非线性Klein-Gordon方程的最低阶混合元超收敛分析新模式

樊明智, 王芬玲

(许昌学院 数学与统计学院，河南 许昌 461000)



非线性Klein-Gordon方程的最低阶混合元超收敛分析新模式

樊明智, 王芬玲

(许昌学院 数学与统计学院，河南 许昌 461000)

非线性Klein-Gordon方程; 超逼近性和超收敛结果; 混合有限元新模式; 半离散和全离散格式

本文考虑如下的非线性Klein-Gordon方程

(1)

其中Ω⊂R2为有界矩形区域，∂Ω为Ω的边界，X=(x,y)，f(X,t)∈L2(Ω)，γ是正常数，u0(X)，u1(X)是已知充分光滑的函数，假设a(u)，g(u)满足如下条件：

(i)a(u)关于u一致有界，即存在正常数a0,a1满足,a0≤a(u)≤a1；

(ii)a(u)和g(u)对变量满足Lipschitz条件，即存在正常数L使得

|ξ(u1)-ξ(u2)|≤L|u1-u2|,u1,u2∈R,ξ=a,g.

Klein-Gordon方程具有丰富的实际背景和物理意义，它用于描述相对论量子力学和量子场论中自旋为零的粒子的最基本方程和Schrödinger方程的相对论形式，对于它的研究值得物理学家和数学家的高度关注.关于Klein-Gordon方程已有研究, 例如文献[1]对无界区域上一维Klein-Gordon方程建立一个显式差分格式, 并给出该格式的稳定性和收敛性结果；文献[2]和[3]研究了一维情形下的数值解；文献[4]讨论了二维Klein-Gordon方程存在唯一的整体解.不难看出,当a(u)=1和g(u)=sinu时，问题(1)变成了sine-Gordon方程, 因此sine-Gordon方程是问题(1)的特殊情况, 并得到一些有价值的成果[5～8], 由于Klein-Gordon方程比sine- Gordon方程复杂, 使问题的处理更为困难. 因此据我们所知到目前为止尚未见到有关问题(1)混合元格式的高精度分析.

混合有限元方法与传统Galerkin有限元方法相比具有对空间的光滑度要求较低、并能同时得到原始变量和流量的误差估计等突出优势, 已成为一种常用的数值逼近方法.对于经典的混合有限元格式来说,混合元空间要满足Brezzi-Babuška条件[9，10](简记为B-B条件),给构造合适的空间对带来一定的困难. 最近文献[11、12]给出了二阶椭圆问题新的混合有限元逼近格式, 具有自由度小且当逼近空间对满足包含关系时, B-B条件成立,同时又能避开散度算子带来的困扰等特点,文献[13]将此方法应用到线性抛物方程, 给出关于时间半离散混合格式和全离散化混合有限元格式,但仅仅得到了最优误差估计,文献[14]及[15]进一步研究了二阶椭圆问题和线弹性问题在新格式下的超收敛性,文献 [16]将其推广到线性Sobolev方程得到了非协调混合元格式半离散格式下的超收敛性和向后欧拉全离散格式下关于空间步长的超逼近性.

1　混合元的构造和性质及问题的逼近

定义有限元空间：

其中Qij=span{xrys,0≤r≤i，0≤s≤j}.

Ih|K=IK，Πh|K=ΠK，

引理1[17]若u∈H3(Ω)，则

((u-Ihu),vh)=O(h2)|u|3|vh|1，∀vh∈Vh.

(2)

进一步地，若u∈H4(Ω)，则

(3)

(4)

利用文献[17]中类似的方法可得如下的结论：

引理2若u∈H3(Ω)则

证明为了得到高精度估计引进误差函数[17]：

令u-Ihu=φ，对ω1∈Q01做Taylor展开有

ω1=ω1(x,y)=ω1(xK,yK)+(y-yK)ω1y.

(5)

于是

∫Kφxω1dxdy=∫Kφxω1(xK,yK)dxdy+∫Kφx(y-yK)ω1ydxdy.

(6)

∫Kφxdxdy=∫KF″(y)φxdxdy=(∫l3-∫l1)F′(y)φxdxdy-∫KF′(y)φxydx=

F′(yK+hy,K)(φ(xK+hx,K,yK+hy,K)-φ(xK-hx,K,yK+hy,K))-

F′(yK-hhy,K)(φ(xK+hx,K,yK-hy,K)-φ(xK-hx,K,yK-hy,K))-

(F(yK+hy,K)∫l3φxydx-F(yK-hy,K)∫l1φxydx)+∫KF(y)φxyy=∫KF(y)uxyy,

(7)

(8)

根据式(6)～(8)和逆不等式可知

(9)

同理可证

(10)

利用式(9)和(10)该引理2得证.

(Rhu,v)=(u,v)，∀，

(11)

(12)

接下来，我们给出插值和投影之间的超收敛估计.

证明根据式(2)和(11)得

从而引理3得证.

(13)

(14)

(15)

2　半离散格式下的超逼近和超收敛

(16)

(17)

证明首先令

(18)

(20)

由Cauchy和Young不等式及式(12)可知

(21)

基于式(11)得

(22)

由假设(i)和(ii)可知

(23)

(24)

根据式(21)～(24)将(20)变形为

(25)

对(25)从0到t积分,并注意到ξ(X,0)=ξt(X,0)=0得

(26)

将Gronwall引理应用于(26)可知

(27)

借助(27)和引理3有，

从而(16)式得证.

另一方面，利用引理2和引理3得

(((,

(28)

注1若将式(15)和(18)中的Rh换成插值Ih时可得如下结论：

(1)结合式(3)可得半离散超逼近结果

此时，u∈H4(Ω)的要求比本文定理1中的u∈H3(Ω)的光滑度要高.

(Ⅱ)借助于文献[5～7]中的导数转移技巧有

显然与定理1相比对ut的光滑度要求稍高.

注2若仅用投影时虽然可以得到关于空间步长的超逼近性，但如何构造关于投影的后处理算子仍然是悬而未决的问题.因此，到目前为止无法直接得到关于投影的超收敛结果.

图1　大单元

(29)

(30)

定理2在定理1的条件下，有如下的整体超收敛结果

(31)

(32)

证明利用定理1和(29)可知，

即式(31)得证.

同理借助定理1和式(30)可证式(32)，定理2证毕.

3　全离散格式及超逼近分析

在本节中我们将主要讨论全离散格式下的误差估计，仅讨论a(u)=a(X)的情形.

为了方便起见，我们引入下面一些记号：

(33)

其中utt(X,0)=-a(X)u1(X)+γΔu0(X)-g(u0(X))+f(X,0).

(34)

(35)

证明为了进行误差估计，记

un-Un=(un-Rhun)+(Rhun-Un)=ξn+ηn，

(36)

(38)

(39)

不难看出，(39)的右端各项分别变形为

(40)

(41)

(42)

接下来我们给出(39)式右端的估计，注意到

(43)

借助于(43)有

(44)

根据(11)可知

G2=0.

(45)

利用假设(i)和插值理论得

(46)

利用假设(i)和(43)将G4估计为

(47)

借助泰勒展开式直接计算有

(48)

利用式(48)有

(49)

对式(50)关于j从1到n-1求和得

(51)

由初始条件和泰勒展开式得

因此，再结合U1的定义可知

(52)

再借助于式(52)并注意到ξ0=0得

(53)

利用式(53)将式(51)变形为

(54)

利用引理3和三角不等式有

即式(34)得证.

定理3得证.

注3若将式(36)中的Rh换成插值Ih时，结合(3)可得如下结论：

(55)

(56)

此时式(55)和式(56)中对解的光滑度要求比定理3偏高.

注4本文方法对抛物方程、双曲方程、抛物积分微分方程、双曲积分微分方程均使用.

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责任编辑：周伦

A New Scheme of the Lowest Order Mixed Element Superconvergence Analysis for Nonlinear Klein-Gordon Equations

FAN Ming-zhi, WANG Fen-ling

(SchoolofMathematicsandStatistics,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

With help of the bilinear elementQ11andQ01×Q10element, the lowest order new mixed finite element scheme for nonlinear Klein-Gordon equations is proposed, which can satisfy Brezzi-Babuska condition antomatically on anisotropic meshes. Based on integral indentity result of bilinear element, a superconvergence estimate between the interpolation and Riesz projection, with the high accuracy analysis method ofQ01×Q10element and nterpolation post-processing technique,the superclose properties and superconvergence results of the orginal variable u and flux variable in H1-norm and L2-norm for semi-discrete and fully-discrete schemes can he deduced, which can’t be deduced by the interpolation and Riesz projection alone.

nonlinear Klein-Gordon equations; superclose properties and superconver-gence results; mixed finite element new scheme;semi-discrete and fully-discrete schemes.

2016-04-19

河南省教育厅自然科学基金项目(14A110009)；河南省高等学校重点科研项目(16A110022)；许昌市科技发展计划项目(1504004)

樊明智(1969—), 男, 河南鄢陵人，教授, 硕士, 研究方向：有限元方法及应用.

1671-9824(2016)05-0001-09

O242.21

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