率之间的关系，确定当社会总资本获得最高利润率时全社会剩余价值的两部类构成是怎样的。以μ（t）表示全社会积累率，根据定义，有

根据每个部类总产值各构成部分之间保持固定不变关系情况，并将两大部类结构状态φ（t）的表达式式（4）代入式（22），得到

在社会总资本获得最高利润率max（π（t））的时候，状态变量φ（t）的取值降低到最小值φ**，并且两个部类的积累率分别是。将这些结果代入式（23），就得到社会总资本形成最高利润率时的全社会积累率μ*。

因为社会总产品是由生产资料、消费资料两种产品构成，并且在每个部类内部，总产值的各构成部分之间保持固定不变关系，因而只要确定两个部类总产品当中任何一个对应的构成部分之间的比例关系，则两个部类之间的总体比例关系也被确定。如果以一个部类的总产品数量作为基数，那么另一个部类的总产品数量也就被确定。所以，当社会总资本形成最高利润率时，确定了社会总资本两部类结构和全社会剩余价值的两部类构成，相当于确定了每个部类的资本数量和剩余价值数量。

表1　举例计算社会扩大再生产的总资本最高利润率和抵达路径

七、举例说明社会扩大再生产的总资本最高利润率与迫近路径

下面举一个例子，通过计算来说明社会扩大再生产的总资本最高利润率及其迫近与抵达路径。假设两个部类的资本有机构成分别是hⅠ=5和hⅡ=4；剩余价值率分别是eⅠ=1.4和eⅡ=1。起始年份两个部类的不变资本、可变资本、剩余价值数据都列在表1当中。此例第Ⅰ部类、第Ⅱ部类的资本利润率分别是23.33%和20%，满足第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件，可以获得社会扩大再生产的总资本最高利润率，并且可以通过计算获得迫近与抵达路径。

根据扩大再生产持续进行的充分必要条件式（9），计算出结构状态取值的最小值是ϕ**=0.243 1；根据式（8）计算出各年第Ⅰ部类积累率取值的一个上限是µΙ*=85.71%。根据式（12）计算出，社会扩大再生产的总资本最高利润率是；当社会总资本形成最高利润率时，社会总资本的最优结构是第Ⅰ、第Ⅱ部类的资本分别占80.4%和19.6%。根据式（24）计算出，当社会总资本形成最高利润率时，第Ⅰ、第Ⅱ部类的剩余价值占全社会剩余价值的比重分别是82.7%和17.3%。而按照表1中数据逐年计算，此例在第3年全社会资本利润率达到最高，以当年和下一年数据按照定义式计算的总资本利润率，与根据式（12）计算出的一致，以当年和下一年数据按照定义式计算的社会总资本的两部类构成、全社会剩余价值的两部类构成，也分别与按照式（12）和式（24）计算出来的理论值一致，验证了式（12）和式（24）正确。各年计算结果都列在表1中。还根据式（21）计算出，社会总资本利润率最优调整系数为97.2%，而此例在第3年达到的全社会资本利润率22.68%与第Ⅰ部类的资本利润率两者之间的比率也是97.2%，验证了社会总资本利润率最优调整系数式（21）正确。

以上全部研究结果说明：在第Ⅰ部类资本利润率高于第Ⅱ部类的条件下，存在社会总资本最高利润率；第Ⅰ部类优先积累和优先增长是社会总资本最高利润率的迫近与抵达路径。这实质是在目标和约束条件下，两大部类比例影响和制约每个部类的资本积累、两大部类的资本积累又导致两大部类比例变化的必然结果。这是马克思社会再生产理论中的按比例发展原理的一个体现。

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【责任编辑刘晔】

On the Maximum Profit Ratio of the Total Capital in the Social Reproduction and the Path to Achieve It

TAO Weiqun
（The People's Bank of China Nanjing Branch，Nanjing，Jiangsu，210004）

This paper converts the pursuit of the highest profit ratio to be a problem of optimizing the social total capital structure with an exploitation of the profit ratio function of the total capital in Marx's social reproduction formula.The issue of the highest profit ratio of the total capital can be classified into the scope of dynamic economics.Therefore only under the condition that the profit ratio of the sector which produces capital goods is higher than the other sector can the profit ratio of the total capital be increased by developing this sector in advance and increasing its capital proportion in the total capital.According to the principle of proportion development，there is an upper limit for the proportion of this sector's capital in the total capital.So there also should exist a highest profit ratio for the total capital.Based on such understanding，this paper proposes an example and makes the calculation to verify the highest profit ratio of the total capital and tries to figure out the path to achieve it.

The Social Reproduction，The Highest Profit Ratio，Optimizing the Structure，Path

F091.91

A

1674-6511（2016）04-0001-07

2016-01-08

国家社会科学基金后期资助项目（15FJL008）。

陶为群（1955-），男，江苏南京人，中国人民银行南京分行研究员，安徽财经大学兼职教授。研究方向：马克思主义经济学、数量经济。