两共轴带电圆环相互作用力的计算

杨天虎

(酒泉职业技术学院，甘肃省太阳能发电系统工程重点实验室，甘肃 酒泉　735000)



两共轴带电圆环相互作用力的计算

杨天虎

(酒泉职业技术学院，甘肃省太阳能发电系统工程重点实验室，甘肃 酒泉735000)

推导出了两共轴带电细圆环相互作用力的级数解，对其收敛性、误差进行了定量分析，并根据级数解用MATLAB编程计算绘制了相互作用力Fz的分布曲线.

共轴带电圆环；相互作用力；级数解

文献[1，2]对均匀带电圆环的电场分布及两共轴带电圆环相互作用力给出了求解方法，但由于均匀带电圆环的电场分布函数不易直接求解，求解过程过于复杂，不利于计算机编程计算，本文将对两共轴带电圆环相互作用力求解过程进行探讨，给出一种更为直观的级数解，容易在计算机上编程计算.

1　两共轴带电细圆环的相互作用力求解

图1

取轴线为z轴，半径为R的圆环圆心O为原点，由对称性可知其电势和电场强度必以z轴对称，两共轴均匀带电圆环在对方上产生的电势、电场强度Ez处处相等，相互作用力方向与z轴一致，要么相吸，要么相斥.

按照电势叠加原理，圆环R在圆环r上P(r，0，z)点产生的电势为

(1)

令θ=π+2φ，代入式(1)，得

U(r，0，z)=

(仅R=r，z=0，即两个大小一样的圆环合二为一时，K2=1，其余0≤K2<1)，则有

(2)

通常称定积分

(0≤K2sin2φ<1，n≥1)

(3)

(4)

因共轴均匀带电细圆环在对方上产生的电势、电场强度Ez处处相等，相互作用力方向与z轴一致，所以相互作用力为

Fx=Fy=0

因

(5)

2　Fz的收敛性与误差分析

设b0，b1，b2，…，bn为级数

(6)

的各项系数，则

因沃利斯(Wallis)公式[3]为

所以

对于级数F′(K)，若一直取到K2n项，则级数的余和为

当0≤K2<1时，有

所以，Fz有极值.

3　根据级数解用MATLAB编程计算绘制F′(K)、Fz的分布曲线

根据式(6)绘制的F′(K)曲线如图2所示.

图2

从图上看出，F′(K)的曲线随K增大而增大，接近1时无限增大，与理论计算结果一致，理论上仅R=r，z=0时，即两个同样大小的圆环合二为一时，K2=1，其余0≤K2<1.实际工程中，K不可能无限接近1，所以在实际应用中F′(K)有很好的收敛性.

由式(5)可以看出，两共轴带电圆环相互作用力与所带电量q和q′成正比，由式(5)得

(7)

当R=0.01 m，r=0.01 m时，式(7)的分布如图3所示.

图3

当R=0.01 m，r=0.02 m、0.03 m、0.04 m、0.05 m时，式(7)的分布如图4所示.

图4

4　结论

通过推导分析、编程计算可以看出，式(5)除R=r，z=0外的条件下具有良好的收敛性，Fz的级数解表达式存在通项公式，容易在计算机上编程实现，根据需要计算结果可以达到任何精度，同时计算结果也得出了当两圆环大小越相近，Fz的最大值越大，两圆环大小越相远，Fz的最大值越小，且极值越小越向右移.

[1]徐燕，陈浩. 两共轴带电圆环的相互作用能和作用力[J]. 大学物理，2007，26(6):26-27，31.

[2]周海英，陈浩. 均匀带电细圆环的电场的一般分布[J]. 大学物理，2004，23(9):32-34.

[3]华东师范大学数学系. 数学分析(上)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001:226-227.

Calculation of the interaction of the two coaxial charged rings

YANG Tian-hu

(Key Laboratory for Photovoltaic Power Engineering System of Gansu Province，Jiuquan Vocational and Technical College， Jiuquan， Gansu 735000， China)

The series solution of the two coaxial charged rings is derived， whose convergence and terror are quantitatively analyzed. According to the series solution， the distribution curve of the interactionFzis calculated and drawn by the MATLAB programming.

coaxial charged rings; interaction; series solution

2015-05-27；

2016-01-08

甘肃省科技计划(1309RTSF043)、甘肃省科技创新平台专项(144JTCF256)资助

杨天虎(1970—)，男，酒泉职业技术学院副教授，主要从事基础物理与理论物理及大学物理实验的教学与研究工作.

O 441

A

1000-0712(2016)08-0029-03