时空对称性与守恒律(下篇)
——经典电动力学

2016-10-15 03:30:55赵凯华

大学物理 2016年8期

关键词：角动量电磁场张量

赵凯华

(北京大学物理学院，北京　100871)

时空对称性与守恒律(下篇)
——经典电动力学

赵凯华

(北京大学物理学院，北京100871)

本文从时空对称性导出经典电动力学中能量、动量、角动量三大守恒定律.

时空对称性；参考系；守恒定律

内特(E.Nöther)宣称, 一种对称性决定一条守恒律. 在本文上篇里[1]我们在牛顿力学的框架内从时空对称性导出了能量、动量、角动量三大守恒定律.在那里，时空性质由外场表示.本篇将讨论电磁场和带电粒子系统的守恒定律与时空对称性的关系问题. 经典电动力学的时空是闵可夫斯基的平直时空，具有平移、转动等全部对称性，三大守恒定律都成立.要讨论时空对称性对守恒律的影响，需要假设时空度规对闵可夫斯基度规有所偏离.广义相对论原理宣称，物质通过引力方程告诉时空怎样弯曲，时空通过运动方程告诉物质怎样运动.即时空度规由物质决定，又反过来控制物质的运动. 然而我们可以考虑宇宙中一个小系统，它本身对时空度规的影响可忽略不计，时空度规对闵可夫斯基度规的偏离完全由外部物质决定. 这与我们的上篇里把时空性质由外场表示的做法是一致的，在弱引力场的极限下时空度规的影响就表现为牛顿力学中的外场.

1　基本方程

讨论电磁系统的能量、动量和角动量的基础是带电粒子运动方程和电磁场的电动力学方程.而时空的对称性要用度规来描述.平直时空的闵可夫斯基度规是平庸的，在非平庸度规下写出粒子运动方程和麦克斯韦方程，要靠广义相对论. 广义相对论的方程式都比较抽象，我们在一定的条件下将它们具体化，使之更接近我们通常熟悉的形式.这段工作主要依据的是朗道的《场论》书[2]，由于推导较长，我们将它放在本文附录里，此处只把结果罗列出来.

1.1在弯曲时空中守恒律公式的形式

设w是某个守恒量的密度， φ是其流密度，则其守恒律应具有如下微分形式：

(1)

式中γ是三维度规张量γαβ的行列式. 式(1)第二项是散度▽·φ.[散度的分量形式见附录式(A.15).](如果守恒量是矢量，则其流为张量.)若在三维空间里取一块体积V做体积分，则体元为

(2)

(3)

(4)

Φ是单位时间里流出体积V表面S的该守恒量. 综上所述，守恒律的积分形式表达成

(5)

1.2麦克斯韦方程[见附录式(A.19)、(A.20)、(A.26)、(A.27).]

(按照朗道的《场论》书我们沿用高斯单位制. ) 式中的δ函数是密度函数，因为我们设带电粒子都是点粒子，它们的密度表达式为[见附录式(A.21)、(A.25).]

(10)

(11)

式中qa和ra分别是粒子a的电荷和位矢. 在下面讨论的力学问题中我们还需要质量密度和质量流密度的概念:

(12)

(13)

此外， D和E、 B与H的关系如下[见附录式(A.28)、(A.29)]：

D=G·E, B=G·H.

(14)

这里 G 是个张量，其分量为

(15)

有关力学的方程我们将在下面各节用到时再引入.

2　时间平移不变与能量守恒定律

我们的出发点是带电粒子在电磁场中的相对论运动方程的时间分量.附录中已将它导出[见式(A.44)]:

(16)

(17)

两边对a求和，我们得到

(18)

(19)

wmech代表机械能密度, Smech代表机械能流密度. 于是

(20)

现在察看式(18)的右端. 因γ不显含t：

(21)

上式右端第二项

而第三项

最后式(18)右端方括号里各项化为

(22)

(23)

(24)

wEM可诠释为电磁场的能量密度， SEM相当于坡印亭矢量，即电磁场的能流密度. 于是

(25)

左右端联合，式(18)最后可以写成

(26)

此式具有标准的守恒定律形式：时导项加散度项. 若写成积分形式，时导项化为体积分的时导，代表在该体积内某守恒量的时间变化率，散度项可利用高斯定理化为面积分，代表从该体积表面流出的此守恒量.式(26)很好的表达了由荷电物质与电磁场组成的整个系统的能量守恒定律.

3　空间平移不变与动量守恒定律

现在的出发点是带电粒子在电磁场中的相对论运动方程的空间分量[见式(A.45)]:

(27)

(28)

其中全部是度规对空间坐标的导数，也等于0, 所以式(27)只剩下左右端各一项.

(29)

(30)

我们得到

(31)

(32)

(33)

下面我们来改造式(31)的右端. 这里要用到两个矢量恒等式.(这两个公式都涉及并矢张量，通常不大见到.可采用分量形式的运算来直接验证.)

(▽·D)E=▽·(DE)-(D·▽)E,

(34)

(D·▽)E+D×(▽× E)=(▽E)·D,

(35)

两式结合起来，我们有

(▽·D)E=▽·(DE)+D×(▽× E)-(▽E)·D.

(36)

现在看上式右端最后一项. 这里涉及并矢张量，我们采用分量形式来运算.按照爱因斯坦约定，重复的傀标意味着求和.(▽E)·D的α分量

(37)

上式最右端是矢量(▽D)·E的α分量. 这里用到了Gμν不显含r和度规矩阵的对称性质.上面这段推导表明

(38)

将式(38)代入式(35)，再将结果代入式(34)，我们得到

(39)

同理可得有关磁场的对应公式：

(40)

对于电场，将麦克斯韦方程式(7)代入式(39)得

(41)

对于磁场将▽·B=0代入式(40)得

(42)

将式(42)和式(43)代入式(32)，得

(43)

其中两项

其协变α分量为[矢量矢积的分量形式，见附录式(A.14).]

式(43)中其余各项可归并为一个张量T的散度：

(44)

(45)

T相当于麦克斯韦胁强张量. 于是式(43)或者说式(31)右端可以写成

(46)

(47)

pEM可诠释为电磁场的动量密度， FEM为电磁场的动量流密度. 将式(31)左右端联合起来，有

(48)

式(48)表达了由荷电物质与电磁场组成的整个系统的动量守恒定律.

4　空间各向同性与角动量守恒定律

本节中我们假定空间具有旋转不变性.在没有空间平移不变性的条件下转动不变性只能是对一个特定点O而言的，对于此点空间具有球对称性. 我们取此点为坐标原点，位矢r是从这点出发的，角动量也是对此点而言的.此时真空介电张量退化为标量： G={G(r,t)δαβ}，与r的方向无关,γ和g00也是如此.

仍从式(27)出发, 从左边以位矢r叉乘整个公式：

(49)

(50)

在空间球对称时有可能选一种各向同性笛卡儿坐标系[文献[2], p.339]，在其中度规的空间分量gαβ是对角的, 且对角元都相等：

(51)

这样一来，

(52)

上式括弧里第一项与第三项相消，是因为它们的差别只是傀标不同.从式(52)可以看出，矢量Γ正比于梯度▽g•， r×▽g•=0, r×Γ=0, 式(49)左端第三项消失.

(53)

故

(54)

式(53)左右两端对a求和，并在右端用相应的麦克斯韦方程式将密度函数替换成电磁场量的导数，得

(55)

令

(56)

(57)

现在考虑式(55)右端. 再次利用恒等式(34)，以r叉乘它：

(58)

先看上式右端第一项:

故

(59)

现在看式(58)右端第三项:

末项为0的理由是各向同性空间的▽G平行于r. 根据上式我们有

(60)

将式(59)和式(60)代入式(58)，得

(61)

同理可得有关磁场的对应公式：

(62)

对于电场，麦克斯韦方程式(7)将式(61)改写为

(63)

对于磁场，麦克斯韦方程▽·B=0 将式(62)改写为

(64)

将式(63)和式(64)代入式(55)，得

(65)

(66)

令

(67)

(68)

这里LEM是电磁场的角动量密度， QEM应诠释为电磁场的角动量流密度.

最后，将式(55)左右端联合起来，我们得到

(69)

式(69)表达了由荷电物质与电磁场组成的整个系统的角动量守恒定律.

5　一点评注

以上的推导没有做任何近似. 实际上，除了在致密星体附近引力场都是很弱的.在最低级的近似下

(70)

(71)

上式括弧里第一项是静质能，第二项是动能，第三项是引力势能. 机械能流密度Smech的表达式也会有相应的结构.静质能mac2是常数，它在能量守恒方程式(26)里是不出现的，因为在该式中此项由于连续方程而消失. 所以此时力学就归结为有引力场的牛顿力学.

5　篇后语

本文(包括上篇)从时间的均匀性导出了能量守恒定律，从空间的平移不变性导出了动量守恒定律，从空间的各向同性导出了角动量守恒定律. 在这里对于我们考察的系统而言，时空的非均匀性是外部物质引起的. 受外部物质影响的系统都不是封闭系统. 在上篇里，电磁场是外场，存在电磁场时，粒子系统的某些守恒定律不成立.在下篇里，把电磁场包括在系统之内，如果忽略引力，时空是平直的，三大守恒定律都成立.如果把引力作为外场加进来，时空度规便不是平庸的，则某些守恒定律就不成立了. 如果我们不忽略系统内物质的引力场，并且不施加外部引力场，系统是封闭的. 对于封闭系统，能量、动量、角动量总应该守恒.[文献[2] §96.] 这与时空对称性有什么关系？一个系统的基本运动规律是用一组以时空坐标为自变量的偏微分方程来表达的，而外部的影响与系统的时空坐标有关.对于封闭系统不存在外部影响，每个方程只含同一个世界点的物理量及其对时空坐标的导数(除非有超距作用，但超距作用是不存在的)，因而系统的基本运动方程不显含时空坐标.这样一来，时空坐标原点和空间坐标取向的选取对运动方程都没有影响，这就意味着对该系统而言时空具有完全的对称性，所以封闭系统的三大守恒律必成立.

在本文成文的过程中作者曾多次征求朱如曾教授的意见并进行了修改，特此向他表示诚挚的谢意.

【附录】非均匀时空中的麦克斯韦方程与粒子的运动方程

在广义相对论的框架里讨论电动力学问题，写得最详尽的非朗道的《场论》书[2]莫属.我们就按照该书来介绍本文所需要的带电粒子与电磁场系统的运动方程.

A基本概念和公式

四维的不变的时空间隔ds与度规gik的关系为

ds2=gikdxidxk=g00(dx0)2+2g0αdx0dxα+gαβdxαdxβ,

(A.1)

这里的拉丁字母i,k等(=0， 1， 2， 3)代表四维时空的维度指标，指标0代表时间分量(x0=ct)，希腊字母α，β等(= 1， 2， 3)代表空间分量. 指标在上为逆变，在下为协变. 按照爱因斯坦约定，傀标(在同一项里重复的指标)意味着求和.

从四维表示向三维表示转换时还需要以下概念. dτ是沿粒子轨道同步的时钟确定的固有时间隔， dl是空间间隔(距离)， dt=dx0/c是通常的时间间隔. 朗道的《场论》书中给出

(A.2)

(A.3)

三维空间的协变度规张量就是式(A.2)里的γαβ:

(A.4)

相应的逆变张量为

γαβ=-gαβ

(A.5)

行列式为

γ=det(γαβ)

(A.6)

引入三维的速度矢量:

(A.7)

(A.8)

这些式子比较繁冗. 朗道的书中指出：[文献[2] p.264.]“在任一个引力场中总是可以选择这样的参考系，使得g0α的三个值恒等于0, 进而使得时钟的完全同步成为可能.” 这就是说，g0α≠0是参考系的特征，不是时空本身的特征.本文要讨论的是时空的对称性，而不是参考系是否具有某种对称性，故我们下文都假设g0α=0 和时钟同步以使表达式简化. 这样一来， (A.4)式简化为

γαβ=-gαβ

(A.4′)

式(A.8)简化为

(A.8′)

四维速度ui,ui是无量纲量，在g0α=0 的情况下其定义及与三维速度的关系简化为：

(A.9)

B麦克斯韦方程组

电磁场的麦克斯韦方程组为[文献[2] p.284—285.]

(A.10)

(A.11)

这里Fik，Fik是电磁场张量，Ji是四维电流密度矢量,g=det(gik)<0．(按朗道《场论》书，我们沿用高斯单位制.) 下面将它转换为三维形式，为此我们需要三维弯曲空间里矢量乘积和微分算符的表达形式.[文献[2] p.281.]

(i)单位反对称赝张量

(A.12)

(ii)标积A·B=AαBα=AαγαβBβ

(A.13)

(A.14)

(A.15)

(A.16)

B.1 无源方程式(A.10)[文献[2] p.286.]

四维电磁场张量与三维电场矢量E, D和磁场矢量H, B的关系为(希腊字母上下标只取1， 2， 3.)

(A.17)

(A.18)

令式(A.10)中i=y,k=z,l=x, 则有

即▽·B=0

(A.19)

令式(A.10)中i=0,k=y,l=z, 则

(A.20x)

令式(A.10)中i=0,k=z,l=x, 则

(A.20y)

令式(A.10)中i=0,k=x,l=y, 则

(A.20z)

将(A.20x)、 (A.20y)、 (A.20z)三式写成三维矢量式，则有

(A.20)

B.2有源方程式(A.11)[文献[2] p.286.]

(A.21)

式中qa是粒子a的电荷，γ是三维空间度规的行列式[见式(A.6)], 而四维电流密度矢量为

(A.22)

Ji的分量为

(A.23)

(A.24)

还可以定义三维电流密度矢量为

(A.25)

注意到-g=g00γ，令式(A.11)中i=0, 则有

即

▽·D=4πρq.

(A.26)

令式(A.11)中i=x, 则有

(A.27x)

同理，i=y,z时有

(A.27y)

(A.27z)

三式联合起来，有

(A.27)

B.3D、 E和B、 H的关系[文献[2] p.286.]

式(A.17)和(A.28)中Fμν和Fμν是四维张量的空间分量，协变与逆变之间的转换要用gik和gik度规张量来实现，而Dα、Eα、Bα、Hα是三维矢量，协变与逆变之间的转换要用γαβ和γαβ度规张量来实现. 在gα0=0的情况下前者的空间部分与后者只差一个负号.[见式(A.4′)和式(A.5).] 按式(A.17)