问题牵引与学生自主学习——以“等差数列”教学案例谈学生自主学习养成

□海南省东方市教育教学研究培训中心符冠华

问题牵引与学生自主学习
——以“等差数列”教学案例谈学生自主学习养成

□海南省东方市教育教学研究培训中心符冠华

今年4月，笔者有幸参加海南省第八届高中数学课堂教学评比活动。在整个活动过程中，我们不难发现，一些高中数学课堂深受传统教学的束缚，忽视学生的学习个性和终身学习的习惯养成，过多强调知识的机械记忆或模仿作答，抑制了学生自主性和创造性的发挥，使教学缺乏思维的灵性，失去生命的灵动，久而久之沦为低效课堂。

自主学习是指学生在课堂上独立思考、主动探究、实践质疑和构建知识的学习行为，真正把数学课堂还给学生，发挥学生的主体作用，实现学习目标。本文从高中数学课堂——以“等差数列”教学为案例，谈谈如何从数学问题情境的创设，牵引学生自主学习，达到积极思维的习惯养成。

一、让生活情景下的概念形成，牵引学生自主学习

创设数学问题情境是数学教学的重要组成，是教师教学智慧的特征体现。教师创设教学问题情境，能使学生数学思维镶嵌在生活情境化当中，让学生熟悉的生活、已有的经验与概念形成对接，调动学生主体性的感悟与自主学习，那么概念教学也就成功一半。例如，一节《等差数列》的概念课，有一位教师做如下的教学情境创设：

教师新课引入：先应用课件展现两张图片，一张给出的数列较凌乱：10072，10360，10144，10288，10216。另一张给出的数列很整齐：10072，10144，10216，10288，10360。请问同学们喜欢哪张图片？追问：你所喜欢的图片上面的数列有什么共同的特点？

学生活动：学生通过图片上的数字进行观察、识别、猜想，然后回答。有的学生相互讨论，有的将数列排成由大到小，有的排成由小到大，有的观察出：从第2项起，每一项与前一项的差都等于72。

教师再问：72是个什么数？能为0或负数吗？通过学生的自主总结、归纳，等差数列的概念及其公差的定义就自然而然的得出。

在接下来的教学，是教师引导。请同学们观察：由三个数a，A，b组成最简单的等差数列，你能用a，b表示A吗？你认为A可以称为a、b的什么？有哪些相等关系式？讨论并写出式子学生独立思考5分钟后，由等差数列｛an｝的首项a1和公差d，诱导学生写出：

a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d……

由此，学生猜想（给学生自主探究的空间）、推理等差数列的通项公式（教师引导、矫正）。

以上教学设计，是教师根据教材的探究性特点和学生的实际来选取的，以学生的好奇心来激发学生学习兴趣，唤起求知欲望。即教师以创设的问题情境进行牵引，让学生通过观察、讨论、思考和动手演算等，参与到自主学习的过程，既得出结论，又突出了学生的主体地位，培养学生自主探究的学习习惯。

上述老师的教学方法，不是直接阐述数学结论，而是让学生从生活“小游戏”开始，独立思考，自主探索知识的发生。自我获悉概念的形成过程。当有些思维受阻时，教师又适时点拨。这样的教学，就是生本课堂，大大激发了学生自主学习和探究的热情，使学生在数学学习上获得不同程度的发展。学生的探究潜能挖掘出来，真正成为课堂的主人。

二、让导入新课的情境创设，牵引学生自主学习

由于这一系列问题的情境牵引，学生的思维无法停滞，脑子高速运转，自主学习氛围异常活跃。将整个等差数列的知识形成过程以问题（由浅入深地）牵引，让学生自主思考，再回答教师提出的问题。其内容的循序性、典型性和思想性都贯穿于学生独立思考当中。

在知识的巩固与应用环节中，该老师又进行例题教学：例1，在等差数列｛an｝中，已知a1=10，a15=40，（1）求a20；（2）85是不是该数列中的项？若是，则是第几项？；若不是，说明理由。

老师的教学意图，绝不是单纯地为了加强学生对公式的记忆，而是以学生合作探究的方法，让学生感悟公式中有a1，d，n，an四个量，深刻理解“知三求一”的方程思想。完成例1后，老师再通过同题型、适当的变式训练，进一步巩固、掌握公式的灵活应用。学生的自主探索都在不断的变式中体验，都在体验数学学习的乐趣当中，都在教师的驾驭与掌控当中。当学生思维意犹未尽之时，老师又在例1的基础上，提出思考：是否还有其他方法解答例1？（老师提示：a5，a10，a15，a20成等差数列的子数列性质）

从整个数学课堂来看，教师“教”的很少，学生“想”的较多，其教学意图是让学生在新知识的形成与发展过程中作自主表现，尽量让学生发挥得淋漓尽致。这样的课堂，师生皆然感到轻松和快乐。

三、让解题思路的寻找过程，牵引学生自主学习

习题课的教学，简称为解题课。对于数学问题的解题思路寻找，不仅仅是检验学生数学基础知识、基本技能的扎实与否，也是数学思想方法灵活运用的过程，更是学生数学能力、数学智慧的具体表现。

习题课教学中，教与学的矛盾决定了“解”需有法，“解”必得法，教学相长，学才有效。否则，学生只会效仿例题作答，只会一招一式，不能做到“举一反三”和触类旁通。教师不但要教学生如何运用所学知识解题，更要教学生如何寻找解题的思路。这一过程，决定了学生“欲罢不能”的自主学习自觉性。例如，一位老师设计如下问题——

1.在等差数列｛an｝中，若a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a4和d.

2.已知三个数成等差数列，其公差d＞0，三项之和为15，首末两项的积为9，求这三个数。

第1题是一道关于数列性质的基本题，老师的意图在于检测学生对数列下标和性质的理解程度，先让学生自主探究、交流和自主完成后，再由阐述解题过程。教师启发学生进行解题思路寻找：在等差数列中，若两项的下标与另两项的下标和相等，那么这两项的和可以用另两项的和来代替，把未知项减少，达到解题目的（下标和性质的应用）。思路很快被打通。

第2题的教学，教师又将全班学生分成3组，然后引导学生活动：第一组学生以分小组合作探究的方式进行解题思路寻找；第二组是小组自主学习，然后派代表讲述解题思路与演算；第三组是全体学生“集体会诊”，总结解题规律与方法。通过学生的观察、议论、归纳和动手尝试，都能集中在以下两点解题思路上（即“对称设项法”）：

（1）当等差数列｛an｝的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d的两边项分别设…a-d，a，a+d…

（2）当等差数列｛an｝的项数为偶数时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d进行两边分别设项：…a-3d，a-d，a+d，a+3d…

最后，老师请3个小组代表小结，阐述本节课学到哪些解题的思想方法？运用这些思想方法解决相应类型的题目，使学生在运用数列知识解题，思路更加明晰，印象更加深刻。

学生在探究解题思路的过程中，其实质就是运用“构造”法、公式法来解决综合性强的数学问题，渗透了数学方程思想方法。老师的教学，就是在刚学完等差数列后，以“小综合”问题牵引的形式，让学生积极思维，产生强烈的学习欲望，充分调动学生自主学习动机，将整个课堂变成学生“探究”的课堂，形成自主学习的自觉性。

四、让复习反思的思维活动，牵引学生自主学习

复习课的教学本无定法，平时老师们只是各行其是。按我们以往的复习课教学规律，一般是：先罗列公式、定理、法则进行板书，再作习题讲解。现在看来，在实施新课程背景下的今天，就显得效益低下。笔者认为，通过精选例题来涉及各知识点的引用，以问题解决为索引，牵动学生对所学内容的全面回顾，配以综合运用，效果更佳。

例如，在2016年全省高中数学课堂教学评比中，某老师上的一节“等差数列”的单元复习课，教师提出问题：已知，等差数列9，7，5…前多少项的和最大，最大值是多少？

教师在上述问题探究的教学中，虽说是一道简单的数学问题，但学生通过自主探究的简单作答，即运用了等差数列的通项公式、求n项和公式（运用到了，实质上就是复习到了），又从中渗透函数思想，以开放性的复习内容，让学生多角度解决数列问题。这比教师简单、机械地复述通项公式、n项和公式的教学事半功倍。

接下来，教师再将上题变式为：已知，等差数列｛an｝的通项公式为an=2n-10，此数列的前多少项的和最小？最小值为多少？

弗赖登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力，”这也是牵引学生自主学习的好办法。以提出问题的方法引导学生参与到整个课堂的教学中来，让学生自主探索，自己发现问题，自己解决问题，自己面向全班展示自己的思维活动。教师选择时机给学生补上“运用函数求最值”的方法，贯穿“数式转化”的认识当中，认知结构得到夯实。

课堂结束时，又以反思的形式对等差数列｛an｝的复习，进行“画龙点睛”和归纳总结。这样的课堂，真正发挥学生的主体作用，真正让思维的阳光普照每个学生的心灵，使得这节数学复习课变得更加精彩纷呈。

对于数学定理、法则、公式的复习课教学，倘若将问题选好，围绕教学目标，贯串知识点，来展示数学规律的科学性和逻辑性，数学教学的效果就会得到进一步优化。

以上的复习课教学特色，就是将数学问题，纳入课程知识体系，切入学生自主学习的“最近发展区”，其知识与方法由学生自主归纳，结论形成由学生自己总结。凡是学生自己能解决的问题，由学生自己“包办”；凡是学生自己能表述的由学生自己书写。数学复习课不再是以往的“一言堂”，不再是为题海作答而忙碌，，而是以教师课前预设的“数学问题”来牵引，让学生在不断回顾、不断质疑、不断总结的过程中，不断得到精彩的教学生成，养成学生自主学习的习惯。

［1］赵玉城.关于数学课堂教学评价体系的建构［J］.人民教育，2005（4）.

［2］戴建华.浅议思维品德有效课堂讨论的几个着力点［J］.中小学生教材教学，2006（9）.