基于“四基”：如何改造和开发数学习题

吴恢銮

《义务教育数学课程标准2011年版》把“双基”扩充到“四基”，更加完善了数学课程目标，丰富了数学素养的内涵。习题作为日常教学不可或缺的课程资源，该如何改造、挖掘教材上的常规习题，设计一些符合“四基”理念、更能促进学生数学核心素养提高的新习题呢？

一、与时俱进：合理改造和挖掘常规习题

教材常规习题中有一些好习题，如果我们以发展的眼光、创新的意识，深入开发习题中所蕴含的方法与思想，就可以使常规习题发挥最大的价值功能。

1.在“一题多解”处，放一放

例如，某教材六年级下册总复习有这样一道应用问题：登山缆车连接山麓的A站及山腰的B站。两站同一时间发车，6分钟后两车交会。上行缆车在发车的15分钟后达到B站，下行缆车在发车后几分钟到达A站？

这道题只有两个时间的量，但有着极其丰富的内涵，教师该怎样启发学生找到多种解决问题的办法呢？能否把这道常规性问题当作思维训练载体，把小学中学过的知识与方法在这道题中融会贯通呢？笔者运用“图示助思”教学策略，通过学生两次分类的思维活动，让学生感悟到解决问题可以有算术、代数两大方法，可以从已学过的整数、分数应用题及工程问题切入，也可以从正、反比例及一般方程等数量关系入手，从而达到对解题方法的融会贯通、举一反三。笔者执教的班上学生共想出21种方法，经过思维训练后，能用4种及以上方法解决该题的学生数占到70%。

2.在“知识求联”处，找一找

在“简便运算整理与复习”一课中，教师先呈现了一个48×36的竖式（见图1），引导学生发现竖式计算的过程其实就是运用了乘法分配律，将48×36转化成8×36+40×36进行计算。教师再呈现了一个578×4的竖式（见图2），引导学生讨论后发现这样的算法是可行的，也是运用了乘法分配律将578×4转化成508×4+70×4，这样计算还可以避免连续进位。最后教师再出示一个圆环图，让学生回忆起在计算圆环面积的过程中也用到了乘法分配律。就这样，三道常规的习题，在“找一找”思维活动中，使不同领域的知识因为乘法分配律而串联在一起，实现“知识求联”。

3.在“思想方法”处，悟一悟

如在三角形面积练习课中，书上有这样一道习题：点E、F、G、H分别在长方形ABCD的四条边上（如图3所示），求四边形EFGH的面积。（单位：cm）

出示题目后，教师先让学生独立思考，学生想到了三种不同的解题方法：

方法一：总面积减去空白面积；

方法二：连接EG，用三角形EFG的面积加上三角形EHG的面积；

方法三：拉动F平移到A，拉动平移H到D，通过等积变形成一个大三角形（如图4所示）。

而方法三只有极少数学生想到，这时老师再放慢教学节奏，让每个学生自主“悟出”为什么可以这样变形？学生发现通过“等底等高”的变形思想，大三角形的面积与两个小三角形的面积相等。“悟一悟”，表面上看花费了时间，但实际上却得益甚多，学生体会到了数学思想方法的奇妙，实现了深层次的理解。

二、聚焦核心：设计与开发新习题

所谓“新习题”，不管在形式还是内容上都是比较新的习题，其命题能紧扣“四基”要求，聚焦数学学科的核心知识、方法与思想，突出对数学本质的训练与考核。

1.设计“双基性”新习题

我们在设计“双基性”新习题时，要淡化对数学知识的准确记忆或形式化的表述，重视对核心概念及其关键特征的理解，要重视在问题解决活动中培养学生“用技能”的水平。

例1：有一些图形（见下图）：

（1）根据表中要求，请把代表图形的编号写在括号里。

（2）请在方格纸中画出一个符合表中全部4个要求的四边形。

（每个小方格边长表示1cm）

（3）你画的四边形4个内角的和是多少？请用不同的方法说明理由，写一写。

分析：这是一道综合性比较强的习题，涵盖了四年级“几何与图形”领域关键性的基础知识与基本技能，如对角的度量、平行、垂直、平行四边形、长方形、四边形等核心概念的理解与掌握，其中第二题“作图题”更是突出对空间观念的考量，而第三题则突出对“过程性”的考核。

2.设计“过程性”新习题

《标准（2011）》在“教学建议”里提到：帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。”显然，考查学生基本活动经验的积累状况最理想的方式是组织学生现场参与活动测试，但组织不易。笔者尝试设计了一些“过程性”新习题，以期有所帮助。

例2：我们知道，梯形面积的计算公式为：（上底+下底）×高÷2。那么为什么要“÷2”呢？请用写一写或画一画的方式，把你的想法表达出来。

分析：这道习题，就是针对梯形面积公式推导过程设计的，考核的不是“算”得怎么样，而是对梯形面积公式推导过程的理解。

例3：你能用哪些方法来比较7/8和8/9的大小？

（1）请写明白你想到的比较方法，至少写出一种。

（2）你能根据上面两个分数的特点，举出几组比较分数大小的例子吗？

（3）通过上面这几组分数的大小比较，你有什么新发现吗？请写出你的发现。

分析：例3这道题包含了若干数学活动的“有过程”的题目，可以展现学生解题思维的个性。这道习题的特色，一是设计了包含多个层次的问题，有助于在问题解答的过程中暴露学生的思维活动过程；二是每个层次中预设的问题开放度比较高，便于学生开展自主性强的思维活动。

3.设计“方法性”新习题

在设计该类习题时，要充分展现数学思想方法的过程特征和解题价值。

例4：下图中，大圆的面积120平方厘米， 求两部分阴影的面积。

分析：在上“图形旋转”一课时，一位老师出示了这道习题，此题应用“旋转变换”思想就能轻易解决问题。

例5：有一个长方形ABCD（如图），AB边是它的长，AD边是它的宽。这个长方形绕A点逆时针旋转。每次旋转90°后，长增加1cm，宽不变。

（1）这个长方形ABCD旋转两次后，它的长和宽分别是多少厘米？

（2）这个长方形ABCD旋转四次后，它的面积是多少平方厘米？

（3）小明说：“总有一次旋转后，得到长方形的面积是125 cm2。”你觉得小明的说法对吗？为什么？

分析：例4主要训练学生能用“运动的观点”解决问题，考查学生转化思想；例5是一道综合性比较强的习题，知识从单一结构、多重结构再到关系抽象结构，层层递进，考查学生对运动中的变与不变、逆向思考、类比迁移等解决问题能力。

（作者单位：浙江省杭州市天长小学）

责任编辑 曾维平

E-mail：25365420@qq.com