可数覆盖性质与集值选择

周润波，燕鹏飞

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

可数覆盖性质与集值选择

周润波，燕鹏飞

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

利用正规空间内可数覆盖性质之间的相互关系，给出了可数仿紧性在选择理论中的若干刻画.

可数强仿紧；可数仿紧；可数中紧；可数亚紧；集值映射

自Michael在文献[1]中以扩张定理为基础建立连续选择理论以来，选择理论因它的分析背景和较强的应用性成为有趣的课题之一.Michael等在文献[2-4]中证明了原像空间的仿紧性和亚紧性等覆盖性质与集值映射的选择有密切的关系.近年来，文献[5-6]给出了强仿紧性、紧性、族正规性的刻画，其他覆盖性质的集值映射也先后被找到，但对可数覆盖性质并没有给出一个系统的刻画，可数覆盖性质和集值选择有何联系也是个谜.基于前人成果，本文给出了可数覆盖性质的一个较为系统的刻画，并给出了可数仿紧性在选择理论中的若干刻画.

1　预备知识

设X是拓扑空间，(Y,d)为度量空间，2Y表示Y的非空子集族.

集值映射Φ:X→2Y称为下半连续（简记l.s.c）（上半连续简记u.s.c），如果对于Y中的每个开集（闭集）U都有Φ-1(U)={x∈X:Φ(x)∩U≠Ø}是X的开集（闭集）.

X是可数仿紧（强仿紧、中紧、亚紧）的，如果X的任意可数开覆盖存在局部有限（星有限、紧有限、点有限）开加细.

2　主要结果

引理1[7]71空间X的可数补零覆盖{Ui}可用星有限的可数补零覆盖细分.

引理2[7]60正规空间X的点有限开覆盖可由闭覆盖一一细分.

定理1 在正规空间X中，下列条件等价：

1）X是可数强仿紧的； 2）X是可数仿紧的； 3）X是可数中紧的；

4）X是可数亚紧的； 5）X的每一可数开覆盖是闭收缩的.

证明 1）⇒2）⇒3）⇒4）是显然的.

4）⇒5）.设{Un:n∈N}为X的任意可数开覆盖.因为X是可数亚紧的，所以{Un:n∈N}存在局部有限一一开加细{Vn:n∈N}，由空间的正规性及引理2可知{Vn:n∈N}存在闭覆盖一一加细{Fn:n∈N}，即可知{Un:n∈N}是闭收缩的.

5）⇒1）.设{Un:n∈N}为X的任意可数开覆盖，由条件可知存在闭覆盖一一加细{Fn:n∈N}.记Cn=X-Un，由Fn⊂Un可知Fn∩Cn≠Ø.因为X是正规空间，所以存在连续函数fn使得fn(Fn)≠0和 fn(cn)=0.则有，即{Un:n∈N}可由可数补零覆盖一一细分.由引理1知它存在星有限补零覆盖加细，所以空间X是强仿紧的.

定理2是选择理论中一个经典的定理.

定理2[2]647对于T2空间X，下列条件等价：

1）X是仿紧的；

2）对任意取值于度量空间Y的l.s.c集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)和u.s.cφ:X→C(Y)，使得对任意x∈X,φ(x)⊂φ(x)⊂Φ(x).

为在选择理论中用集值映射给出可数覆盖性质的刻画，先引入如下2个引理.

引理3 设X是正规可数仿紧空间，(Y,ρ)是可分完备度量空间，Φ:X→F(Y)为下半连续函数，则存在：

3）映射列{πn:n =1,2…}，其中πn:An+1→An满足：,:β∈.

证明 因为Y为可分度量空间，则Y存在一组可数基，所以存在可数开覆盖列{ωn={:β∈ Λn},n=1,2…}使得diam，对每个n和β∈Λn.因为Y的可数开覆盖，所以存在局部有限一一加细，故存在闭收缩.由X的正规性，存在X的局部有限开覆盖满足：

引理4[8]297X为拓扑空间，(Y,ρ)为完备度量空间.对于任意的i∈N,Φi:X→C(Y)为下半连续集值映射(上半连续集值映射)且满足Φi(x)⊂O2-i(Φi+1(x)),Φi+1(x)⊂O2-i(Φi(x)),∀x∈X .定义集值映射Φ:X →2Y，使得Φ(x)={limyi:yi∈Φi(x),ρ(yi,yi+1)≤2-i}.则有Φ:X→2Y为下半连续函数(上半连续集值映射)且Φ(x)∈C(Y).

定理3 对正规空间X，下列条件等价：

1）X是可数仿紧的；

2）对任意取值于可分完备度量空间的下半连续集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)和u.s.cφ:X→C(Y)，使得对任意x∈X,φ(x)⊂φ(x)⊂Φ(x)；

3）对任意取值于可分完备度量空间的下半连续集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)使得对任意的x∈X,φ(x)⊂φ(x)⊂Φ(x)，且是紧的对于X中的每一个紧集K；

4）对任意取值于可分完备度量空间的下半连续集值映射Φ:X→F(Y)，存在l.s.cφ:X→C(Y)使得对任意的x∈X,φ(x)⊂Φ(x).

b）∀x∈X,i ∈N，φi(x)⊂O2i(Φ(x)).取，则有，故Φ(x)∩.取 y∈Φ(x)∩，则有.因φi(x)⊂φi(x)，故也有φi(x)⊂O2i(Φ(x)).

c）φi+1(x)⊂O2-i(φi(x)),φi(x)⊂O2-i(φi+1(x)).取∈φi+1(x)，则x∈⊂，故∈ φi(x),.取，则x∈，故存在β使得x∈,β∈(α)，因此有∈φi+1(x)满足≤≤diam＜2-i.因 φi(x)⊂φi(x)，也有φi+1(x)⊂O2-i(φi(x)),φi(x)⊂O2-i(φi+1(x)).

d）φi(x)为l.s.c.对于Y中任一开集V，若∀x0∈(V)，则有φi(x0)∩V ≠Ø，存在∈φi(x0)∩V，故.故当时，，即φi(x)∩V ≠Ø.所以(V)为开集.故φi(x)为l.s.c，φi(x)为u.s.c.对于Y中的任意开集V，证明为开集.∀x0∈(V)，有φi(x0)⊂V.因且为保闭集族.记.令，由保闭性可知F为闭集.令U=X-F.则∀x∈U都有φi(x)⊂V .所以φi(x)为u.s.c.定义：

可知φ(x),φ(x)为紧值的下半连续集值映射.由b）得φ(x)⊂φ(x)⊂=Φ(x).

2）⇒3）.取X的任一紧集K，则存在上半连续函数φ(x)，使得φ(x)⊂φ(x)⊂Φ(x).因为φ(x)为保紧映射，则有φ(K)为紧集且为闭集.由⊂φ(K)可知为紧集.

3）⇒4）是显然的.

4）⇒1）.证明X是可数亚紧空间，由定理3的条件1）即可知X是可数仿紧的.取X的任一可数开覆盖{Uα:α∈Y}，令Y为离散拓扑空间，则它是可度量化的.由Y为可数集知其为可分完备度量空间.定义集值映射：

因Φ-1(α)=Uα，可知Φ(x)为l.s.c.从而存在l.s.cφ:X→C(Y)使得对任意的x∈X,φ(x)⊂Φ(x)，于是有φ-1(α)⊂Φ-1(α).因φ(x)为紧集，即为有限集，所以{φ-1(α):α∈Y}为点有限开覆盖.由此可知X为可数亚紧空间.

[1] MICHAEL E.Continuous selections I [J].Annals of Mathematics,1956,63(2): 361-382.

[2] MICHAEL E.A theorem on semi-continuous set-valued functions [J].Duke Mathematical Journal,1959,26(4): 647-651.

[3] 燕鹏飞.亚紧性和选择理论[J].安徽大学学报（自然科学版），1992(1): 9-13.

[4] 燕鹏飞.选择理论中两个结论的改进[J].数学研究与评论，1998,18(1): 131-134.

[5] CHOBAN M M,MIHAYLOVA E P,NEDEV S Y.On selections and classes of spaces [J].Topology & Its Applications,2008,155(8): 797-804.

[6] GUTEV V.Compactness-like properties and compact sections [J].Topology & Its Applications,2012,159(6): 1634-1639.

[7] 儿玉之宏，永见启应.拓扑空间论[M].方嘉琳，译.北京：科学出版社，1984.

[8] NEDEV S.Selection and factorization theorems for set-valued mappings [J].Serdica,1980,6(4): 294-317.

[责任编辑：熊玉涛]

Countable Covering Properties and Set-valued Mapping

ZHOU Run-bo,YAN Peng-fei
(School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)

This paper makes characterizations of countable paracompacts in the section theory through the connection between the countable covering properties.

countable strong paracompacts; countable paracompacts; countable mesoparacompacts; countable metaparacompacts; set-valued mapping

O189.11

A

1006-7302（2016）01-0008-04

2015-09-25

周润波（1990—），男，湖南永州人，在读硕士生，主要从事一般拓扑研究；燕鹏飞，教授，博士，硕士生导师，通信作者，主要从事一般拓扑研究.