基于实测振型阻尼比的有限元模型仿真算法研究

张　淼，于　澜

(长春工程学院理学院，长春 130012)



基于实测振型阻尼比的有限元模型仿真算法研究

张淼，于澜

(长春工程学院理学院，长春 130012)

阻尼是个复杂的问题，需要假设的阻尼更接近于真实结构，且合理又易于有限元建模。在工程实际中，质量和刚度矩阵可以通过模型修正技术来得到较好的仿真，但在结构模型中能否适当地模拟阻尼仍是个问题。在仅考虑经典阻尼系统的情况下，提出了一种在有限元模型修正后得到的高仿真质量和刚度矩阵的基础上，结合实测模态参数的数据获得阻尼矩阵的技术，从而建立环境激励下基于实测模态参数的有限元仿真模型方法。数值算例说明了所提出方法的有效性与实用性。

环境激励；模态参数；振型阻尼比；峰值拾取法

由于实施人工激励可能对在役结构造成不必要的损伤，因此，在对一些大型结构的整体动态行为进行监测时，往往采用环境激励下的脉动信号的识别，利用频响应函数或脉冲响应函数来确定模态参数[1-3]。在测量输入极其困难的情况下，仅由环境激励响应无法估算出系统的频响函数或脉冲响应函数，所以，往往采用一些频域或时域的模态参数识别方法。对弱阻尼系统识别其固有频率及模态的一个很好的方法就是峰值拾取法[4-6]。它的3个模态参数的测量方法可以简单地概括为：根据给定方向上的测量，第i阶振型在r个测量离散点上的相对形状可以用(1)式近似为:

(1)

式中Syjyj(fi)是第i阶振型频率在第j个位置上的输出自谱密度值。第i阶振型的等价黏性阻尼比可以根据下式计算，即

(2)

1结合实测模态参数及有限元分析提取阻尼阵

有限元建模是土木工程结构分析与控制的基本手段。在通常情况下，结构有限元模型是根据图纸建立的，常包含很多理想化的假定与简化，称为基线模型。基于基线模型进行有限元分析及预测的结构响应不可避免地将会与在实际结构上测得的结构动态行为之间存在一些偏差。如果能充分利用结构实测的振动信息来修正结构的基线模型，使修正后的结构模态参数与试验值趋于一致，这就是有限元模型修正。有限元模型修正的对象可以分成两类：一类是有限元模型的刚度矩阵、质量矩阵、甚至阻尼矩阵中的元素，另一类则是有限元模型的设计参数，包括物理参数与几何参数。应用实测的实模态参数(不包含阻尼比)及无阻尼特征方程进行有限元模型修正是目前主要的研究方向，本文的目标在于同样是利用实测实模态参数数据(包含阻尼比)，再结合有限元仿真的质量和刚度阵来提取阻尼阵，就能确立良好的有限元仿真模型，再结合使用阻尼特征方程，用于进一步的动力修改和分析中。

对N自由度的线性振动系统

(3)

式中M，C和K∈RN×N分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；x(t)∈RN是广义坐标向量；t∈R+代表时间。结构有限元分析时的无阻尼固有频率与实模态对(ωi，φi)(i=1，2，…，N)满足特征方程

(4)

记Φ=[φ1，…，φN]，aiφi=vi，则V=[v1，…，vN]为无阻尼正则固有振型矩阵，记A=diag(a1，…，aN)，则有

ΦA=V。

(5)

那么此时模态质量、模态刚度和模态阻尼矩阵分别为

VTMV=E=diag(m1，…，mN)，

(6)

VTKV=diag(k1，…，kN)，

(7)

VTCV=diag(c1，…，cN)。

(8)

因为要求模态阻尼矩阵为对角阵，所以本文的算法只针对经典阻尼系统[7]。引入坐标变换

x(t)=Vq(t)，

式中q(t)=(q1(t)，q2(t)，…，qN(t))T，代入式(3)可得

上式左乘VT可得

再由式(6)～(8)可得

(r=1，2，…，N)，

上式可化为

为了求解微分方程，令qr(t)=esrt，则

(9)

上式中只需要解

即可。此方程的解为

(10)

使式(10)根号内的项等于0，亦即sr1与sr2为等值时的阻尼系数值，称为临界阻尼系数，记为cc，即

(11)

且有

此时sr1，r2为无阻尼固有频率ωr，则

(12)

引进振型阻尼比为

(13)

cr=2ξrωr，

(14)

再由式(8)可得

C=(VT)-1diag(c1，…，cN)V-1。

(15)

由式(5)可得

(VT)-1=(ATΦT)-1=(ΦT)-1(AT)-1，

(V)-1=(ΦA)-1=A-1Φ-1。

则由式(15)可得

C=(ΦT)-1(AT)-1diag(c1，…，cN)A-1Φ-1，

(16)

其中i表示研究个体即西部12个省(区市)，t表示时间即从2003年到2016年，xit表示除了金融发展因素外对地区经济增长有较大影响的控制变量,包括消费、投资、政府支出、对外依存度和社会劳动力。FDit是与区间相关的依赖变量即金融发展水平。HCit是门槛变量即人力资本存量，因为人力资本水平对地区经济增长也有重要影响，在这里也把它加入控制变量之中。γ是研究中待估计的门槛值。I(°)为指标函数，其相应的括号内条件成立时取值为1，否则取值为0。μi为不随时间变化的个体效应，eit为随机干扰项。进一步地，(1)式可以转化为：

2　数值算例

考虑一个如图1所示的二自度阻尼振动系统[8]

图1　2—自由度阻尼系统

该系统的运动微分方程为

其中

式中m，k，c分别为质量、刚度和阻尼。f1(t)为作用于m1上的激励。其中m1=0.08，m2=0.08，k1=23.12，k2=6.08，k3=23.12。实测模态参数为

根据式(4)、式(14)和式(16)可得阻尼矩阵为

3　结语

本文主要考虑大型结构在线服役条件下，提出使用环境激励下的脉动信号，选用峰值拾取法实测得到无阻尼实模态参数，再结合有限元分析中得到的质量和刚度矩阵，还原阻尼阵，充分利用了有限元计算结果和实测数据的优点，建立环境激励下基于实测模态参数的有限元仿真模型方法。数值算例证明了本文提出的方法的有效性及实用性。

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The Study on Finite Element Simulation Model Algorithm Based on Measured Modal Damping Ratio

ZHANG Miao，etc.

(SchoolofScience，ChangchunInstituteofTechnology，Changchun130012，China)

Damping is a complex problem.The assumed damping is needed to be coincident to the real structure.And it is to be reasonable and easy to be used in setting up finite element model.In the construction practice，the quality and stiffness matrix can be simulated better by model recover technology.However，whether it is to simulate damping in model structure is still a problem by now.On the condition of only consider about typical damping system，on the basis of getting high simulation quality and stiffness matrix after the finite element recovery，the technology of damping matrix combined with the measured mode parameter has been proposed in this article，in order to build finite element simulation model algorithm based on measured model parameter.The numerical examples show this algorithm proposed in the article has the efficiency and applicability.

ambient vibration；mode parameter；modal damping ratio；peak picking technique

10.3969/j.issn.1009-8984.2016.03.027

2016-06-13

吉林省科技发展计划项目(20160101277JC)

张淼(1972-)，男(汉)，长春，博士，教授

主要研究结构优化及振动控制。

O321

A

1009-8984(2016)03-0122-03

吉林省教育厅“十三五”科学技术研究项目(2016302)