解绝对值问题“四策略”

□王克峰

解绝对值问题“四策略”

□王克峰

绝对值不仅是有理数这一章的重点内容，也是学习其他知识的基础.下面介绍几种解绝对值问题的策略，愿对同学们有所帮助.

一、分类讨论策略

解析：本题中a，b，c地位对等，需要分4种情况讨论：

（1）a，b，c都大于0时，

原式=1+1+1=3；

（2）a，b，c两正一负时，

原式=1+1-1=1；

（3）a，b，c两负一正时，

原式=1-1-1=-1；

（4）a，b，c都小于0时，

原式=-1-1-1=-3.

二、数形结合策略

|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离.当问题涉及距离或大小比较时，使用数形结合的策略可使问题更直观.

例2已知两个有理数a，b，a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，试比较a，-a，b，-b的大小.

解析：因为|a|＞|b|，根据绝对值的几何意义可知，表示数a的点比表示数b的点到原点的距离远.又a＞0，b＜0，a，-a到原点的距离相等，b，-b到原点的距离相等，可在数轴上标出这4个点的大致位置，如下图所示，故-a＜b＜-b＜a.

三、列方程策略

在涉及有关含绝对值的字母求值问题时，可从绝对值的非负性着手，运用方程的思想求解.

例3已知|2x+y|与|1-y|互为相反数，则x=______，y=______.

解析：因为|2x+y|与|1-y|互为相反数，所以|2x+y|+|1-y|=0.又因为|2x+y|≥0，|1-y|≥0，所以|2x+y|=0，|1-y|=0，得x=-0.5，y=1.

四、特殊值0验证策略

在遇到有关绝对值的判断题和选择题时，为了使解题过程更简捷，可使用“0的绝对值是0”“0既不是正数也不是负数”的特殊性，检验问题的正确性.

例4下列说法中正确的是（）.

A.有理数的绝对值一定是正数.

B.一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数.

C.没有最新的有理数，也没有绝对值最小的有理数.

解析：A、B、C是错误的.理由如下：因为0也是有理数，而0的绝对值是0，0不是正数，所以A是错误的；因为0的绝对值等于它本身，而0既不是正数也不是负数，所以B是错误的；因为正数的绝对值是正数，负数的绝对值也是正数，0的绝对值是0，0小于一切正数，所以绝对值最小的数是0，所以C是错误的；而因为a为分母，而分母不能为0，所以a≠0.又一个数的绝对值和它本身的比是1，所以这个数只能是正数，故D是正确的.